2.7.1 点到直线的距离公式
2.7.1点到直线的距离公式
点到直线的距离公式使用说明：1.阅读探究课本P99-100页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
【学习目标】1.了解并初步掌握用向量处理平面几何问题的一般方法.2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.3. 通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何,解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性. 【重点难点】重点:用向量方法解决平面几何问题,解析几何问题. 难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.一.知识链接 1. 若()11,y a x →= ()22,y b x →= 则 .ab →→=_____________________2.若(),y a x →=，则a →=____________________ 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为()11,y x ()22,y x 那么a →=________________________,a →=________________________________3. 设()11,y a x →=()22,y b x →=则a →⊥b →⇔4. 设.ab →→都是非零向量，()11,y a x →= ()22,y b x →=θ是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cos θ=_________________=_______________________________________二.教材助读 1.设点p()0,y x 是平面上一定点，它到直线:0l Ax By C ++=的距离d 为:________________________,____________________你能用向量的方法证明吗？三、预习自测1.求点p(2,3)到直线:210l x y ++=的距离.2.已知三点A(-1,2),B(3,4),C(-2,5),求经过点A 且与过B,C 两点的直线垂直的直线方程.yln→(),My x (),Py xx预习案基础知识探究 1.求证:过点()00,y x A 并且垂直于向量(),n a b →=的直线方程是0+ax by a b y x =+综合应用探究2.在直角梯形ABCD 中AB ∥CD ，90CDA DAB ∙∠=∠=12CD DA AB ==,求证：AC ⊥BC . 当堂检测1. 若将函数()y f x =的图像按向量a →平移,使图像上点的坐标由(1,0)变为(2,2)则平移后的图像的解析式为( )A. ()12y f x =+-B. ()12y f x =--C. ()12y f x =-+D. ()12y f x =++ 2. 有一边长为1的正方形ABCD,设aAB →=,bBC →=,cAC →=,则a b c -+=________________3.已知2a =，2b =，a →与 b →的夹角为045，则使b a λ→→-与a →垂直的λ=______________ 4．已知两条直线1:(23)10mx m y l ---=, ()2:25(6)70m x m y l +++-=,如果12//l l ,求m 的值.我的收获xABCD(O)y。
点到直线的距离 公式
点到直线的距离 公式
距离是指两点之间的长度，而直线是一条无限延伸的线段。
点到直线的距离是指从给定点到直线上最近的点的距离，这是一个常见的几何问题。
为了计算点到直线的距离，我们可以使用距离公式。
在平面几何中，点到直线的距离公式可以表示为：
d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)
其中，(x, y) 是表示给定点的坐标，A、B和C是表示直线的一般方程 Ax + By + C = 0 的系数。
这个公式来源于向量的性质。
点到直线的距离等于从该点到垂直于直线的向量的长度。
在直线上任意选取一点，连接给定点与该点形成一向量，然后将该向量与直线的法向量进行垂直投影，即可得到垂线段。
垂线段的长度即为点到直线的距离。
通过使用距离公式，我们可以轻松地计算点到直线的距离。
首先，我们需要确定给定直线的一般方程 Ax + By + C = 0 的系数 A、B和C。
然后，将坐标 (x, y) 替换到公式中，根据公式计算得出点到直线的距离 d。
需要注意的是，如果 A^2 + B^2 的值为0，表示直线不存在，此时无法计算点到直线的距离。
点到直线的距离公式在数学和几何等领域具有广泛的应用。
它可以用于解决线性代数、计算几何和物理等问题。
无论是在学术研究还是实际应用中，点到直线的距离公式都是非常有用的工具。
它帮助我们理解和分析点和直线之间的关系，为解决各种几何问题提供了方便和准确的计算方法。
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式点到直线的距离公式是数学中的一个重要概念，它描述了从一个给定点到直线的最短距离。
这个概念在几何学、物理学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
这篇文章将详细介绍点到直线的距离公式，并且讨论如何应用这个公式解决实际问题。
首先，我们来定义一条直线。
在平面几何中，一条直线可以通过两个参数来表示，分别是直线上一个点的坐标和直线的斜率。
假设这个点的坐标为P(x₁, y₁)，斜率为k，那么直线的方程可以写成y = kx + b。
其中b = y₁ - kx₁是由点P确定的直线的截距。
现在，我们来考虑一个点Q(x₀,y₀)，它离直线的距离为d。
根据点到直线的距离的定义，我们可以得到以下关系：1.直线上任意一点的坐标为(x,y)。
它到点Q的距离可以表示为√((x-x₀)²+(y-y₀)²)。
2. 点到直线的最短距离为沿着直线法线方向测得的距离。
设直线的法线方程为y = -1/kx + c，其中c是由点Q确定的常数。
根据两条直线垂直的性质，我们可以得到垂直两直线的斜率乘积为-1，即k*(-1/k) =-1、将直线的方程和法线的方程代入得到c = y₀ + (1/k)x₀。
3. 点Q到直线的距离可以表示为垂直方向上的投影。
所以，点到直线的距离d可以通过以下公式计算：d = ，y₀ - kx₀ + c，/ √(1 + k²)。
这个公式就是点到直线的距离公式。
它是通过求解点到直线的垂直距离得到的，使用了点到直线的斜率和垂直方向上的截距。
接下来，我们来看一个例子来说明如何使用点到直线的距离公式解决实际问题。
假设我们有一个直线L：y=2x+3，和一个点P(-1,4)。
我们想要计算点P到直线L的距离。
首先，我们需要计算直线的斜率和截距。
直线的斜率k=2，截距b=3-2*(-1)=5接下来，我们使用点到直线的距离公式计算距离：d=，4-2*(-1)+5，/√(1+4)=，4+2+5，/√(5)=11/√(5)≈4.92所以，点P到直线L的距离为约4.92个单位。
高中数学北师大版必修四2.7.1 教学课件 《点到直线的距离公式》
例1 如图2－1－12，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线 方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1 ＝0，求边AC的长。
图2－1－12
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【精彩点拨】 利用直线AB，AD的方程求交点A。利用D是线段BC的中点，将 点C的坐标转化到点D上，再利用点C在直线CE上，点D在直线AD上解得点C。 然后利用两点间距离公式求AC。
∴x＝17，y＝－18，故 x＋y＝－1。
【答案】 －1
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探究新知：
点到直线的距离
阅读教材P101～P102，完成下列问题。 1．点到直线的距离公式
|Ax0＋By0＋C| 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝_______A_2_＋__B_2______。
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巩固练习：
1．在x－y＋4＝0上求一点P，使点P到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等。
【解】 由直线 x－y＋4＝0 可得 y＝x＋4，因为点 P 在此直线上， 所以可设点 P 的坐标为(a，a＋4)，已知 PM＝PN，由两 点间距离公式可得： [a－－2]2＋[a＋4－－4]2＝ a－42＋a＋4－62， 解得 a＝－32，从而 a＋4＝52， 所以点 P 的坐标为－32，52。
【自主解答】 设点 A，C 的坐标分别为 A(x1，y1)，C(x2，y2)
2 ∵ AB⊥CE，kCE＝－3
13 ∴ kAB＝－kEC＝2 。∴直线 Biblioteka B 的方程为 3x－2y－1＝0。
3x1－2y1－1＝0，
由
得 A(1,1)。
2x1－3y1＋1＝0，
高中数学解析几何知识点总结大全
高中数学解析几何知识点大总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αtan =k（1）.倾斜角为︒90的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o 90=α；斜率不存在； 二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y =注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+by a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
高中数学北师大版必修四2.7.1【教学课件】《点到直线的距离公式》
特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0， 即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|。
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巩固练习：
1．点(－2,3)到原点的距离为________。
【解析】 d＝ －2－02＋3－02＝ 13
【答案】
13
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巩固练习：
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
m＋n－1 (1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是 。 ( ×) 2
(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离。( × ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值。( √ ) (4)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝ x1－x22＋y1－y22 与两点的先后顺序无关。( √ )
【精彩点拨】 利用直线AB，AD的方程求交点A。利用D是线段BC的中点，将 点C的坐标转化到点D上，再利用点C在直线CE上，点D在直线AD上解得点C。 然后利用两点间距离公式求AC。
【自主解答】 设点 A，C 的坐标分别为 A(x1，y1)，C(x2，y2) 2 ∵ AB⊥CE，kCE＝－ 3 3 ∴ kAB＝－ ＝ 。 kEC 2 1
【答案】 －1
值为________。
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探究新知：
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离要计算点到直线的距离，我们需要知道直线的方程以及点的坐标。
一般来说，直线的方程可以用一般式（Ax + By + C = 0）或截距式（y = mx + b）表示。
点的坐标通常以（x，y）的形式给出。
我们以一般式为例来介绍如何计算点到直线的距离。
假设我们有一个直线的一般式方程为Ax+By+C=0，点的坐标为（x0，y0）。
要计算这个点到直线的距离，我们可以使用以下公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)下面我们来详细解释这个公式。
首先，我们可以通过将点的坐标代入直线方程得到：Ax0+By0+C=0根据这个等式，我们可以得到点在直线上的投影点(xp，yp)：xp = x0 - (A(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))yp = y0 - (B(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))接下来，我们可以计算这两个点之间的距离。
使用两点间距离公式：距离= √((xp - x0)² + (yp - y0)²)代入xp和yp的值，我们可以得到：距离=√((x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-x0)²+(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-y0)²)化简这个表达式，我们可以得到：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))因为xp和yp是点到直线上的投影点，所以(x0 - xp)是点到投影点的水平距离，(y0 - yp)是点到投影点的垂直距离。
因此，我们可以将上述公式进一步简化为：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))最后，我们可以再次替换xp和yp的值，将它们表示为点的坐标和直线方程：距离=√((A²(x0-(x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²+(B²(y0-(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²)/(A²+B²))进一步简化，我们可以得到最终的公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)这就是点到直线的距离公式。
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高中数学解析几何知识点大总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. αtan =k（1）.倾斜角为︒90的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o90=α；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）与直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y =注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+byax； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式直线是几何学中的基本概念之一，而计算点到直线的距离是几何学中的重要问题之一。
在本文中，将介绍点到直线的距离公式，通过准确的计算方法，实现点到直线的距离求解。
一、点到直线的距离公式点到直线的距离公式是由直线的标准方程推导得出的。
假设直线的标准方程为Ax+By+C=0，而点的坐标为(x0, y0)。
那么点到直线的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中，d表示点到直线的距离。
二、推导过程接下来，将对点到直线的距离公式进行推导。
考虑直线上一点P(x1, y1)，该点到直线的距离为d，则直线上任意一点Q(x, y)到点P的距离也为d。
由此可以得到以下等式：|(x - x1) + B(y - y1)| / √(A^2 + B^2) = d将直线的标准方程代入上式可得：|Ax + By + C| / √(A^2 + B^2) = d再考虑到直角三角形的定义，可以得到以下等式：d = √[(x - x1)^2 + (y - y1)^2]根据等式左右两边的表达式可知：[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] = [(Ax + By + C)^2] / (A^2 + B^2)展开等式并整理可得：(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = (Ax + By + C)^2 / (A^2 + B^2)进一步展开并移项，可以得到：(A^2 + B^2)(x^2 + y^2) - 2(Ax1 + By1 + C)x + [(Ax1 + By1 + C)^2] =根据二次函数的标准形式ax^2 + bx + c = 0，可以得到：(A^2 + B^2)(x^2 + y^2) - 2(Ax1 + By1 + C)x + [(Ax1 + By1 + C)^2] =其中，系数a = (A^2 + B^2)，系数b = -2(Ax1 + By1 + C)，系数c = [(Ax1 + By1 + C)^2]。
2.7向量应用举例2.7.1点到直线的距离公式教案北师大版必修4
2.7.1 点到直线的距离公式整体设计教学分析1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用.2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.三维目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.重点难点教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用. 推进新课 新知探究 提出问题图1①你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗?②平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？③你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?④你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？ 活动:①教师引导学生画出直线,点.如图2所示,M(x 0,y 0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,-a).一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量. 设n =(a,b),因为n ·v =(a,b)·(b,-a)=ab-ab=0,所以n ⊥v ,故称n 为直线l 的法向量,与n 同向的单位向量为 n 0=),(||2222ba b b a a n n ++=.于是,点M(x 0,y 0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量PM 在n 0方向上射影的长度: d=｜PM ·n 0｜=｜(x 0-x,y 0-y)·(|),2222ba b ba a ++.|)(||)()(|22002200ba by ax by ax ba y yb x x a ++-+=+-+-=又因为P(x,y)为l 上任意一点,所以c=-(ax+by).②教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.③教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法. 证明:方法一:如图3.图3作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴A D=BC,AF=BE由于AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如图4.图4以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对边平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.方法三:设AB=a,AD=b,则=a+b,DB=a-b,|AB|2=|a|2,|AD|2=|b|2.∴||2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①同理|DB|2=|a|2-2a·b+|b|2.②观察①②两式的特点,我们发现,①+②得||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.④至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时地引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 这个“三步曲”用流程图表示为:讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法. ③略. 应用示例例1 求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.活动:本例是直接应用点到直线的距离公式.由学生自己完成. 解:由点到直线的距离公式,得d=512|12112|22=++⨯+⨯,所以点P(1,2)到直线l 的距离为5.点评:通过此题让学生归纳用向量方法解决解析几何问题的思路. 变式训练(2007广东梅州)若将函数y=f(x)的图像按向量a 平移,使图像上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图像的解析式为( )A.y=f(x+1)-2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x-1)+2D.y=f(x+1)+2解析:由已知,得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=+=,2,1,02,12k h k h 即平移公式为⎩⎨⎧+=+=,2',1'y y x x即⎩⎨⎧-=-=,2',1'y y x x 代入y=f(x),得y′-2=f(x′-1), 即y′=f(x′-1)+2.∴平移后的图像的解析式为y=f(x-1)+2. 答案:C例2 如图5,ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?图5活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察,发现AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断AR ,AT 与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图5,设AB =a ,AD =b ,AR =r ,则AC =a +b . 由于与AC 共线,所以我们设r=n(a +b ),n∈R . 又因为=-=（a -21b ),与共线, 所以我们设=m =m(a -21b ). 因为=+,所以r=21b +m(a -21b ), 因此n(a +b )=21b +m(a -21b ),即(n-m)a +(n+21-m )b =0. 由于向量a ,b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n . 解得n=m=31.所以AR =31.同理,=31. 于是=31.所以AR=RT=TC. 点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练如图6,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点.图6证明:设BE 、CF 相交于点H,并设AB =b ,=c ,AH =h ,则=h -b ,CH =h -c ,BC =c -b . 因为BH ⊥,⊥AB , 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简,得h ·(c -b )=0. 所以AH ⊥.所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.例3 如图7,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值.图7活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图7所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),OA =(0,a),BA =(c,a),OC =(c,0),BC =(2c,0).因为BB′、CC′都是中线,所以'BB =21(+BA )=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ). 同理,'CC =(-2,23ac ). 因为BB′⊥CC′,所以-44922a c +=0,a 2=9c 2.所以5499||||22222222=+-=+-=c c c c ca c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达到融会贯通、灵活运用之功效. 变式训练(2004湖北高考)如图8,在Rt△ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:与的夹角θ取何值时,·的值最大?并求出这个最大值.图8解:方法一,如图8.∵⊥,∴·=0.∵AP =-AQ ,BP =AP -AB ,CQ =AQ -, ∴·=(-)·(-) =·-·AC -·+·AC =-a 2-AP ·+AB ·AP =-a 2+AP ·(AB -)=-a 2+21PQ ·BC =-a 2+a 2cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0. 方法二:如图9.图9以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P 的坐标为(x,y), 则Q(-x,-y).∴BP =(x-c,y),CQ =(-x,-y-b),=(-c,b),PQ =(-2x,-2y). ∴BP ·CQ =(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x 2+y 2)+cx-by.∵cos θ2a bycx -=, ∴cx-by=a 2cos θ. ∴·=-a 2+a 2cos θ.故当cos θ=1,即θ=0,PQ 与的方向相同时,BP ·CQ 最大,其最大值为0. 知能训练1.如图10,已知AC 为⊙O 的一条直径,∠ABC 是圆周角. 求证:∠ABC=90°.图10证明:如图10. 设AO =a ,OB =b ,则=a +b ,=a ,BC =a -b ,|a |=|b |. 因为AB ·=(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0, 所以AB ⊥BC .由此,得∠ABC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 上的动点,且它们在初始时刻分别从A 、B 、C 出发,各以一定速度沿各边向B 、C 、A 移动.当t=1时,分别到达B 、C 、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t 1,△DEF 的重心不变.图11证明:如图11.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(3,3nm a +). 当t=0或t=1时,△ABC 的重心也为(3,3nm a +), 故对任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不变.点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF的重心相同即可.课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决解析几何及平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.作业课本习题2—7 A组1,2.设计感想1.本节设计的指导思想是:充分使用多媒体这个现代化手段,引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大,思维含量较高,教师要把握好火候,恰时恰点地激发学生的智慧火花.2.由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现,特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时,注意引导学生关注向量知识、向量方法与三角知识、解析几何知识等的交汇,提高学生综合解决问题的能力.3.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等,它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用.1.简化向量运算例1 如图12所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:OH=++.图12证明:如图12,作直径BD,连接DA,DC,有=-,且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,故CH∥DA,AH∥DC,得四边形AHCD是平行四边形.从而AH=DC.又DC=OC-OD=OC+OB,得=OA+AH=OA+DC,即OH =++.2.证明线线平行例 2 如图13,在梯形ABCD 中,E,F 分别为腰AB,CD 的中点.求证:EF∥BC,且||=21(||+|BC |).图13证明:连接ED,EC,∵AD∥BC,可设=λ(λ＞0), 又E,F 是中点,∴EA +EB =0, 且EF =21(ED +). 而+EC =+++ =+=(1+λ),∴=21λ+.EF 与BC 无公共点, ∴EF∥BC.又λ＞0, ∴||=21(|BC |+|λBC |)=21(||+|BC |). 3.证明线线垂直例3 如图14,在△ABC 中,由A 与B 分别向对边BC 与CA 作垂线AD 与BE,且AD 与BE 交于H,连接CH,求证:CH⊥AB.图14证明:由已知AH⊥BC,BH⊥AC, 有·=0,·AC =0. 又AH =+CH ,BH =BC +CH ,故有(+)·BC =0,且(BC +)·=0,两式相减,得CH ·(CB -CA )=0,即CH ·AB =0,∴CH ⊥AB . 4.证明线共点或点共线例4 求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的32.图15解:已知:△ABC 的三边中点分别为D,E,F(如图15).求证:AE,BF,CD 共点,且CD CG BF BG AE AG ===32. 证明:设AE,BF 相交于点G,AG =λ1, 由定比分点的向量式有BG =111111λλλ+=++BA +)1(211λλ+, 又F 是AC 的中点,BF =21(BA +), 设BG =λ2BF , 则111λ++)1(211λλ+=22λ+22λ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.2)1(2,21121121λλλλλ ∴.32,32,2)1(21121111====⇒+=+BF BG AF AG 即λλλλλ 又=CE CA 32)(2132)2(31111=+∙=+=++λλ, ∴C,G,D 共线,且32===CD CG BF BG AE AG . 二、备用习题1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB =a ,=b ,=c,则|a -b +c |=___________.2.已知|a |=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°,则使λb -a 与a 垂直的λ=____________.3.在等边△ABC 中,AB =a ,BC =b ,CA =c ,且|a |=1,则a ·b +b ·c +c ·a =__________.4.已知三个向量=(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),且A,B,C 三点共线,则k=__________.5.如图16所示,已知矩形ABCD,AC 是对角线,E 是AC 的中点,过点E 作MN 交AD 于点M,交BC 于点N,试运用向量知识证明AM=CN.图166.已知四边形ABCD 满足|AB |2+|BC |2=|AD |2+|DC |2,M 为对角线AC 的中点.求证:||=||.7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补. 参考答案: 1.2 2.2 3.-23 4.-2或11 5.证明:建立如图17所示的平面直角坐标系,设BC=a,BA=b,则C(a,0),A(0,b),E(2,2b a ).图17又设M(x 2,b),N(x 1,0),则=(x 2,0),CN =(x 1-a,0). ∵∥EN ,=(2a -x 2,-2b ),EN =(x 1-2a ,-2b ), ∴(2a -x 2)×(-2b )-(x 1-2a )×(-2b )=0. ∴x 2=a-x 1. ∴||=22x =|x 2|=|a-x 1|=|x 1-a|.而|CN |=21)(a x =|x 1-a|, ∴|AM |=||,即AM=CN.6.证明:设AB =a ,BC =b ,=c ,DA =d ,∵a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).∴a 2+b 2+2a ·b =c 2+d 2+2c ·d .① ∵||2+|BC |2=||2+||2, ∴a 2+b 2=(-d )2+(-c )2=c 2+d 2.②由①②,得a ·b =c ·d .图18∵M 是AC 的中点,如图18所示, 则=21(d -c ),=21(b -a ). ∴||2=BM 2=41(b 2+a 2-2a ·b ), ||2=2=41(d 2+c 2-2c ·d ). ∴|MB |2=|MD |2. ∴||=||.7.解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′.求证:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.证明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′, ∴OA =λ''O (λ∈R ,λ≠0),OB =μ''B O (μ∈R ,μ≠0). , |||||||||||||||''||''|OB OA OB OA OB OA B O A O ===λμμλ 当与''O ,OB 与''B O 均同向或反向时,取正号,即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.∵∠AOB,∠A′O′B′∈(0,π),∴∠AOB=∠A′O′B′. 当与''O ,OB 与''B O 只有一个反向时,取负号,即cos∠AOB=-cos∠A′O′B′=cos(π-∠A′O′B′). ∵∠AO B,π-∠A′O′B′∈(0,π),∴∠AOB=π-∠A′O′B′.∴∠AOB+∠A′O′B′=π.∴命题成立.。
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式直线是平面几何中的基本概念，我们可以通过两点来确定一条直线。
而点到直线的距离是指从给定点到直线上最近的点之间的距离。
一、向量法设直线的方程为Ax+By+C=0，点P(x0,y0)离直线的距离为d，直线上任意一点Q(x1,y1)离点P的向量为v。
过点P的垂线与直线相交于点Q，向量v与直线垂线的向量w垂直，所以v·w=0。
（其中·表示向量的点乘）点P在直线上，所以Ax0+By0+C=0，所以垂线的方程为Bx-Ay+Bx0-Ay0=0，即Bx-Ay+D=0（其中D=Bx0-Ay0）。
根据向量的表达式，可以得到点Q相对于P的向量v=(x1-x0)i+(y1-y0)j。
（其中i和j分别为x方向和y方向的单位向量）直线垂线的向量w=Ai+Bj。
所以v·w=(x1-x0)A+(y1-y0)B=0。
解得A(x1-x0)+B(y1-y0)=0，即Ax1+By1+C=0，所以点Q也在直线上。
因此，直线上任意一点Q与向量v相乘的结果为0，即v·w=0。
展开等式可得(A(x1-x0)+B(y1-y0))-AD-BD=0，所以(A(x0-x1)+B(y0-y1))=AD+BD。
根据向量的定义可得，A(x0-x1)+B(y0-y0)，=，D(A^2+B^2)^(1/2)，即，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)=d。
所以点到直线的距离公式为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
二、坐标法设直线的方程为y = mx + n，点P的坐标为(x0, y0)。
点P到直线的距离可以通过点到直线的垂线和点到垂足的距离来表示。
直线的斜率为m，所以垂线的斜率为-1/m。
过点P的直线的方程为y - y0 = (-1/m)(x - x0)，即mx + y0 = x0 + y。
垂线和直线相交的点的坐标为(x1,y1)，代入垂线的方程可以得到y1=(-1/m)x1+(x0/m+y0)。
高中数学解析几何知识点总结大全
高中数学解析几何知识点大总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. αtan =k ]（1）.倾斜角为︒90的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o90=α；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y =！注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+bya x ；注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：2.7.1 点到直线的距离公式 Word版含答案
7．1 点到直线的距离公式明目标、知重点 1.理解直线方向向量和法向量的含义.2.能应用直线的法向量推导点到直线的距离公式.3.能应用直线的方向向量、法向量解决有关问题．1．直线的法向量(1)直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的一个方向向量是(b ，－a )，它的一个法向量是(a ，b )． (2)直线l ：y ＝kx ＋b 的一个方向向量是(1，k )，它的一个法向量是(k ，－1)． 所以，一条直线的法向量有很多多个，它们都是共线向量． 2．点到直线的距离公式设点M (x 0，y 0)为平面内任一点，则点M 到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的距离d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2.3．两平行线间距离直线l 1：ax ＋by ＋c 1＝0与直线l 2：ax ＋by ＋c 2＝0 (a 2＋b 2≠0且c 1≠c 2)的距离d ＝|c 1－c 2|a 2＋b 2.4．两直线的位置关系设直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0的法向量依次为n 1，n 2.则： (1)l 1⊥l 2⇔n 1·n 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＝0；(2)l 1与l 2重合或平行⇔n 1∥n 2⇔a 1b 2－a 2b 1＝0.探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角导引1 直线y ＝kx ＋b 的方向向量：假如向量v 与直线l 共线，则称向量v 为直线l 的方向向量． 对于任意一条直线l ：y ＝kx ＋b ，在它上面任取两点A (x 0，y 0)，B (x ，y )，则向量AB →＝(x －x 0，y －y 0)与直线l共线，即AB →为直线l 的方向向量．由于(x －x 0，y －y 0)＝1x －x 0(1，y －y 0x －x 0)＝1x －x 0(1，k )，所以向量(x －x 0，y －y 0)与向量(1，k )共线，从而向量(1，k )是直线y ＝kx ＋b 的一个方向向量． 导引2 直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量当B ≠0时，k ＝－AB ，所以向量(B ，－A )与(1，k )共线，所以向量(B ，－A )是直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量；当B ＝0时，A ≠0，直线x ＝－CA 的一个方向向量为(0，－A )，即(B ，－A )．综上所述，直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量为v ＝(B ，－A )． 思考1 已知直线l ：2x －y ＋1＝0和下列向量：①v 1＝(1,2)；②v 2＝(2,1)；③v 3＝⎝⎛⎭⎫－12，－1；④v 4＝(－2，－4)．其中能作为直线l 方向向量的有________． 答 ①③④导引3 应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，它们的方向向量依次为v 1＝(1，k 1)，v 2＝(1，k 2)．当v 1⊥v 2，即v 1·v 2＝1＋k 1k 2＝0时，l 1⊥l 2，夹角为直角；当k 1k 2≠－1时，v 1·v 2≠0，直线l 1与l 2的夹角为θ(0°<θ<90°)．不难推导利用k 1、k 2表示cos θ的夹角公式： cos θ＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|1＋k 1k 2|1＋k 21·1＋k 22.思考2 直线x －2y ＋1＝0与直线2x ＋y －3＝0的夹角为________；直线2x －y －1＝0与直线3x ＋y ＋1＝0的夹角为________． 答 90° 45°探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系导引 (1)直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：假如向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量．因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0.从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B )，这时由于(B ，－A )·(A ，B )＝AB －AB ＝0.直线的法向量也有很多个．(2)直线法向量的简洁应用：利用直线的法向量推断两直线的位置关系：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)． 当n 1∥n 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合．即A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合； 当n 1⊥n 2时，l 1⊥l 2.即A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔l 1⊥l 2.思考 直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)·x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0垂直，则a 的值为________． 答案 ±1解析 n 1＝(a ＋2,1－a )，n 2＝(a －1,2a ＋3)， ∵l 1⊥l 2，∴n 1·n 2＝(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3) ＝(a －1)(－a －1)＝0， ∴a ＝±1.例1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，求实数a 的值． 解 直线l 1的法向量n 1＝(a,2)， 直线l 2的法向量n 2＝(1，a －1)， ∵l 1∥l 2，∴n 1∥n 2，∴a (a －1)－1×2＝0，解得：a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1：x －2y －6＝0，l 2：x －2y ＝0， ∴l 1∥l 2.当a ＝2时，l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0. ∴l 1与l 2重合，则a ＝2(舍去)． 综上所述，a ＝－1.反思与感悟 由n 1∥n 2解出参数a 的值后要留意检验，由n 1·n 2＝0推断两直线垂直，则不需要检验． 跟踪训练1 已知直线l 1：(m ＋3)x ＋(m －1)y －5＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(3m ＋9)y －1＝0相互垂直，求实数m 的值．解 l 1的法向量n 1＝(m ＋3，m －1)，l 2的法向量n 2＝(m －1,3m ＋9)，∵l 1⊥l 2，∴n 1⊥n 2. ∴n 1·n 2＝(m ＋3)(m －1)＋(m －1)(3m ＋9) ＝(m －1)(4m ＋12)＝0.∴m ＝1或m ＝－3. 探究点三 直线的法向量与点到直线的距离公式思考1 如何应用直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的法向量推导点M (x 0，y 0)到直线l 的距离公式． 答 设P (x 1，y 1)是直线l ：ax ＋by ＋c ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(a ，b )．则M (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d 等于向量PM →在n 方向上射影的长度，如图所示：设PM →与n 的夹角为θ， d ＝|PM →|·|cos θ| ＝|PM →·n ||n |＝|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(a ，b )|a 2＋b 2＝|a (x 0－x 1)＋b (y 0－y 1)|a 2＋b 2＝|ax 0＋by 0－(ax 1＋by 1)|a 2＋b2. ∵点P (x 1，y 1)在直线l 上，∴ax 1＋by 1＋c ＝0，∴ax 1＋by 1＝－c ， ∴d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2.思考2 利用直线的法向量推导两条平行线之间的距离公式．答 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：ax ＋by ＋c 1＝0，直线l 2：ax ＋by ＋c 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(a ，b )，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的射影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离． 设P 1P 2→与n 的夹角为θ， d ＝|P 1P 2→||cos θ| ＝|P 1P 2→·n ||n |＝|(x 2－x 1，y 2－y 1)·(a ，b )|a 2＋b 2＝|a (x 2－x 1)＋b (y 2－y 1)|a 2＋b 2＝|(ax 2＋by 2)－(ax 1＋by 1)|a 2＋b 2＝|c 1－c 2|a 2＋b 2. 例2 求点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离． 解 方法一 取直线l 的一个法向量为n ＝(2,1)， 在直线l 上任取一点P (5,0)，∴PP 0→＝(－6,2)，∴点到直线l 的距离d 就是PP 0→在法向量n 上的射影． 设PP 0→与n 的夹角为θ. ∴d ＝|PP 0→||cos θ|＝|PP 0→|·|PP 0→·n ||PP 0→|·|n |＝|PP 0→·n ||n |＝|－12＋25|＝2 5.故点P 0到直线l 的距离为2 5. 方法二 由点到直线的距离公式得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|2×(－1)＋1×2＋(－10)|5＝2 5.反思与感悟 求点到直线的距离公式时，既可以利用向量法，也可以直接带入点到直线的距离公式计算．利用向量法时留意公式d ＝|P 0P →·n ||n |中每个符号的含义．跟踪训练2 求两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离． 解 取直线l 2的一个方向向量为(－8,6)． 则直线l 2的一个法向量为n ＝(6,8)，分别在直线l 1和l 2上任取一点M (0，12)和P (12，0)．则PM →＝(－12，12)，设PM →与n 的夹角为θ.∴点M 到直线l 2的距离 d ＝|PM →|·|cos θ|＝|PM →|·|PM →·n |PM →|·|n ||＝|PM →·n ||n |＝|－3＋410|＝110.又∵两条平行线间的距离处处相等，∴点M 到直线l 2的距离即为两平行线l 1与l 2间的距离，∴两平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离为110.例3 已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点． (1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)． 设点M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0. (2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点， 则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 所在的直线方程．反思与感悟 对于解析几何中有关直线平行与垂直的问题，经常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样就将形的问题转化为相关数的问题，从而更简洁将问题解决． 跟踪训练3 已知M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (AB ≠0)外一点． (1)求过点M 与直线l 垂直的直线l 1； (2)求过点M 与直线l 平行的直线l 2. 解 (1)设P (x ，y )为直线l 1上任一点． 由MP →·(B ，－A )＝0，得(x －x 0，y －y 0)·(B ，－A )＝0， ∴B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0.(2)设P (x ，y )为直线l 2上任一点，由MP →·(A ，B )＝0. ∴(x －x 0，y －y 0)·(A ，B )＝0.∴A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0.1．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是__________________． 答案x 2＋y 2＋x －3y ＝0解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)， 由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.2．已知直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________. 答案 －2或1解析 l 1的法向量n 1＝(a,2)，l 2的法向量n 2＝(1，a ＋1)． ∵l 1∥l 2，∴a (a ＋1)－2＝0.解得a ＝－2或a ＝1.经检验，都符合题意．3．已知直线l 1：3x ＋y －2＝0与直线l 2：mx －y ＋1＝0的夹角为45°，则实数m 的值为________． 答案 2或－12解析 设直线l 1，l 2的法向量为n 1，n 2， 则n 1＝(3,1)，n 2＝(m ，－1)． 由题意： cos 45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|3m －1|10·1＋m 2＝22. 整理得：2m 2－3m －2＝0， 解得：m ＝2或m ＝－12.4．已知三点A (－1,2)，B (3,4)，C (－2,5)，求符合下列条件的直线l . (1)经过点A ，且平行BC ； (2)经过点A ，且垂直BC .解 BC →＝(－5,1)，设P (x ，y )为直线l 上任一点．(1)当l ∥BC 时，P A →＝(x ＋1，y －2)，P A →∥BC →， ∴(x ＋1)－(－5)×(y －2)＝0，化简得x ＋5y －9＝0.(2)当l ⊥BC 时，P A →＝(x ＋1，y －2)，P A →⊥BC →. ∴(x ＋1)×(－5)＋1×(y －2)＝0， 化简得5x －y ＋7＝0. [呈重点、现规律]1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有很多多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有很多多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．一、基础过关1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.22D.322答案 D2．已知三点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( ) A ．以A 为直角顶点的直角三角形 B ．以B 为直角顶点的直角三角形 C ．以C 为直角顶点的直角三角形 D ．锐角三角形或钝角三角形 答案 A3．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直，则实数m 的值是( )A ．－2 B.12 C ．－2或12D ．－12或2答案 C解析 (m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝(m ＋2)(4m －2)＝0， ∴m ＝－2或12.4．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为________． 答案25．过点A (－2,1)且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________________． 答案 x －3y ＋5＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上的任一点，AP →＝(x ＋2，y －1)．∵AP →∥a .∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0. 即所求直线方程为x －3y ＋5＝0.6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是________． 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)，AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5. 7．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，求直线l 1与l 2的夹角θ. 解 设l 1、l 2的方向向量为v 1、v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)， ∴|cos θ|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角θ为45°. 二、力气提升8．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( ) A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0 C ．x －3y ＋5＝0 D ．x －3y ＋15＝0答案 B解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋3k ＝0，∴k ＝13，∴l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0.故选B.9．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________． 答案 x ＋3y －7＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上任一点， 直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(1,3)， 由(x －1，y －2)·(1,3)＝0得x ＋3y －7＝0.10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝_____________________________________________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－105，3105解析 已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310， ∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．若两平行线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，求c 的值．解 ∵3x －2y －1＝0与6x ＋ay ＋c ＝0平行， ∴36＝－2a ≠－1c ， ∴a ＝－4，且c ≠－2. 由d ＝|c ＋2|62＋a 2＝|c ＋2|62＋(－4)2＝21313，化简得：|c ＋2|＝4， ∴c ＝－6或c ＝2.12．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0，直线l 2：2x ＋my －1＝0，l 1∥l 2，两平行直线间距离为5，而过点A (m ，n )(m >0，n >0)的直线l 被l 1、l 2截得的线段长为10，求直线l 的方程． 解 ∵l 1∥l 2，∴m 2－16＝0得m ＝±4. ∵m >0，∴m ＝4.故l 1：4x ＋8y ＋n ＝0，l 2：4x ＋8y －2＝0. 又l 1与l 2间距离为5，∴|n ＋2|42＋82＝5，解得n ＝18或n ＝－22(舍)． 故A 点坐标为(4,18)．再设l 与l 1的夹角为θ，斜率为k ，l 1斜率为－12，∵sin θ＝22， ∴θ＝π4，tan π4＝1＝⎪⎪⎪⎪k －(－12)⎪⎪⎪⎪1＋(－12)k ，解得k ＝13或k ＝－3.∴直线l 的方程为y －18＝13(x －4)或y －18＝－3(x －4)．即x －3y ＋50＝0或3x ＋y －30＝0.三、探究与拓展13．已知向量c ＝(0,1)，i ＝(1,0)，经过原点O 以c ＋λi 为方向向量的直线与经过定点A (0,1)，以i －2λc 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ，求点P 的轨迹方程． 解 设P 点坐标为(x ，y )， ∵i ＝(1,0)，c ＝(0,1)，∴c ＋λi ＝(λ，1)，i －2λc ＝(1，－2λ)，直线OP 与AP 的方程分别为λy ＝x 和y －1＝－2λx ， 消去参数λ，所求的轨迹方程为2x 2＋y 2－y ＝0.。
点到直线间的距离公式
点到直线间的距离公式当我们研究几何学的时候，点到直线间的距离是一个重要的定义和概念。
它描述了两个不同的对象之间的关系，也是我们求解许多实际问题的基础。
点到直线间的距离指的是从给定的点到一条直线的垂直距离。
这个距离可以用一个简单的公式进行计算。
我们需要先知道直线的方程和点的坐标。
然后，我们可以利用这些信息，应用点到直线间的距离公式来计算出两者之间的距离。
下面是点到直线间的距离公式：设直线方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x1, y1)，则：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)这个距离量的计算手段非常简单，但涉及的相关概念和原理却非常复杂。
我们可以将其应用于解决一系列有趣的几何问题，比如如何确定一个点到一个平面的距离或者如何计算两个不同平面之间的距离等等。
为了更好地应用点到直线间的距离公式，我们需要掌握几个关键技巧：1. 确定直线的方程在计算点到直线间的距离之前，我们需要先确定直线的方程。
一般情况下，直线方程都可以通过点斜式或两点式来表示。
因此，我们必须了解这些表达式并能够在适当的时候选择正确的方程。
2. 确定坐标我们需要知道点的坐标才能计算出点到直线的距离。
点的坐标应该在直线的同一坐标系中。
3. 应用公式计算距离前要记得使用点到直线间的距离公式。
这个公式可以帮助我们快速而准确地计算出两者的距离。
因此，对于点到直线间距离的问题，我们需要先确定直线的方程，然后再确定点的坐标。
在这些信息都准备好之后，我们可以运用点到直线间的距离公式来计算出两个对象之间的距离。
这个技巧可以应用于对许多实际问题进行求解，比如计算机视觉、机器人技术和地理信息系统等领域。
数学点到直线距离公式
数学点到直线距离公式1. 什么是点到直线的距离？大家好，今天咱们要聊聊一个数学里的小知识点——点到直线的距离。
听起来是不是有点复杂？其实并不！想象一下，你在城市里走路，突然发现一条直线——不管是马路、铁轨，还是那条你每天路过的狗屎横穿的巷子。
你从某个点出发，想要知道到这条直线的距离是多少。
哎，别着急，数学就是为了帮咱们解决这些问题的！点到直线的距离，简单来说，就是你从这个点垂直往下走，直到碰到直线的那段距离。
1.1 距离公式好，现在咱们得谈谈那个“公式”了。
这个公式就是：距离 (d = frac{|Ax + By +C|{sqrt{A^2 + B^2)。
别担心，公式看起来挺吓人的，但一旦你搞清楚每个字母代表的意思，就会发现其实没什么大不了的。
这里的(A)、(B)、(C) 其实是直线方程的一部分，而 (x) 和 (y) 就是你那个点的坐标。
通过这个公式，咱们就能快速算出距离啦。
1.2 理解公式中的每个部分先来看看 (Ax + By + C) 这个部分，简单说就是你在直线上找个点，然后用这些值代入公式，看看它和你的点之间的差距有多大。
而绝对值符号的存在，确保了无论距离是正还是负，咱们都只关心“多远”这个概念，不管是向上还是向下，咱们都只要正数的结果！而分母的那部分 (sqrt{A^2 + B^2) 则是在归一化处理，确保咱们算出来的距离是合理的。
2. 实际应用场景说了公式，接下来咱们聊聊这个公式的实际应用。
你可能在想，这玩意儿除了写作业能用到，平时有什么用？其实啊，真的是大有文章！比如说，建筑设计师在设计房子的时候，得确保房子的某些部分距离道路是合适的；再比如，GPS定位的时候，系统也要用到类似的距离计算，确保你在地图上的位置精确无误。
哎，要是你出去旅游，偶尔迷路了，心里有个数，知道你离目的地有多远，那可真是个“救星”啊！2.1 路线规划想象一下，你在城市里开车，导航告诉你前方500米就到了目标地点。
点到两点式直线的距离公式
点到两点式直线的距离公式直线是几何学中的基本概念之一、我们日常生活中经常会遇到各种直线，比如平行线、垂直线等。
而在平面几何中，直线的性质和应用更是多种多样，涉及到诸如直线的方程、直线的斜率、直线与直线之间的关系等等。
本文将着重介绍直线上两点间的距离公式。
在直角坐标系中，给定一个点A(x₁,y₁)和另一个点B(x₂,y₂)，我们需要计算这两点之间的距离。
首先，我们可以将这两个点代入到勾股定理中。
根据勾股定理，可得：D=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)其中D表示点A和点B之间的距离。
化简上述公式，我们可以得到一个更常见的形式：D=√((x₂-x₁)²)+((y₂-y₁)²)这就是直线上两点间的距离公式。
使用这个公式，我们可以计算任意两个点之间的距离。
下面，我们通过几个实例来说明如何使用这个公式。
例子1：给定点A(3,4)和点B(7,8)，我们需要计算这两点之间的距离D。
根据上述公式，我们有：D=√((7-3)²+(8-4)²)=√((4)²+(4)²)=√(16+16)=√32≈5.657所以，点A和点B之间的距离约为5.657例子2：现在，我们给定点C(1,2)和点D(-2,-3)，我们需要计算这两点之间的距离D。
同样地，我们套用距离公式，有：D=√((-2-1)²+(-3-2)²)=√((-3)²+(-5)²)=√(9+25)=√34≈5.830因此，点C和点D之间的距离约为5.830。
通过这两个实例，我们可以看到直线上两点间的距离公式是如何使用的。
只需将给定的两个点的坐标代入到公式中即可计算出它们之间的距离。
需要注意的是，当给定的两点是平面直角坐标系中的两个坐标原点时，我们可以使用类似的方法，但结果可能为0。
这是因为原点之间的距离为零。
此外，还需要特别注意的是，以上介绍的直线上两点间的距离公式是建立在直角坐标系中的。
两直线之间的距离公式
两直线之间的距离公式
两直线间的距离公式如下：
1、两平行线分别为L1：Ax+By+C1=0，L2：Ax+By+C2=0。
在L2上任取一点P（x0，y0）。
则Ax0+By0+C2=0，Ax0+By0=-C2。
2、根据点到直线距离公式：
P到L1距离为：
|Ax0+By0+C1|/√（A²+B²）。
=|-C2+C1|/√（A²+B²）。
=|C1-C2|/√（A²+B²）。
两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。
两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。
先看在X轴上的两点之间的距离，高两点的坐标分别是X1和X2，那么两点间距离是|X1-X2|，同理在Y轴上也是一样。
即|Y1-Y2|那么在平面直角坐标系中，任意两点间距离，可以连接两点，再分别过两点作两坐标轴的平行线，这样就构成了一个直角三角形。
通过第一段的叙述可以知道两的直角边分别是|X1-X2|，|Y1-Y2|，则利用勾股定理可知，斜边是根号下（|X1-X2|的平方+|Y1-Y2|的平方）这个就是两点间距离公式。
2.7.1【教学设计】《点到直线的距离公式》(北师大)
《§7.1点到直线的距离公式》“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。
【知识与能力目标】1掌握点到直线距离公式及其应用。
2.会用点到直线距离求两平行线间的距离。
【过程与方法目标】经历公式的形成过程，体会由实例得出公式的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。
【教学重点】理解点到直线的距离公式，并能进行简单应用【教学难点】会用点到直线距离求两平行线间的距离电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习引入。
回顾：两点间的距离公式平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0，即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|。
巩固练习1．点(－2,3)到原点的距离为________。
【解析】d＝－2－2＋－2＝13。
【答案】13。
2．三角形三顶点为A(－1,0)，B(2,1)，C(0,3)，则△ABC的三边长分别为________。
【解析】|AB|＝(2＋1)2＋(1－0)2＝10，|AC|＝(0＋1)2＋(3－0)2＝10，|BC|＝(2－0)2＋(1－3)2＝22。
【答案】10，10，22。
回顾：中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，。
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d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
y P 1
l1 l2 Q
O
M
x
任意两条平行直线都 可以写成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
|PQ|=|PM· cos 1|
PM
B
2
A B
2
|PM|是l1与l2在y轴上截距之差的绝对值
又有直线l方程：Ax By C 0，得C （Ax By）
Ax By 0 0 （Ax By） 所以d= PM n 0 = = A2 B 2
y P(x0,y0)
2.平面上点 到 直 线 的 距 离
x
O l:Ax+By+C=0
d
Ax0 By0 C A B
d PM n 0 PM n 0 COS PM 1 COS = PM COS
PM在n0上的射影
d PM n 0 PM n 0 COS PM 1 COS = PM COS
学习到此时不是应该检验 一下自己的学习情况呢？ 来做几个练习吧！
作业：
P100 练习 第2、3题
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 2
运用公式应该注意： 1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式。
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
第二章 平面向量
2.7.1 点到直线的距离公式
点到直线的距离
y
n l
a0
a0=（1，k）=（1，-B/A）
x
M
y
若直线上一点P(x,y),直线 l:Ax+By+C=0，点M（x0,y0） 是直线外一点，
n
则a0=（1，k）=（1，-A/B） =（B,-A）
l
P
a0
x
法向量n=(A,B)
A B 而向量n的单位向量为 n 0 ( 2 2 , 2 2 ) A B A B 所以
C 2 C1 C1 C 2 |B| PQ 2 2 2 2 B B A B A B
点到直线的距离
d Ax0 By0 C A B
2 2
1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式。
又PM=（x0 -x，y0 -y）
而 PM n 0 = （x 0 -x，y0 -y） ( A A2 B 2 , B A2 B 2 )
A （x 0 -x） B （Ax By） （y0 -y） Ax 0 By0 = = 2 2 2 2 2 2 A B A B A B