第4章一次函数 题型全解8 一次函数与几何综合题型-北师大版八年级数学上册
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册一、利用一次函数模型解决实际问题例1.实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？变式1.如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？变式2.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．二、利用一次函数解决行程问题例2.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．变式1.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A 地路程s（米）之间的函数图象．（1）a＝，乐乐去A地的速度为；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．变式2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s （km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h，C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．变式3.某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．三、利用一次函数解决最低费用和最高利润问题例3.某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．（1）两种棋的单价分别是多少？（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？变式1.眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？变式 2.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？变式3.某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A 种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．（1）求A，B两种花卉的单价．（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．变式4.A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．（1）求a、b的值；（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．变式5.成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．变式6.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？变式7.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？四、利用一次函数解决含参数的最高利润问题例4.在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．变式1.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？变式2.为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．变式3.为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙m m﹣10进价（元/件）260180售价（元/件）若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？五、利用一次函数解决方案问题例5.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．变式1.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值．。
北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 综合题专题练习题
北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 综合题专题练习题专题一 一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积1．已知直线y ＝2x ＋a(a>0)与坐标轴围成的三角形面积为1，求常数a 的值． 解：在直线y ＝2x ＋a 中，因为x ＝0时，y ＝a ；y ＝0时，x ＝－a2，所以直线y ＝2x ＋a 的图象与x 轴的交点A 为(－a2，0)，与y 轴的交点B 为(0，a)．因为a>0，所以OA ＝a2，OB ＝a.因为S △OAB ＝12OA·OB，所以12×a2·a＝1.所以a ＝2.2．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(52，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积为254，求该直线所对应的函数表达式．解：设直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标为B(0，b)，所以OB ＝|b|.因为S △AOB ＝254，所以S △AOB ＝12OA·OB＝12×52×|b|＝254.所以|b|＝5，即b ＝±5.又因为直线y ＝kx ＋b 经过点(52，0)．所以当b ＝5时，0＝52k ＋5.解得k ＝－2.当b ＝－5时，0＝52k －5.解得k ＝2.所以该直线对应的函数表达式为y ＝2x －5或y ＝－2x ＋5.3．如图，过点A(2，0)的两条直线l 1，l 2分别交y 轴于点B ，C ，且点B 在原点上方，点C 在原点下方，已知AB ＝13.(1)求点B 的坐标；(2)若△ABC 的面积为4，求直线l 2的表达式．解：(1)因为点A 的坐标为(2，0)， 所以AO ＝2. 在Rt △AOB 中， 22＋OB 2＝(13)2， 所以OB ＝3.所以点B 的坐标为(0，3)． (2)因为S △ABC ＝12BC·OA，即4＝12BC×2，所以BC ＝4.所以OC ＝BC －OB ＝4－3＝1. 所以点C(0，－1)．设直线l 2的表达式为y ＝kx ＋b ， 因为直线l 2经过点A(2，0)，C(0，－1)， 所以b ＝－1，0＝2k ＋b.把b ＝－1代入0＝2k ＋b ，解得k ＝12.所以直线l 2的表达式为y ＝12x －1.4．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A(3，0)，B(0，2)，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°，点P(1，a)为平面直角坐标系中的一个动点．(1)请直接写出直线l 的表达式；(2)求出△ABC 的面积；(3)当△ABC 与△ABP 面积相等时，求实数a 的值．解：(1)直线l 的表达式为y ＝－23x ＋2.(2)在Rt △ABO 中，由勾股定理，得 AB 2＝OA 2＋OB 2＝32＋22＝13， 因为△ABC 为等腰直角三角形， 所以S △ABC ＝12AB 2＝132.(3)连接BP ，PO ，PA ， ①若点P 在第一象限时，因为S △ABO ＝3，S △APO ＝32a ，S △BOP ＝1，所以S △ABP ＝S △BOP ＋S △APO －S △ABO ＝132，即1＋32a －3＝132，解得a ＝173；②若点P 在第四象限时，如备用图： 因为S △ABO ＝3，S △APO ＝－32a ，S △BOP ＝1，所以S △ABP ＝S △AOB ＋S △APO －S △BOP ＝132，即3－32a －1＝132，解得a ＝－3.故当△ABC 与△ABP 面积相等时，实数a 的值为173或－3.5.如图，一次函数的图象经过了点P(6，3)和B(0，－4)，与x 轴交于点A. (1)求一次函数的表达式；(2)在y 轴上存在一点M ，且△ABM 的面积为367，求点M 的坐标．解：(1)设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，把点P(6，3)和B(0，－4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋b ＝3，b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝76，b ＝－4.所以一次函数表达式为y ＝76x －4.(2)令y ＝0，则76x －4＝0，解得x ＝247，则A(247，0)．因为△ABM 的面积为367，所以S △ABM ＝12BM·x A ＝367，即12BM×247＝367. 所以BM ＝3.因为B(0，－4)，所以M(0，－1)或(0，－7)．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点D 在y 轴的负半轴上．若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．(1)求AB 的长；(2)求点C 和点D 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使得S △PAB ＝12S △OCD ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由直线y ＝－43＋4可得A(3，0)，B(0，4)．所以AB ＝5.(2)由折叠可知，OC ＝OA ＋AC ＝OA ＋AB ＝3＋5＝8. 所以C(8，0)．设OD ＝x ，则CD ＝DB ＝x ＋4. 在Rt △OCD 中，DC 2＝OD 2＋OC 2，即(x ＋4)2＝x 2＋82，解得x ＝6.所以D(0，－6)． (3)存在，点P 的坐标为(0，12)或(0，－4)．7.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C(1，m)为直线y ＝x ＋1上一点，直线y ＝－12x ＋b 过点C.(1)求m 和b 的值；(2)直线y ＝－12x ＋b 与x 轴交于点D ，动点P 在射线DA 上从点D 开始以1个单位长度/秒的速度运动．设点P 的运动时间为t 秒．①若△ACP 的面积为S ，请求出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ②是否存在t 的值，使得S △CPD ＝2S △ACP ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由直线y ＝x ＋1可得A(－1，0)，B(0，1)．因为点C(1，m)在直线y ＝x ＋1上，则m ＝1＋1＝2，故点C(1，2)． 将点C 的坐标代入y ＝－12x ＋b ，得2＝－12＋b ，解得b ＝52.故m ＝2，b ＝52.(2)①因为直线的表达式为y ＝－12x ＋52，令y ＝0，则x ＝5，故点D(5，0)，则点P(5－t ，0)，S ＝12AP·y C ＝12×|5－t ＋1|×2＝|6－t|， 即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－t （0＜t≤6），t －6（t ＞6）.②存在．理由：当点P 在线段AD 上时， S △CPD ＝2S △ACP ，则PD ＝2AP ， 即t ＝PD ＝23AD ＝23×6＝4；当点P 在线段DA 的延长线上时，如图：S △CPD ＝2S △ACP ，则AP ＝AD ， 所以t ＝DP ＝2AD ＝2×6＝12.综上所述，t的值为4或12.专题二一次函数的实际应用1．为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：(1)该轿车油箱的容量为50L，行驶120 km时，油箱剩余油量为40.4L；(2)根据上表的数据，写出油箱剩余油量w(L)与轿车行驶的路程s(km)之间的表达式w ＝50－0.08s；(3)某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为22 L，求A，B两地之间的距离．解：令w＝22，即50－0.08s＝22，解得s＝350.答：A，B两地之间的距离为350 km.2．甲、乙两人从M地出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往N地．乙在骑行途中休息片刻后，以原速度继续骑行，已知乙的速度是甲的1.6倍．甲、乙两人离M地的距离y(米)与乙行驶的时间x(分钟)之间的关系如图，请根据图象回答问题．(1)M，N两地之间的距离为6_400米，甲的速度为200米/分钟；(2)求线段BD所表示的y与x之间的函数表达式；(3)直接写出当x取何值时，甲、乙两人在到达N地之前相遇？解：(2)甲车走完全程需6 400÷200＝32(分钟)，32－30＝2(分钟)，所以y D ＝2×200＝400. 所以D(0，400)． 因为B(30，6 400)，设BD 的函数表达式为y ＝kx ＋400， 所以30k ＋400＝6 400，解得k ＝200.所以线段BD 的表达式为y ＝200x ＋400(0≤x≤30)． (3)根据题意，得320x ＝200x ＋400或400＋200x ＝3 200， 解得x ＝103或x ＝14.答：当x ＝103或14时，甲、乙两人在到达N 地之前相遇．3．一辆公交车从A 站出发匀速开往B 站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/时，就会超过B 站0.2千米；如果车速是50千米/时，就还需行驶0.8千米才能到达B 站．(1)求A 站和B 站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B 站，行驶的速度是多少？(2)图1是这辆公交车线路的收支差额y(票价总收入减去运营成本)与乘客数量x 的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图1分别改画成图2和图3.①说明图1中点A 和点B 的实际意义；②你认为图2和图3两个图象中，反映乘客意见的是图3，反映公交公司意见的是图2．解：(1)设行驶时间为m小时，则60m－0.2＝50m＋0.8，解得m＝0.1.60×0.1－0.2＝5.8(千米).5.8÷0.1＝58(千米/时)．答：A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B 站，行驶的速度是58千米/时．(2)①A点表示公交公司的该条公交线路的运营成本为1万元；B点表示当乘客数量为1.5万人时，公交公司的该条公交线路收支恰好平衡．4.甲、乙两店销售同一种蔬菜种子．在甲店，不论一次购买的数量是多少，价格均为4.5元/kg.在乙店，价格为5元/kg，如果一次购买2 kg以上的种子，超出2 kg部分的种子价格打8折．设小明在同一个店一次购买种子的数量为x kg(x＞0)．(1)根据题意填表：(2)设在甲店花费为y1元，在乙店花费为y2元，分别求y1，y2关于x的函数表达式；(3)根据题意填空：①若小明在甲店和在乙店一次购买种子的数量相同，且花费相同，则他在同一个店一次购买种子的数量为4kg；②若小明在同一个店一次购买种子的数量为 3 kg，则他在甲、乙两个店中的甲店购买花费少；③若小明在同一个店一次购买种子花费了45元，则他在甲、乙两个店中的乙店购买种子数量多．解：由题意，得y1＝4.5x.当0≤x≤2时，y2＝5x，当x ＞2时，y 2＝5×2＋(x －2)×5×0.8＝4x ＋2，即y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧5x （0≤x≤2），4x ＋2（x ＞2）.5.某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.6元/立方米计费．设每户家庭用水量为x 立方米时，应交水费y 元．(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)小明家第二季度交纳水费的情况如下：小明家这个季度共用水多少立方米？解：(1)由题意可得，当0≤x≤20时，y ＝2x ，当x ＞20时，y ＝20×2＋(x －20)×2.6＝2.6x －12.由上可得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x≤20），2.6x －12（x ＞20）. (2)因为x ＝20时，y ＝40，所以令30＝2x ，得x ＝15；令34＝2x ，得x ＝17；令47.8＝2.6x －12，得x ＝23.所以四月份用水15立方米，五月份用水17立方米，六月份用水23立方米，15＋17＋23＝55(立方米)，即小明家这个季度共用水55立方米．6.在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是30_cm，25_cm，从点燃到燃尽所用的时间分别是2_h，2.5_h；(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式．解：设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝k1x＋b1.由图可知，b1＝30①，2k1＋b1＝0②.将①代入②，得2k1＋30＝0，解得k1＝－15.所以y＝－15x＋30.设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b2.由图可知，b2＝25③，2.5k2＋b2＝0④.将③代入④，得2.5k2＋25＝0，解得k2＝－10.所以y＝－10x＋25.。
北师大版八年级上册第四章-一次函数知识点题型总结
第四章一次函数知识点1：函数1.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．2. 下列图象中，表示y是x的函数的个数有__________3 在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x=14. 函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤5x的取值范围是___________.5. 在函数知识点2：正比例函数和一次函数1.下列说法正确的是（）．A．一次函数是正比例函数B．正比例函数不是一次函数C．不是正比例函数就不是一次函数D．正比例函数是一次函数2. 下列函数中，是一次函数的有（）（1）y=πx （2）y=2x﹣1 （3）y=1（4）y=2﹣3x （5）y=x2﹣1．x3 若y=x+2-b是正比例函数，则b的值是（）4. 若y=x+2-b 是正比例函数，则b 的值是（）A.0B.-2C.2D.-0.55 若函数y =(m +1)x |m |+2是一次函数，则m 的值为( ) A.m =±1 B.m =-1 C.m =1 D.m ≠-16. y=2x |m|+3表示一次函数，则m 等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．0或﹣1D ．1或﹣17. 一个正比例函数的图象经过点（－2，4），它的表达式为 （ ） A ．B ．C ．D ．8. 若点（m ，m ＋3）在函数y=－21x ＋2的图象上，则m=____9 将一次函数y ＝2x －3的图象沿y 轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A ．y ＝2x －5 B ．y ＝2x ＋5 C ．y ＝2x ＋8 D ．y ＝2x －810. 与正比例函数y=x 相同的函数是A.2xy = B.y=()2x C.y=x212D.y=33x知识点3：正比例函数和一次函数的图像性质1. 已知函数y =（m +1）x 是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（ ）A.2B.-2C.±2D.-2. 一次函数y=（2m ﹣6）x+4中，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是_____．3. 已知正比例函数y=kx （k ＜0）的图象上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且x 1＜x 2，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．y 1+y 2＞0 B ．y 1+y 2＜04. 已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y=﹣3x+2上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y35. 函数y＝kx＋b的图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是____________．6.如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(1，3)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＞3 D．x＜27.如图，直线y＝kx和y＝ax＋4交于A（1，k），则不等式ax＋4＜kx的解集为____________．8.已知点（2，-4）在正比例函数y=kx的图象上。
第四章 一次函数压轴题考点训练(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
第四章一次函数压轴题考点训练A ．．．．【答案】A【分析】根据y 1,y 2的图象判断出k+b 的值，然后根据k-1、所求函数图象经过的象限即可．【详解】解：根据y 1,y 2的图象可知，，且当x=1时，y 2=0，即k+b=0.∴对于函数()1y k x b =-+，有b 时，y=k-1+b=0-1=-1＜0.∴符合条件的是选项.故选：A.【点睛】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关．．．．()A．（-1，0）【答案】B【分析】由题意作A求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线∵A（1，-1），∴C的坐标为（1，1连接BC，设直线BC∴123k bk b+-⎧⎨+-⎩＝＝,解得⎧⎨⎩A ．433B ．233【答案】D【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段用o n AB B ∆∽AON ∆求出线段o n B B 的长度，即点【详解】解：由题意可知，2OM =，点则OMN ∆为顶角30度直角三角形，ON如图所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点∵o AO AB ⊥，iAP AB ⊥∴o iOAP B AB ∠=∠又∵tan 30o AB AO =∙ ，tan i AB AP =∙∴::o i AB AO AB AP=∴o i AB B ∆∽AOP∆∴o i AB B AOP∠=∠【答案】32b -≤≤【分析】根据矩形的性质求得点D 的坐标，交，则交点在线段BD 之间，代入求解即可．【详解】解：矩形ABCD 中，点A 、根据矩形的性质可得：(1,3)D 根据图像得到直线y x b =+与矩形ABCD 将点(4,1)B 代入得：41b +=，解得b 将点(1,3)D 代入得：13+=b ，解得b 由此可得32b -≤≤【答案】0k <或01k <<【分析】分别利用当直线()430y kx k k =+-≠过点值范围，据此即可求解．【详解】解：当直线y =【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和两直线交点坐标的求法，加辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形，是解题的关键．评卷人得分三、解答题13．A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从别为150元/台和240元/台（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为系式，并直接写出自变量x的取值范围；值．【答案】（1）W 关于x 的函数关系式为W ＝140x +12540，自变量x 的取值范围为0≤x ≤30；（2）有三种调运方案：①A 城运往C 乡28台，运往D 乡2台；B 城运往C 乡6台，运往D 乡34台；②A 城运往C 乡29台，运往D 乡1台；B 城运往C 乡5台，运往D 乡35台；③A 城运往C 乡30台，运往D 乡0台；B 城运往C 乡4台，运往D 乡36台；（3）a 的值为200元．【分析】（1）设A 城运往C 乡x 台农机，可以表示出运往其它地方的台数，根据调运单价和调运数量可以表示总费用W ；（2）列出不等式组确定自变量x 的取值范围，在x 的正整数解的个数确定调运方案，并分别设计出来；（3）根据A 城运往C 乡的农机降价a 元其它不变，可以得出另一个总费用与x 的关系式，根据函数的增减性，确定当x 为何值时费用最小，从而求出此时的a 的值．【详解】解：（1）设A 城运往C 乡x 台农机，则A 城运往D 乡（30﹣x ）台农机，B 城运往C 乡（34﹣x ）台农机，B 城运往D 乡（6+x ）台农机，由题意得：W ＝250x +200（30﹣x ）+150（34﹣x ）+240（6+x ）＝140x +12540，∵x ≥0且30﹣x ≥0且34﹣x ≥0，∴0≤x ≤30，答：W 关于x 的函数关系式为W ＝140x +12540，自变量x 的取值范围为0≤x ≤30．（2）由题意得：1401254016460030x x +>⎧⎨⎩，解得：28≤x ≤30，∵x 为整数，∴x ＝28或x ＝29或x ＝30，因此有三种调运方案，即：①A 城运往C 乡28台，运往D 乡2台；B 城运往C 乡6台，运往D 乡34台；②A 城运往C 乡29台，运往D 乡1台；B 城运往C 乡5台，运往D 乡35台；③A 城运往C 乡30台，运往D 乡0台；B 城运往C 乡4台，运往D 乡36台；（3）由题意得：W ＝（250﹣a ）x +200（30﹣x ）+150（34﹣x ）+240（6+x ）＝（140﹣a ）x +12540，∵总费用最小值为10740元，∴140﹣a ＜0∴W 随x 的增大而减小，又∵28≤x ≤30，∴当x ＝30时，W 最小，即：（140﹣a ）×30+12540＝10740，【答案】（1）y=2x+4（2）1112-+【分析】（1）根据图像求出B的坐标，然后根据待定系数法求出直线（1）求m 的值；（2）点P 从O 出发，以每秒2个单位的速度，沿射线OA 方向运动.设运动时间为t ()s .①过点P 作PQ OA ⊥交直线AB 于点Q ，若APQ ABO ∆≅∆，求t 的值；②在点P 的运动过程中，是否存在这样的t ，使得POB ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）①2或8；②2.5或4或6.4.3【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，形的性质，利用分类讨论的思想方法，是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+交于点C ．（1）求点A ，B 的坐标．（3）存在．∵线段AB在第一象限，∴这时点P在x轴负半轴．∵==OA 2,OB 4，∴222224BP OP OB x =+=+，222222420AB OA OB =+=+=，222()(2)AP OA OP x =+=-．∵222BP AB AP +=，∴222420(2)x x ++=-，解得8x =-，∴当点P 的坐标为(8,0)-时，ABP 是直角三角形；③设AB 是直角边，点A 为直角顶点，即90BAP ∠= ．∵点A 在x 轴上，P 是x 轴上的动点，∴90BAP ∠≠ ．综上，当点P 的坐标为(0,0)或(8,0)-时，ABP 是直角三角形．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及直角三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想和一次函数图像的性质是解答本题的关键．。
八年级数学上册第四章一次函数单元综合测试含解析北师大版
《第4章一次函数》一、选择题1．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（)A．1个B．2个C．3个D．4个2．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD，设BC的边长为x米,AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=﹣2x+24（0＜x＜12) B．y=﹣x+12(0＜x＜24）C．y=2x﹣24（0＜x＜12）D．y=x﹣12（0＜x＜24)3．一次函数y=mx+｜m﹣1|的图象过点（0，2)，且y随x的增大而增大,则m=（）A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣1或34．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（)A．（2，﹣3），（﹣4，6) B．(﹣2,3），（4，6）C．（﹣2，﹣3)，（4，﹣6）D．（2,3），（﹣4，6）5．对于函数y=﹣x+3,下列说法错误的是（)A．图象经过点(2，2）B．y随着x的增大而减小C．图象与y轴的交点是（6，0）D．图象与坐标轴围成的三角形面积是96．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是() A．B． C．D．7．P1（x1，y1)，P2（x2，y2）是一次函数y=﹣2x+5图象上的两点,且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（)A．y1＜y2 B．y1=y2C．y1＞y2 D．y1＞y2＞08．已知一次函数y=x+m和y=﹣x+n的图象都经过点A(﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点,那么△ABC的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．69．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、(4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时,线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．810．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，点B2013的坐标为（)A．(42012×，42012） B．（24026×，24026)C．（24026×，24024）D．(44024×，44024）二、填空题11．将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是．12．函数y=中,自变量x的取值范围是．13．一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大,则m的取值范围是．14．直线y=3x﹣m﹣4经过点A（m,0），则关于x的方程3x﹣m﹣4=0的解是．15．已知某一次函数的图象经过点A(0，2）,B(1，3),C（a,1）三点,则a的值是．16．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示,那么乙播种机参与播种的天数是天．17．经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是．18．如果直线l与直线y=﹣2x+1平行，与直线y=﹣x+2的交点纵坐标为1,那么直线l的函数解析式为．三、解答题（共66分)19．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3)两点．(1）求k、b的值；（2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a 的值．20．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数专题练习
一次函数专题练习题型一：判断一次函数的图象1.正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx ﹣k 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知正比例函数y ＝kx 的图象经过第二、四象限，则一次函数y ＝kx ﹣k 的图象可能是图中的（ ）A. B. C. D.3.在同一坐标系中，正比例函数y=kx 与一次函数y=x －k 的图象为( )A. B. C. D.4.如图，一次函数y 1＝ax ＋b 与y 2＝abx ＋a 在同一坐标系内的图象正确的是( )A ．B ．C ．D ．5.两个一次函数1y mx n=+，2y nx m=+，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在同一直角坐标系中，直线l1:y=kx和l2:y=(k−2)x+k的位置不可能是（）A. B. C. D.7.两个一次函数①y1=ax+b与②y2=bx+a在同一坐标系中的大致图象是（）A. B. C. D.题型二：根据一次函数解析式判断其经过象限1.函数2y x=-的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.一次函数35y x=-的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限3.已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那该直线不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.一次函数y=–5x+b的图象一定经过的象限是（）A.第一、三象限B.第二、三象限C.第二、四象限D.第一、四象限5.函数y x=的图象与21y x=+的图象的交点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知一次函数1y kx=+，y随x的增大而增大，则该函数的图象一定经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限题型三：已知函数经过的象限，求参数的取值范围1.已知一次函数y ＝（k ﹣2）x+k 不经过第三象限，则k 的取值范围是（ ） A.k ≠2 B.k ＞2 C.0＜k ＜2 D.0≤k ＜22.已知一次函数2y kx m x =--的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（ ） A ．0,0k m >< B ．2,0k m >>．C ．2,0k m ><D ．2,0k m <>3.函数y=（m-4）x+2m-3的图象经过一、二、四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．4m <B ．1.54m <<C ． 1.54m -<<D ．4m >4.若一次函数(2)y m x m =-+的图像经过第一，二，三象限，则m 的取值范围是（ ） A.02m << B.02m <≤ C.2m > D.02m ≤<5.已知一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限，则k 、b 的符号是（ ） A.k 0<，0b > B.0k >，0b ≥C.k 0<，0b ≥D.0k >，0b ≤题型四：一次函数图象与坐标轴交点问题1.一次函数23y x =--的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A ．(3,0)B ．(0,3)C ．(3,0)-D ．(0,3)-2.直线y=x+1与x 轴交于点A ，则点A 的坐标为（ ） A.（2，1） B.(-1,0)C.(1,-5)D.(2,-1)3.如图，一次函数y ＝2x+1的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（ ）A ．14 B ．12 C ．2 D ．44.已知一次函数4y kx =-（k 0<）的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，则该一次函数表达式为（ ）A.4y x =-- B .24y x =-- C.34y x =-- D.44y x =-- 5.一次函数y=-2(x-3)在y 轴上的截距是( ) A.2B.-3C.6D.66.已知直线y ＝kx+8与x 轴和y 轴所围成的三角形的面积是4，则k 的值是（ ） A ．-8 B ．8 C ．土8 D ．4 题型五：一次函数图象平移问题1.把函数y x =向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )A.()2,2 B.()2,3 C.()2,4 D.(2,5)2.将直线y =3x −1向上平移1个单位长度，得到的一次函数解析式为（ ） A.y =3x B.y =3x +1 C.y =3x +2 D.y =3x +33.已知直线y ＝﹣2x+1通过平移后得到直线y ＝﹣2x+7，则下列说法正确的是（ ） A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位 C.向上平移7个单位 D.向下平移6个单位4.把直线y kx =向上平移3个单位，经过点()1,5，则k 值为（ ）A ．-1B ．2C ．3.D ．5题型六：判断一次函数的增减性1.已知点（-1，y 1）、（3，y 2）都在直线y=-2x+1上，则y 1、y 2大小关系是（ ）A ．12y y > B ．12y y = C ．12y y < D ．不能比较2.已知一次函数32y x =+上有两点()11,M x y ，()22,N x y ，若12x x >，则1y 、2y 的关系是（ ）A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.无法判断3.已知点（-2，y 1），（-1，y 2），（1，y 3）都在直线y=－13x+b 上，则y 1，y 2，y 3的值的大小关系是（ ）．A.y 1>y 2>y 3B.y 1<y 2<y 3C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 1>y 24.一次函数y 1＝kx+b 与y 2＝x+a 的图象如图所示，则下列结论中正确的个数是（ ）①y 2随x 的增大而减小；②3k+b ＝3+a ；③当x ＜3时，y 1＜y 2； ④当x ＞3时，y 1＜y 2． A ．3B ．2C ．1D ．0题型七：根据一次函数增减性求参数1.已知一次函数y ＝（3﹣a ）x+3，如果y 随自变量x 的增大而增大，那么a 的取值范围为（ ） A ．a ＜3 B ．a ＞3 C ．a ＜﹣3 D ．a ＞﹣32.某一次函数的图象经过点（1，2），且y 随x 的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ） A ．24y x =+B ．31y x =-C ．31y x =-+D ．24y x =-+题型八：根据一次函数增减性判断自变量的变化1.如图是一次函数y=kx+b 的图象，当y ＜1时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜2 B ．x ＞2 C ．x ＜3 D ．x ＞3 题型九：求一次函数解析式1.已知函数3y x b =-+，当13x =-时，1y =，则b =____．2.直线y kx b =+与51y x =-+平行，且经过（2，1），则k +b =______。
2024年北师大版八年级上册第四章 一次函数第四章 一次函数
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“一次函数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.《标准2022》对一次函数的学习要求是:结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式;能画出一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数;体会一次函数与二元一次方程的关系,进一步发展建模意识;能用一次函数解决简单实际问题,发展应用意识.函数的教学,要通过对现实问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解用函数表达变化关系的实际意义;要引导学生借助平面直角坐标系中的描点,理解函数图象与表达式的对应关系,理解函数与对应的方程、不等式的关系,增强几何直观;会用函数表达现实世界事物的简单规律;注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用.运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.经历用数学的语言表达现实世界的过程,提升学生学习数学的兴趣,进一步发展应用意识.2.本单元教学内容分析北师大版教材八年级上册第四章“一次函数”,本章包括四个小节:4.1函数;4.2一次函数与正比例函数;4.3一次函数的图象;4.4一次函数的应用.函数学习在中学数学中占据重要地位,既是教学的重点,也是教学的难点.本章是学生第一次接触函数,是后续学习反比例函数、二次函数的基础.函数的概念和函数的图象贯穿整个函数的教学,是学习函数的重点,同时函数概念中体现出的变化与对应的思想、数形结合思想是决定函数学习是否顺利的关键.一次函数是学生接触的第一类函数,在教学中, 一般利用函数图象归纳函数性质,利用函数性质和图象来解决问题,这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法.函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识,真正体会到函数是反映现实世界的有效数学模型.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数,它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式,因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象,让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律,探讨函数中的数与形的对应关系,逐步掌握解决一次函数问题的技能.由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用,因此,在具体的教学过程中,可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解,促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成,加强对知识之间内在联系的认识,体会函数观点的统领作用,也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.三、单元学情分析本单元内容是北师大版教材数学八年级上册第四章一次函数,本单元是在学习了实数、平面直角坐标系的基础上学习的,学生对数形结合思想有了一定的认识,它为本章的学习作了铺垫,一次函数的学习又为后续函数的学习作了铺垫,因此本章内容起着承上启下的作用.本单元让学生进一步认识用图象法表示函数关系,并开始学习一类最基本的函数——一次函数.学习一次函数,意味着从常量数学进入变量数学的学习.学生的思维要随之改变,这是对学生思维能力的考验,也是对数学认识的一次飞跃.学生在学习一次函数的过程中,对简单问题往往能根据课堂所学的概念知识,画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数的理解程度.但随着时间的推移,随着问题情境复杂化,他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够,停留在感性认识多些,理性认识少些,对一次函数表达式的直接应用多些,对表达式与图象间的内在联系运用薄弱些,需要多练、多探、多问、多总结经验.学生在学习过程中遇到困难主要有:复杂问题情景化转移到一次函数图象;结合题意理解一次函数所表达的信息;结合题意将图象信息转换为数量关系.因此,本单元教学应注意数形结合,需要多练、多问、多总结.四、单元学习目标1.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识.2.经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.3.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义.4.能画一次函数的图象,经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识,体会数形结合的思想.六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
初中数学北师大版(2024)八年级上册 第四章 一次函数单元测试(含简单答案)
第四章一次函数一、单选题1．下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．2．关于一次函数y=−2x+3，下列结论正确的是（ ）A．图象过点(1,−1)B．其图象可由y=−2x的图象向上平移3个单位长度得到C．y随x的增大而增大D．图象经过一、二、三象限3．设半径为r的圆的周长为C，则C＝2πr，下列说法错误的是()A．常量是π和2B．常量是2C．用C表示r为CD．变量是C和r2π4．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝bx+k的图象可能正确的是（ ）A．B．C．D．5．如果M(−1,y1)，N(2,y2)是正比例函数y=kx的图象上的两点，且y1>y2．那么符合题意的k的值可能是()A．1B．1C．3D．−236．如图所示，已知点C(1，0)，直线y=−x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是()A．42B．10C．42+4D．127．函数y=|kx|(k≠0)的图象可能是（）A．B．C．D．8．我们把三个数的中位数记作Z{a，b，c}．例如Z{1，3，2}=2．函数y=|2x+b|的图象为C1，函数y=Z{x+1，-x+1，3}的图象为C2．图象C1在图象C2的下方点的横坐标x满足-3<x<1，则b的取值范围为（）A．0<b<3B．b>3或b<0C．0≤b≤3D．1<b<39．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h B．乡村公路总长为90kmC．汽车在乡村公路上的行驶速度为65km/h D．该记者在出发后5h到达采访地10．如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k<0；②a>0；③b>0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．函数y=−3x+6的图象与x轴．y轴围成的三角形面积为．12．如图，购买一种商品，付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次性购买50千克这种商品要付款元．13．直线y=kx+b平行于直线y=−2x，且与y轴交于点(0，3)，则此函数的解析式y=．14．已知点A（2，y1），B（3，y2）在直线y＝﹣3x+1上，则y1与y2的大小关系为：y1y2.（填“＞”，“＝”或“＜”）15．若y=(m−1)x|m|+2是关于x的一次函数，则m等于．16．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x＋1．若无论x取何值，总有y1＞y2，则k的值是．17．杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，在整个小时两车第一次相遇．两车之间的距离y千米运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过103与行驶时间x小时之间的部分函数关系如图所示，当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了千米．18．如图，在平面直角坐标系中，点A1(1,1)在直线y=x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y=−x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交y=x 的图象于点A2，交y=−x的图象于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2⋯依此类推，按照图中反映的规律，第2020个正方形的边长是．三、解答题19．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格．距离地面高度（千米）12345温度（℃）201482−4−10根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答；(1)如果用ℎ表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与ℎ的关系式；(2)你能计算出距离地面16千米的高空温度是多少吗？x+2和y=2x﹣3的图象分别交y轴与A、B两点，两个一次函数的20．已知一次函数y=﹣12图象相交于点P．（1）求△PAB的面积；（2）求证：∠APB=90°；（3）若在一次函数y=2x﹣3的图象上有一点N，且横坐标为x，连结NA，请直接写出△NAP 的面积关于x的函数关系式，并写出相应x的取值范围．21．已知直线y＝－4x＋4与x轴和y轴分别交于B、A两点，另一直线经过点B和点D3（11,6）．（1）求A、B的坐标；（2）证明：△ABD是直角三角形；（3）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标．22．如图，l1和l2分别是走私船和我公安快艇航行路程与时间的函数图象，请结合图象解决下列问题：（1）在刚出发时，我公安快艇距走私船多少海里？（2）计算走私船与公安艇的速度分别是多少？（3）求出l1，l2的解析式．（4）问6分钟时，走私船与我公安快艇相距多少海里？23．如图1，某地铁车站在出入口设有上、下行自动扶梯和步行楼梯，甲、乙两人从车站入口同时下行去乘坐地铁，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，乙离地铁进站入口地面的高度ℎ（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系ℎ=−15x+6，甲离地铁进站入口地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达地铁进站入口地面．24．已知直线y=kx+b可变形为：kx−y+b=0，则点P（x0, y0）到直线kx−y+b=0的距离d可用公式d=|kx0−y0+b|1+k2计算．例如：求点P（－2，1）到直线y=x+1的距离．解：因为直线y=x+1可变形为x−y+1=0，其中k=1，b=1．所以点P（－2，1）到直线y=x+1的距离为d=|kx0−y0+b|1+k2=|1×(−2)−1+1|1+12=22=2．根据以上材料求：（1）点P（2，－1）到直线y=2x−1的距离；（2）已知M为直线y=−x+2上的点，且M到直线y=2x−1的距离为35，求M的坐标；（3）已知线段y=kx+3(−1≤x≤2)上的点到直线y=x+1的最小距离为1，求k的值．25．如图，一次函数y=x+1的图象分别与x轴，y轴交于点B与点A，直线AC与x轴正半轴交于点C，且∠BAO=45°，OC=2OB．(1)求直线AC的函数表达式；(2)点D在直线AB上且不与点B重合，点E在直线AC上．若以A，D，E为顶点的三角形与△ABC全等，请直接写出点D的坐标（不必写解答过程）；(3)已知平面内一点P(m，n)，作点P关于直线AB的对称点P1，作P1关于y轴的对称点P2，若P2恰好落在直线AC上，则m，n应满足怎样的等量关系？说明理由．26．某企业准备为员工采购20000袋医用口罩．经市场调研，准备购买A，B，C三种型号的口罩，这三种型号口罩的价格如下表所示：型号A B C价格/（元/袋）303540已知购买B型号口罩的数量是A型号口罩的2倍，设购买A型号口罩x袋，该企业购买口罩的总费用为y元．(1)请求出y与x之间的函数表达式；(2)因为A型号口罩的数量严重不足，口罩生产厂家能提供的A型号口罩的数量不大于C型号口罩的数量，怎样购买能使该企业购买口罩的总费用最少？请求出费用最少的购买方案，并求出总费用的最小值．参考答案：1．D 2．B 3．B 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．D 10．A 11．612．42013．−2x +314．＞15．−116．−117．25018．2×3201919．(1)t =20−6ℎ(ℎ≥0)(2)距离地面16千米的高空温度是−76℃20．（1）5；（3）当x ＞2时，△NAP 的面积S=52（x ﹣2）；当x ＜2时，△NAP 的面积S=52（2﹣x ）．21．（1）A （0,4）,B （3,0）；（3）C （14122，0）．22．（1）5海里；（2）走私船：1海里/分；公安快艇：1.5海里/分（3）y 1=t+5 ；y 2=32t ；（4）2海里；23．（1）y =−310x +6；（2）甲先到地铁进站入口地面．24．（1）455；（2）M （6，－4）或M （－4，6）；（3）k =−2+3或22x+125．(1)y=−12(2)点D的坐标为(−102,1−102)或(1，2)或(102,1+102)；(3)2m+1=n，26．(1)y=−20x+800000(2)当购买A型号口罩5000袋，B型号口罩10000袋，C型号口罩5000袋时，该企业购买口罩的总费用最少，总费用的最小值为700000元。
2024-2025学年北师大版数学八上 第四章 一次函数 单元试卷(含答案)
14．−4
15．<
1
1
16．k=2或−2.
17． = 2 + 10 (−5 < < 0)
18．（1） = 20−2 （2）5 < < 10
19．(1) = 1.5 + 5(0 < < 15)；
(2)当弹簧长度为23cm时，所挂物体的质量为 12kg．
20．（1）y1=15x+30（x≥3），y2=12x+60（x≥3）；（2）当购买 10 张票时，两种优惠方案付款
．
时，y 随 x 的增大而增大．
14．已知正比例函数 = −2的图象经过点(2,)，则 m 的值为
15．已知点(−2,1)，(2,2)都在直线 = 2−3上，则1
．
2．（填“<”或“>”或“=”）
16．若直线 ykx2 与坐标轴围成的三角形的面积是 4，则 k 的值为
.
17．已知点(−4,0)及第二象限的动点(,)，且− = 5．设的面积为，则关于的
10．已知一次函数 y＝kx+b（k，b 为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论
正确的是(
A．kb＞0
)
B．kb＜0
C．k+b＞0
D．k+b＜0
二、填空题
11．一次函数 = 2 + 1与轴的交点坐标是
12．请写出一个当 > 1时，随的增大而减小的函数表达式：
13．已知一次函数 = (5−) + 2，当 m
B． = + 1
6．一次函数 = −2−1的图象大致是（
A．
C． = −−2
）
第4章一次函数 题型全解8 一次函数与几何综合题型-北师大版八年级数学上册
《一次函数》题型解读8 一次函数与几何综合题型【题型与方法解读】1.解题关键：2.解题技巧：（1）求关键点的坐标：①用“x=0或y=0”分别求与坐标轴交点；②用二元一次方程组求两线段的交点坐标；③代入法求点的坐标；④作x、y轴的垂线，求垂线段的长度求点的坐标；（2）求关键线的解析式①常用“等定系数法”求某条线段所在直线的解析式；②也可以通过以下两个技巧设或求解析式：若两直线平行，则它们的K值相同；若两直线垂直，则它们的K值为负倒数；（3）已知或求面积问题：解题思路-----先明确面积方法：①公式法；②外补法（面积差）或内割法（面积和）（4）注意几何图形中隐藏的数学典型模型或典型图形①“一线三垂直或二垂或一垂模型”；②“双垂直模型”；③“一线三等角模型”；④“角平分线+平行线=等腰”模型；⑤“两圆一线”的解题方法；⑥“将军饮马问题”求线段和最小值；（5）常用的补充公式：①中点坐标公式：若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB 的中点O 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)②两点之间的距离公式：若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 ③求面积的三种方法：公式法；补割法；等底等高面积相等；【典型例题】例1.如图，直线y =43x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 为线段OB 上一点，将△ABC 沿着直线AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的D 处，则△ACD 的面积为______．解：∵直线y =43x +4，∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =−3，∴点A 的坐标为(−3,0)，点B 的坐标为(0,4)，∴OA =3，OB =4，∴AB =5，∵将△ABC 沿着直线AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的D 处，∴AD =5，∴OD =2，设OC =a ，则BC =4−a ，∵BC =DC ，∴DC =4−a ，∵∠COD =90∘，∴a 2+22=(4−a)2，解得，a =32，即OC =32，∵AD =5，∴△ACD 的面积为：AD⋅OC 2=5×322=154，例2.如图,直线22+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点C 是第二象限内一点,连接CB,若∠CBA=45°,则直线BC 的解析式为_________.ED Oy xCBA解析：解题经验：出现45°角必构造等腰直角三角形，这是解题的突破口。
北师大版八年级上册 第四章 一次函数 常见题型总结 辅导教案
【习题2】市内电话收费标准如下：3分钟以内(含3分钟)收费O．2元，超过的部分，每分钟0.1元．(不足1分钟的部分以1分钟计)
(1)写出应收话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的函数关系式(设x为自然数)；
(2)通话6分钟应收话费多少元?通话时间5分30秒应收话费多少元?
(3)若某次通话费用为1元，求通话时间x(分钟)的取值范围?
【例2】甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）（1）在CD段轿车停留了________小时；
（2）求线段DE对应的函数关系式；
（3）当轿车出发几小时后两车相距30km？
【习题3】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：
（1）乙车比甲车晚出发多少时间？
（2）乙车出发后多少时间追上甲车？
（3）求乙车出发多少时间，两车相距50千米？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《一次函数》题型解读8 一次函数与几何综合题型【题型与方法解读】2.解题技巧：（1）求关键点的坐标：①用“x=0或y=0”分别求与坐标轴交点；②用二元一次方程组求两线段的交点坐标；③代入法求点的坐标；④作x、y轴的垂线，求垂线段的长度求点的坐标；（2）求关键线的解析式①常用“等定系数法”求某条线段所在直线的解析式；②也可以通过以下两个技巧设或求解析式：若两直线平行，则它们的K值相同；若两直线垂直，则它们的K值为负倒数；（3）已知或求面积问题：解题思路-----先明确面积方法：①公式法；②外补法（面积差）或内割法（面积和）（4）注意几何图形中隐藏的数学典型模型或典型图形①“一线三垂直或二垂或一垂模型”；②“双垂直模型”；③“一线三等角模型”；④“角平分线+平行线=等腰”模型；⑤“两圆一线”的解题方法；⑥“将军饮马问题”求线段和最小值；（5）常用的补充公式：①中点坐标公式：若，，则AB的中点O的坐标为②两点之间的距离公式：若，，则AB=③求面积的三种方法：公式法；补割法；等底等高面积相等；【典型例题】例1.如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为线段OB上一点，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D处，则的面积为______．解：直线，当时，，当时，，点A的坐标为，点B的坐标为，，，，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D 处，，，设，则，，，，，解得，，即，，的面积为：，例2.如图,直线22+=xy与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C是第二象限内一点,连接CB,若∠CBA=45°,则直线BC的解析式为_________.yC B解析：解题经验：出现45°角必构造等腰直角三角形，这是解题的突破口。
过点A 作AD ⊥AB 交BC 于点D ，作DE ⊥轴于点E ，出现数学典型模型：“一线三垂直模型”，则易证△OAB ≌△EDA ，则OB=AE=2，OA=DE=1，∴OE=3，∴D 点的坐标为（-3，1），∵D （3，2），B （0，2），用“待定系数法”可求得BC 的解析式：.例3.已知,如图点A(1,1),B(2,-3),点P 为x 轴上一点,当PBPA -最大时,点P 的坐标为（ ）A.()01，-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛021， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛045，D.()01， 解析：“将军饮马问题”，选择压轴题。
选B依“两边之差小于第三边”可知：|PA-PB|<AB ，当P 、A 、B 在同一直线上时，|PA-PB|=|PA`-PB|=A`B,有最大值。
∴作点B 关于x 轴的对称点B`，连接B`A 并延长交x 轴于点P ，∵A`(1,-1),B(2,-3)，∴直线A`B 的解析式为：y=-2x+1，当y=0时x=,∴P()例4.如图,平面直角坐标系中,直线AB:bx y +-=31交y 轴于点A(0,1),交x 轴于点B ，直线1=x 交AB 于点D,交x 轴于点E,P 是直线1=x 上一动点,且在点D 的上方,设P(1,n )：(1)求直线AB 的解析式和点B 的坐标；(2)求△ABP 的面积(用含n 的代数式表示)；(3)当2=ABP S △时,以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出点C 的坐标(直接写出结果即可)。
解析：考查一次应用知识和直角三角形的分类讨论 ，解答压轴题M 图2FxyOAB P E CC图1xyO ABP E 图3E P CBAOyxPA`（1）基础简单题。
代入A 点坐标，可得直线AB 的解析式为：,当y=0时，x=3，∴B 点坐标为（3，0）（2）中等难度题。
当x=1时，y=,∴D 点坐标为（1，），∵P 是直线1=x 上一动点,且在点D 的上方,P(1,n )，∴PD=n-,∴.注：∵PE//y 轴，△APD 高会等于OE 的长，而BE 是△PDB 的界外高。
（3）压轴小题，数学典型模型“一线三垂直”；当2=ABP S △时,n=2，∴P 点坐标为（1，2）①当点C 为等腰直角三角形BPC 的直角顶点时，∵P(1,2),B(3,0),∴PE=BE=2,∵PE ⊥BE,∴△EPB 是等腰直角形，分别过点P 、B 作BE 和PE 的平行线，交于点C ，如图1，可知△CPB 是等腰直角三角形，此时C 的坐标为（3，2）； ②当点P 为等腰直角三角形BPC 的直角顶点时， 如图2，出现数学典型模型“一线三垂直”中的“二垂模型”，作CF ⊥PE 于点F ，∵△CPB 是等腰直角三角形，易证△EPB ≌△FCP,∴CF=PE=2,PF=BE=2,∴EF=4,∴C(3,4)； ③当点B 为等腰直角三角形BPC 的直角顶点时，如图3，出现数学典型模型“一线三垂直”中的“二垂模型”，作CM ⊥x 轴于点M ，∵△CPB 是等腰直角三角形，易证△EPB ≌△MBC,∴CM=BE=2,BM=PE=2,∴OM=5,∴C(5,2)； 综上所述，当C 点坐标为（3，2）、（3，4）、（5，2）时，△BPC 是等腰直角三角形。
例5.如图，在平面直角坐标系中，直线交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交直线于点C ，点D 与点B 关于x 轴对称，连接AD 交直线于点E ．填空：______．求直线AD 的解析式；在x 轴上存在一点P ，则的和最小为______；直接填空即可当时，点Q 为y 轴上的一个动点，使得为等腰直角三角形，求点Q 的坐标．解：如图1，直线交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，令，，， 令，，，，点D 与点B 关于x 轴对称，， ，如图1，设直线AD 的解析式为，由知，，，，， 直线AD 的解析式为；如图2，由知，直线AD 的解析式为，直线CE ：，，点D 与点B 关于x 轴对称，连接BE 交x 轴于P ，此时，最小，最小值为BE ，，的最小值是，则的和最小为； ，∽，，设，，为等腰直角三角形时，存在以下三种情况： 当E 为直角顶点时，如图3，，则，，，；当C 为直角顶点时，如图3，同理得；当Q 为直角顶点时，如图4，此时Q 与O 重合， 综上，点Q 的坐标为或或．例6.如图，已知函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与数x y =图象交于点M ，点M 的横坐标为2，在x 轴上有点P(a ，0)（其中a>2)，过点P 作x 轴的垂线，分别交函数和x y =的图象于点C 、D 。
(1)求点A 的坐标：(2)若OB=CD ，求a 的值（3）在(2)条件下若以0D 线段为边，作正方形0DEF ，求直线EF 的表达式。
解：（1）∵点M 在直线y=x 的图象上，且点M 的横坐标为2，∴点M 的坐标为（2，2），把M （2，2）代入y=﹣x+b 得﹣1+b=2，解得b=3， ∴一次函数的解析式为y=﹣x+3，把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，∴A 点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，∴B 点坐标为（0，3）， ∵CD=OB ，∴CD=3，∵PC ⊥x 轴，∴C 点坐标为（a ，﹣a+3），D 点坐标为（a ，a ）∴a ﹣（﹣a+3）=3，∴a=4．（3）如图以OD 为边作正方形ODEF 有两种情况。
∵D(4，4)F 1当正方形为ODE 1F 1时，∵,OD 与x 轴夹角为450，∴∴正方形顶点E 1在x 轴上，由对称性知 ∴ ，∴直线同理当正方形为ODE 2F 2时，∴直线，例7.要在某河道建一座水泵站P ，分别向河的同一侧甲村A 和乙村B 送水，经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A （1，-2），B （9，-6）.（1）若要求水泵站P 距离A 村最近，则P 的坐标为____________；（2）若从节约经费考虑，水泵站P 建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管最短？ （3）若水泵站P 建在距离大桥O 多远的地方，可使它到甲乙两村的距离相等？解析：（1）依数学原理“点到直线的距离，垂线段最短”，作AP ⊥x 轴于点P ，即为所求，∵A 点坐标为（1，-2），∴P 点坐标为（1，0）；（2）依数学原理“两点之间线段最短”解题，由题可知，即求PA+PB 最短，作点A 关于x 轴的对称点A`，连接A`B 交x 轴于点P ，此时PA+PB 最短距离为A`B 的长度。
∵A(1,-2),∴A`(1,2)，设，代入A`、B 两点坐标，可得，解得，∴直线A`B 的表达式为y=-x+3，当y=0时，x=3，∴P 点坐标为（3，0）； （3）依“垂直平分线的性质”解题.作线段AB 的垂直平分线，交x 轴于点P ，此时PA=PB.依中点坐标公式可得线段AB 的中点G 的坐标为（5，-4）,由A 、B 两点坐标可得直线AB 的表达式为y=-0.5x-1.5，∵PG ⊥AB ，∴设直线PG 的表达式为y=2x+b,代入G 点坐标，可得y=2x-14，当y=0时x=7，∴P 点坐标为（7，0）.图1图2例8.如图1，已知直线AO与直线AC的表达式分别为：和.（1）直接写出点A的坐标；（2）若点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，MN=OA，求点N的坐标；（3）如图2，若点B在x轴正半轴上，当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，求∠ACO+∠BCO的大小.解析：（1）A点的坐标为（4，2）；（2）由A点坐标可得OA=，∴MN=OA=2，则存在以下两种情况：①当M在N点下方时，如图3，∵点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，∴设M的坐标为（a,2a-6），则N的坐标为（a,），则MN=-（2a-6）=2，解得a=，∴N点的坐标为（，）；②当M在N点上方时，如图4，则MN=（2a-6）- -=2，解得a=，∴N点的坐标为（，）；综上所述，N的坐标为（，），（，）（3）思路分析：利用“等底时两三角形面积之比等于高之比”可得出OB的长，解题的关键在如何转化“∠ACO+∠BCO”，这里有几条解题经验值得借鉴：①到目前为止，我们所学的均是求一个角的角度，不会涉及到角度的和差关系，故一定要把“∠ACO+∠BCO”通过等量代换成一个角；故有了作∠GCO=∠BCO的辅助线思路，把∠ACO+∠BCO 转化成∠ACG，；②题目条件没出现具体角度，但结论又要求角度的，这个角度一定是一个特殊角，即∠ACG的度数一定是个特殊角；即∠ACG处于一个特殊的三角形中，于是有了作DE⊥GC的辅助线思路，运用勾股定理知识即可解答。
∵△BOC与△AOC有相同的底边OC，∴当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，△BOC的高OB的长度是△AOC的高的一半，∴OB=2，设直线AC与x轴的交点为点D，则D(3，0)，作点B关于y轴的对称点G，则OG=0B=2，GD=5,∠BCO=∠GCO，则∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，连接GC，作DE⊥GC于点E，由勾股定理可得：GC=,DC=,在△CGD中，由等面积法可得：OC •DG=DE •GC ，可得DE=,在Rt △DEC 中，由勾股定理可得EC=,∴ED=EC,∴∠ECD=45°,即∠ACO+∠BCO=45°.例9.如图，直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线经过点C （-1，0），D （0，），与直线AB 交于点E 。