离散数学中的图的树与生成树的计数
离散数学 组合计数
离散数学组合计数
离散数学中的组合计数是指研究一定范围内的元素选取，计算选
取方式总数的方法。
它主要包括排列、组合、二项式定理、斯特林数、欧拉数、生成函数等内容。
其中，排列是指从一组元素中选取若干个不同的元素，然后按一
定的顺序排列的方法数；组合是指从一组元素中选取若干个不同的元素，不考虑其顺序的选取方式总数。
二项式定理是组合计数中的基本
公式，它描述了任意两个数的幂与二项式系数之间的关系。
斯特林数
和欧拉数则是描述排列和组合问题中的一些性质和规律的重要工具，
而生成函数则是描述组合计数问题的一种通用方法。
组合计数在离散数学中起着重要的作用，它不仅在数学理论研究
中具有广泛的应用，还在计算机科学、统计学、物理学等学科中发挥
着重要的作用。
离散数学 求生成树的个数
在离散数学中，生成树（Spanning Tree）是一个图（Graph）的子图，它包含图中的所有顶点，并且是一个树（Tree）。
生成树的一个重要性质是它不包含任何环（Cycle）。
求一个给定图的生成树个数是一个经典问题，通常使用矩阵树定理（Matrix Tree Theorem）来解决。
矩阵树定理给出了一个图的生成树个数的计算公式，它基于图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的行列式。
拉普拉斯矩阵是一个方阵，其大小为图的顶点数，矩阵的元素定义如下：•如果i和j是不同的顶点，则矩阵的第i行第j列的元素是顶点i和j之间的边的权重（如果存在边的话），否则是0。
•对于每个顶点i，矩阵的第i行第i列的元素是顶点i的度（即与顶点i相邻的边的数量）的负值。
矩阵树定理指出，图的生成树个数等于其拉普拉斯矩阵的任何一个n-1阶主子式的行列式值的绝对值。
n是图的顶点数，n-1阶主子式意味着去掉矩阵中的一行和一列后得到的矩阵。
下面是一个简单的例子，说明如何使用矩阵树定理计算生成树的个数：假设有一个包含4个顶点的简单图，其边和权重如下：A -- 2 -- B| |1 3 1| |C -- 4 -- D1 -3 1 00 1 -3 40 0 1 -4主子式的行列式值。
去掉第一行和第一列后，我们得到：1 01 -3 40 1 -4x3矩阵的行列式，我们得到：1 * 1) - (0 * 0) = 12 - 1 = 11过程可能涉及复杂的行列式计算，特别是对于大型图来说。
在实际应用中，通常会使用专门的数学软件或库（如Python中的NumPy或SciPy）来进行这些计算。
此外，还有一些算法（如Kruskal算法和Prim算法）可以用来构造生成树，但它们并不直接计算生成树的总数。
这些算法通常用于找到图的一个生成树，而不是计算所有可能的生成树的数量。
《离散数学》课件-第16章树
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
离散树知识点总结
离散树知识点总结一、基本概念1. 什么是树树是一种特殊的图，它是一种没有回路的无向图。
树是由 n 个节点和 n-1 条边组成的连通图。
2. 树的特点树是一个具有以下特点的无向图：- 无环。
树中不存在回路，即不存在从一个节点出发经过若干条边再回到出发点的路径。
- 连通。
树是一个连通图，即从树的任意一个节点出发，都可以到达树的所有其他节点。
- n 个顶点和 n-1 条边。
树由 n 个顶点和 n-1 条边组成。
3. 树的术语- 节点（Node）：树中的每一个元素都称为节点。
- 父节点（Parent）：在树中，每个节点都有一个父节点，除了根节点没有父节点。
- 子节点（Children）：一个节点的子节点是指它的相邻节点。
- 根节点（Root）：树中从哪个节点开始，就是根节点。
- 叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点称为叶子节点。
- 度（Degree）：一个节点的子节点的个数称为该节点的度。
- 高度（Height）：树中的最长路径的边数。
4. 树的表示树可以用多种方式表示，最常用的方式有：孩子表示法、双亲表示法、孩子兄弟表示法和层次表示法。
5. 树的应用树在计算机科学中有广泛的应用，例如用于构建数据结构，构建层次化的目录结构等。
常见的树结构有二叉树、二叉搜索树（BST）、平衡二叉树（AVL）、红黑树、B树、B+树等。
二、树的遍历1. 深度优先遍历（DFS）深度优先遍历是一种递归的遍历方式，它分为先序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
- 先序遍历（Preorder）先序遍历的顺序是先遍历根节点，然后递归地遍历左子树和右子树。
- 中序遍历（Inorder）中序遍历的顺序是先递归地遍历左子树，然后遍历根节点，最后递归地遍历右子树。
- 后序遍历（Postorder）后序遍历的顺序是先递归地遍历左子树和右子树，然后遍历根节点。
2. 广度优先遍历（BFS）广度优先遍历是一种逐层遍历的方式，它从根节点开始，按照层次遍历树的节点。
离散数学——树ppt课件
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
【离散数学讲义】8.树与生成树53
2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,
称为该生成树的补.
v1
定理2 :连通图G中至少有一棵生成树.
v2
v3
证明:如果G中无回路, 则G本身就是树. v4
v5
如果G中有回路,可以通过反复删去回路
中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树.
思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少
为该结点的层次. 同一层次的结点称为兄弟结点.
7.树高:从树根到各个叶结点的路径中, 最长路径的长度,
称为该树的高度(树高).
三.举例: a)语法树
主语
句子
谓语短语
冠词 形容词 名词 动词
宾语
The little
b)算术表达式树 ((a+b)÷c)×(d－e)
19
42,58 24,34,42 19,23,24,34
17,17,19,23,24
11,13,17,17,19,23
7,10,11,13,17,19,23 5,5,7,11,13,17,19,23
2,3,5,7,11,13,17,19,23
23 24
34
11 13 17 17
7 10
55
23
5. 最优树的应用举例
34 6 6 v6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em
S=S∪{ai} j=j+1
|S|=n-1 Y 输出S 停 N
N
取ej使得
ai=ej i=i+1
离散数学 第12章 树
在图12.2.1所示图中，e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e9 ，为T 的树枝，
设它们对应的基本割集分别为
(S1, S2 , S3 , S4 , S。5 , 以S6 )树
枝为集合中第一个元素的方式写出它们（当然集合中
的元素是不讲顺序的，这里为了区分树枝和弦）。
S1 {e1, e7 , e8}、S2 、 {e2 , e7 , e8 , e10 , e11} S3 {e3 , e10 , e11} 、S4 {e4 , e6}
的割集是不同的也是显然的。
27
12.2.1 生成树
• 定义12.2.4 设T 是n阶连通图G 的一棵生成树，e1,e2 , ,en1
为G T的对的应树生枝成，S树i 是TG由的树只枝含e树i生枝成e的i 的基割本集割，则称 S i 为
集，i 1,2, , n 1。并称 {S1, S2 , , Sn1} 为G 对应T 的基本 割集系统，称n-1为G 的割集秩，记作 (G)。.
• 例题12.2.1 求图12.2.2所示两个图中的最
小生成树。
1
1
2
2
3
1
53
1
4
5
7
3
2
6
1
4
30
12.2.2 最小代价生成树
• 解 用避圈法算法，求出的(a)中最小生成树
为图T1 12.2.3中（a）中实线边所示的生成 树，W(T1) 6 。（b）中的最小生成树（b）为图 12.2.3中实边所示的生成树T2 ，W (T2 ) 12 。
环（否则，可以将所有的环先删去），将m 条边按权从小到大
顺序排列，设为 e1, e2 ,。,em
中取的e边1在不T能中构，成然回后路依，次则检取查e
离散数学第十一章 树
前言
1956年Kruskal设计了求最优树的有效算法。
树是一类既简单而又非常重要的图，是计算机中一种基本的数据结构和
表示方法，在输电网络分析设计、有机化学、最短连接及渠道设计等领 域也都有广泛的应用。 本章将对树进行详细的讨论，主要包括树的基本性质和生成树，以及有 向树中的m叉树、有序树和搜索树等。
11.2 有向树及其应用
m叉树
定义11.8 在有向树T中，若任何结点的出度最多为m，则称T为m叉树； 如果每个分支结点的出度都等于m，则称T为完全m叉树；进一步，若T的 全部叶点位于同一层次，则称T为正则m叉树。
例11.7 在图11.5(a)是一棵二叉树，而且是正则二叉树；图11.5(b)是一棵完全二 叉树；图11.5(c)是一棵三叉树，而且是正则三叉树；图11.5(d)是一棵完全三叉树。
图11.6
11.2 有向树及其应用
定义11.10 设<D,W>是叶加权二叉树。如果对于一切叶加权二叉树
D ',W ' 只要对于任意正实数r，D和 D ' 中权等于r的叶的数目相同，就
有<D,W>的叶加权路径长度不大于 D ',W ' 的叶加权路径长度，则称 <D,W>为最优的。 这样，我们把求某问题的最佳算法就归结为求最优二叉树的问题。
i 1 n
n 2 1 3 x
T 的边数 m n 1 5 x
又由 2m d(vi ) 得 2(5 x) 2 2 3 1 4 3 x 所以 x 9，即树 T 有9片树叶。
i 1 n
11.1 树与生成树
树及其性质
推论11.2 阶大于2的树必有割点。
图11.5
离散数学(第二版)第9章树
e10， 则分别产生初级回路e1e3e4， e1e4e5e2， e6e8e9，
•
•
•
e7e6e9e10。
•
第九章 树
这些初级回路有一个共同特点： 它们中均只含一条弦，
其余的边均是树枝， 我们称这样的回路为基本回路。 对于
G的每棵生成树T， m-n+1条弦对应着m-n+1个基本回路，
这些基本回路构成的集合称为对应T的基本回路系统。 显
例如图9.1.3中， T1和T2是图G的两棵生成树， 1 和2 是 分别对应于它们的余树。
第九章 树
图9.1.3 图的生成树和余树
第九章 树
由图9.1.3可见， G与T1、 T2的区别是G中有回路， 而 它的生成树中无回路， 因此要在一个连通图G中找到一棵 生成树， 只要不断地从G的回路上删去一条边， 最后所得 无回路的子图就是G的一棵生成树。 于是有如下定理。
这个问题的数学模型为： 在已知的带权图上求权最小 的生成树。
定义9.1.4 设无向连通带权图G=〈V, E, ω〉， G中带 权最小的生成树称为G的最小生成树(最优树)。
定理9.1.4 设连通图G的各边的权均不相同， 则回路 中权最大的边必不在G的最小生成树中。
证明略。
第九章 树
定理的结论是显然的， 由此寻找带权图G的最小生成 树， 可以采用破圈法， 即在图G中不断去掉回路中权最大 的边。
(5) 1， 1， 1， 1， 1， 2， 5
(6) 1， 1， 1， 1， 1， 3， 4
(7) 1， 1， 1， 1， 1， 1， 6
第九章 树
注意到， 不同构的度数列对应不同的树， 但对应同一 度数列的非同构的树不一定唯一， 所以对应(1)有T1， 对应 (2)有T2、 T3和T4， 对应(3)有T5和T6， 对应(4)有T7和T8， 对应(5)有T9， 对应(6)有T10， 对应(7)有T11(见图9.1.2)。
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
图论中的生成树计数算法
图论中的生成树计数算法在图论中，生成树是指一个无向连通图的一个子图，它包含图中的所有顶点，并且是一个树。
生成树计数算法是指计算一个无向连通图中生成树的数量的方法。
本文将介绍图论中的一些常见生成树计数算法。
1. Cayley公式Cayley公式是最简单的生成树计数算法之一，它适用于完全图。
完全图是指图中的任意两个不同顶点之间都有一条边相连。
假设完全图有n个顶点，那么生成树的数量为n^(n-2)个。
Cayley公式的证明可以利用普鲁夫树（Prüfer Tree）的概念，这里不再详述。
2. Kirchhoff矩阵树定理Kirchhoff矩阵树定理是另一种生成树计数算法，它适用于任意连通图。
矩阵树定理的原理是利用图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的性质。
图的拉普拉斯矩阵定义为：对于一个n个顶点的图，其拉普拉斯矩阵L的定义为：L=D-A，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是该顶点的度数，A是图的邻接矩阵。
根据Kirchhoff矩阵树定理，一个图的所有生成树的数量等于该图的任意一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。
主子式是指原矩阵去掉若干行和列后形成的子矩阵。
基于这个定理，我们可以通过计算图的拉普拉斯矩阵的主子式来得到生成树的数量。
3. Prufer编码Prufer编码是一种用序列表示带标号图中生成树的方法。
给定一个有n个顶点的生成树T，Prufer编码可以将T转化为一个长度为n-2的序列，该序列的元素由图中的顶点标号组成。
具体的编码方法如下：- 第一步：选择标号最小的叶子节点，并将与之相邻的节点记录下来。
- 第二步：删除该叶子节点，并将该叶子节点的标号记录下来。
- 重复以上两步，直到所有顶点都被删除为止。
通过Prufer编码，我们可以将生成树的计数问题转化为序列的计数问题。
在给定n个顶点的情况下，长度为n-2的Prufer序列的数量为n^(n-2)。
除了上述介绍的几种生成树计数算法外，还有其他更复杂的算法，如Chow定理、Matrix-Tree定理等。
《离散数学课件》5树
W(T)等于所有分支点的权之和
36
实例
例 求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树. 解题过程由下图给出，W(T)=38
7，4，5 4，3，4，5 2，2，3，4，5 7，9
37
小结
树与有序树
（ m=n1）
无向树及生成树
基本回路与基本回路系统 基本割集与基本割集系统 最小生成树
根树及其应用
23/60
例 求最小生成树
5 1 5 3 6 6 5 1 5 3 6 4 6 6 5 2 3 5 6 4 5 5 1 5 2 5 5 2 5
4
24/60
普里姆(Prim)算法
设置一个集合T，开始图上任选一点u0加入T，图顶点数 为n。重复以下工作n-1次:
• 在满足uT,vT的所有边中选边权w最小的 • 将v加入集合T中 • 输出边u ,v及边上的权 w
6
无向树的性质(续)
定理2 设T 是 n 阶非平凡的无向树，则T中至少 有两片树叶. 证 设T有x片树叶，由握手定理及定理1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x2.
7
例1 已知一棵树有5个4度顶点，3个3度顶点， 3个2度顶点，问有几个一度顶点？
(a)
(b) 只讨论(b)这样的所谓的“根 树”——有一个根的树。
28/53
根树
设T=(V,E)是一棵有向树，若仅有一个顶点的入度为0， 其余的顶点的入度均为1，这样一棵有向树我们称为 根树。 入度为0的顶点称为树根， 出度为0的顶点称为树叶， 出度不为0的顶点称为分枝点。 例
c d e a b d
有序树: 将根树同层上的顶点规定次序 r元树:根树的每个分支点至多有r个儿子 r元正则树: 根树的每个分支点恰有r个儿子 r元有序树: 有序的r元树 r元正则有序树: 有序的r元正则树
离散数学知识点
离散数学知识点
离散数学是数学中的一个分支，它主要涉及离散对象和离散结构的研究。
下面将介绍离散数学的一些主要知识点。
1. 集合论：集合是离散数学中的基础概念，集合论研究集合的性质与运算。
它包括集合的定义、运算、关系、等价关系、函数和逆映射等概念。
2. 图论：图论是研究图及其性质的数学分支。
图是由节点（或称为顶点）和边组成的数学模型。
它的重点包括图的分类、图的遍历、最短路径、生成树、染色问题等。
3. 逻辑学：逻辑学是研究推理和论证的学科，在离散数学中应用广泛。
逻辑学包括命题逻辑、谓词逻辑、组合逻辑、模态逻辑等多个分支。
4. 组合数学：组合数学是研究离散结构中离散对象的组合方式的数学分支。
它包括组合计数、排列组合、生成函数、递归等概念。
5. 离散数学在计算机科学中的应用：离散数学在计算机科学中应用广泛，例如计算机算法、图像处理、密码学、编译器等领域都有着重要的应用。
以上是离散数学的主要知识点，它们都有着广泛的应用和研究领域，对于理解和
应用离散数学具有重要作用。
离散数学中的图的连通分量和最小生成树
在离散数学中，图是研究的重要对象之一。
图由节点和连边组成，可以用来描述许多实际问题，比如社交网络、交通网络等等。
在图的研究中，连通分量和最小生成树是两个重要的概念。
首先，我们来介绍连通分量。
在一个图中，如果任意两个节点之间存在路径，那么这个图被称为是连通的。
如果一个连通图的任意两个节点之间不存在路径，并且如果将其中的任何一个节点移除后，剩下的子图也不再连通，那么这个图的连通部分被称为是连通分量。
连通分量可以将一个复杂的图分割为若干个互不相交的子图，每个子图都是一个连通图。
连通分量在许多应用中有着重要的意义。
例如，在社交网络中，每个人可以看做是一个节点，而他们之间的关系可以用边来表示。
如果某个社交圈的人之间相互认识，那么他们就属于同一个连通分量。
通过分析连通分量，可以了解社交网络中的人际关系、信息传递等情况。
另一个重要的概念是最小生成树。
最小生成树是指一个连通图的最小权重的生成树，其中每个节点都连接在一起，并且总权重达到最小。
生成树是保留了原图中部分边的子图，该子图包含了原图的所有节点，但是其中的边数比原图少一。
最小生成树则是在所有生成树中权重最小的一种。
最小生成树可以用来优化资源分配、路径规划等问题。
最小生成树的算法有很多种，其中一种常用的算法是Prim算法。
Prim算法从一个起始节点开始，逐步扩展生成树的边。
每次选择与已经生成的树相连的边中权重最小的边。
然后，继续选择与生成树相连的边中权重最小的边，直到生成树包含了所有的节点。
另一个常用的算法是Kruskal算法。
Kruskal算法从边的权重最小的边开始，依次将未加入生成树中且不会形成环的边加入生成树中。
然后，继续选择权重次小的边，直到生成树包含了所有的节点。
最小生成树可以用来解决一些实际问题。
例如，在一个城市的交通网络中，每个路口可以看成是一个节点，而道路可以看成是边。
通过最小生成树算法，可以找到将所有路口连接起来的最短路径，从而优化城市交通的规划。
《离散数学》第九章树讲稿
《离散数学》第九章树讲稿9.1 无向树及生成树一、本节主要内容无向树、森林树枝、弦、余树生成树基本回路与基本回路系统基本割集与基本割集系统最小生成树无向树二、教学内容无向树(树): 连通而无回路的无向图，用T表示.平凡树: 平凡图森林: 每个连通分支都是树的非连通的无向图树叶: 树中度数为1的顶点分支点: 树中度数≥2的顶点右图为一棵12阶树.声明:本章中所讨论的回路均指简单回路或初级回路无向树的性质定理9.1 设G=是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：（1）G是树(连通无回路);（2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径;（3）G中无回路且m=n-1;（4）G是连通的且m=n-1;（5）G是连通的且G中任何边均为桥;（6）G中没有回路, 但在任何两个不同的顶点之间加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.无向树的性质(续)例题例1 已知无向树T中, 有1个3度顶点, 2个2度顶点, 其余顶点全是树叶. 试求树叶数, 并画出满足要求的非同构的无向树.解用树的性质m=n-1和握手定理.设有x片树叶，于是n=1+2+x=3+x,2m=2(n-1)=2?(2+x)=1?3+2?2+x解出x=3，故T有3片树叶.T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3有2棵非同构的无向树, 如图所示例题例2 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其余顶点的度数均为4. 求T的阶数n, 并画出满足要求的所有非同构的无向树.解设T的阶数为n, 则边数为n-1, 4度顶点的个数为n-7. 由握手定理得2m=2(n-1)=5?1+2?1+3?1+4(n-7)解出n=8, 4度顶点为1个.T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4有3棵非同构的无向树生成树生成树的存在性定理任何无向连通图都有生成树.证用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树.推论1 设n阶无向连通图有m条边, 则m≥n-1.推论2 设n阶无向连通图有m条边, 则它的生成树的余树有m-n+1条边.基本回路与基本回路系统定义设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成树，设e1', e2', … , e'm-n+1为T的弦. 设Cr为T添加弦er' 产生的G中惟一的圈(由er'和树枝组成), 称Cr为对应弦er'的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, m-n+1. 称{C1,C2, …, Cm-n+1}为对应T的基本回路系统.求基本回路的算法: 设弦e=(u,v), 先求T中u到v的路径Γuv, 再并上弦e, 即得对应e的基本回路.基本割集与基本割集系统定义设T是n阶连通图G的一棵生成树, e1', e2', …,e'n-1为T的树枝，Si是G的只含树枝ei', 其他边都是弦的割集, 称Si为对应生成树T由树枝ei'生成的基本割集, i=1, 2, …, n-1. 称{S1, S2, …, Sn-1}为对应T的基本割集系统.求基本割集的算法: 设e '为生成树T 的树枝, T -e '由两棵子树T1与T2组成, 令Se '={e | e ∈E(G)且e 的两个端点分别属于T1与T2}则Se '为e '对应的基本割集.实例例图中红边为一棵生成树,求对应它的基本回路系统与基本割集系统解弦e,f,g 对应的基本回路分别为Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d,C 基={Ce, Cf, Cg}.树枝a,b,c,d 对应的基本割集分别为Sa={a, f, g}, Sb={b, e, f, g}, Sc={c, e, f g}, Sd={d, g},S 基={Sa, Sb, Sc, Sd}.无向图与最小生成树对无向图或有向图的每一条边e 附加一个实数w(e), 称作边e 的权. 图连同附加在边上的权称作带权图, 记作G=.设G '是G 的子图, G '所有边的权的和称作G '的权, 记作W(G ').最小生成树: 带权图权最小的生成树求最小生成树的算法——避圈法 (Kruskal)设G=, 将非环边按权从小到大排序：e1, e2, …, em.(1) 取e1在T 中(2) 检查e2, 若e2与e1不构成回路, 则将e2加入T 中, 否则弃去e2.(3) 检查e3,…, 重复进行直至得到生成树为止.实例例求图的一棵最小生成树9.2根树及其应用一、本节主要内容有向树根树、树根、树叶、内点、分支点家族树、根子树、有序树r元树（r元有序树）r元正则树（r元有序正则树）r元完全正则树（r元有序完全正则树）最优2元树与Huffman算法前缀吗与最佳前缀吗中序行遍法、前序行遍法、后续行遍法波兰符号法与逆波兰符号法二、教学内容有向树与根树的定义有向树: 基图为无向树的有向图根树: 有一个顶点入度为0, 其余的入度均为1的非平凡的有向树树根: 有向树中入度为0的顶点树叶: 有向树中入度为1, 出度为0的顶点内点: 有向树中入度为1, 出度大于0的顶点分支点: 树根与内点的总称顶点v的层数: 从树根到v的通路长度树高: 有向树中顶点的最大层数根树(续)根树的画法:树根放上方,省去所有有向边上的箭头如右图所示a是树根b,e,f,h,i是树叶c,d,g是内点a,c,d,g是分支点a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f;3层有g,h; 4层有i.树高为4家族树定义把根树看作一棵家族树:(1) 若顶点a 邻接到顶点b, 则称b 是a 的儿子, a 是b 的父亲;(2) 若b和c为同一个顶点的儿子, 则称b和c是兄弟;(3) 若a b且a可达b, 则称a是b的祖先, b是a的后代. 设v为根树的一个顶点且不是树根, 称v及其所有后代的导出子图为以v为根的根子树.根树的分类有序树: 将根树同层上的顶点规定次序r元树:根树的每个分支点至多有r个儿子r元正则树: 根树的每个分支点恰有r个儿子r元完全正则树: 树叶层数相同的r元正则树r元有序树: 有序的r元树r元正则有序树: 有序的r元正则树r元完全正则有序树: 有序的r元完全正则树最优2元树求最优树Huffman算法:给定实数w1, w2, …, wt,①作t片树叶, 分别以w1, w2, …, wt为权.②在所有入度为0的顶点(不一定是树叶)中选出两个权最小的顶点, 添加一个新分支点, 以这2个顶点为儿子, 其权等于这2个儿子的权之和.③重复②, 直到只有1个入度为0 的顶点为止.W(T)等于所有分支点的权之和实例例求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树.解题过程由下图给出，W(T)=38前缀码设α =α1α2…αn-1αn是长度为n的符号串α的前缀: α1α2…αk , k=1,2,…,n-1前缀码: {β1, β2,…, βm}, 其中β1, β2, …, βm为非空字符串, 且任何两个互不为前缀2元前缀码: 只出现两个符号(如0与1)的前缀码如{0,10,110, 1111}, {10,01,001,110}是2元前缀码{0,10,010, 1010} 不是前缀码前缀码(续)一棵2元树产生一个二元前缀码:对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1;若只关联1条边, 则可以给它标0(看作左边), 也可以标1(看作右边). 将从树根到每一片树叶的通路上标的数字组成的字符串记在树叶处, 所得的字符串构成一个前缀码.如右图所示最佳前缀码例在通信中，设八进制数字出现的频率如下：0：25% 1：20% 2：15% 3：10%4：10% 5：10% 6：5% 7：5%采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码(称作最佳前缀码), 并求传输10n(n≥2)个按上述比例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的(长为3) 的码字传输需要多少个二进制数字?解用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优2元树. 这里w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25. 最优2元树如图所示.编码:0---011---112---0013---1004---1015---00016---000007---00001传100个按比例出现的八进制数字所需二进制数字的个数为W(T)=285.传10n(n≥2)个所用二进制数字的个数为2.85?10n, 而用等长码(长为3)需要用3?10n个数字.波兰符号法与逆波兰符号法行遍(周游)根树T : 对T 的每个顶点访问且仅访问一次.行遍2元有序正则树的方式：①中序行遍法: 左子树、根、右子树②前序行遍法: 根、左子树、右子树③后序行遍法: 左子树、右子树、根例如, 对图所示根树按中序、前序、后序行遍法访问结果分别为：b a (f d g)c e a b (c (d f g) e) b ((f g d)e c) a带下划线的是(子)树根, 一对括号内是一棵子树波兰符号法与逆波兰符号法(续)用2元有序正则树表示算式: 最高层次运算放在树根上, 然后依次将运算符放在根子树的根上, 数放在树叶上, 规定被除数、被减数放在左子树树叶上.例如, 右图表示算式((b+(c+d))*a)÷((e*f)-(g+h)*(i*j))波兰符号法与逆波兰符号法(续)波兰符号法(前缀符号法): 按前序行遍法访问表示算式的2元有序正则树, 其结果不加括号, 规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算.例如, 对上页中树的访问结果为÷*+ b + c d a -* e f * + g h * i j逆波兰符号法(后缀符号法): 按后序行遍法访问,规定每个运算符与前面紧邻两数运算.例如, 对上页中树的访问结果为b c d + + a * e f * g h + i j **-÷。
图论生成树的概念与性质PPT课件
该定理给出了求连通图G的所有生成树的方法：
(1) 写出G的关联矩阵，进一步写出基本关联矩阵，记住参考点；
8
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(2) 找出基本关联矩阵的非奇异主子阵，对每个这样的主子阵，画出相 应的生成树。
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n 2 1
C
1
n 1
0 1
于是由矩阵树定理：
0
1
n 2
n 1 1 1 n 1 (Kn e) 1 1 1 1
1 1 1 1
n 1 1 1 n 2
n 1 1
1 1 n 1 1
1 0
1 n 1 1 1 1 n 1 1 0
1 1 n 1 1 1 1 n 1 0
1 1
例6 求下图G的回路空间的一个基底和它的全部元素。
25
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a
f
cd
g
e
b
h
G
解：取G的一棵生成树T为：
a
d
g
b T
G对于生成树T的基本回路为：
C1 ,b, d, g, h C4 d, f , g
26
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图形为：
a c
b
利用破圈法，显然也可以求出任意图的一个生成森林。
3
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推论 若G是(n, m)连通图，则m≧n-1 连通图G的生成树一般不唯一！
(二)、生成树的计数
1、凯莱递推计数法 凯莱(Cayley 1821—1895): 剑桥大学数学教授，著名代数学家，发表
论文数仅次于Erdos ,Euler, Cauchy. 著名成果是1854年定义了抽象群，并 且得到著名定理：任意一个群都和一个变换群同构。同时，他也是一名出 色的律师，作律师14年期间，发表200多篇数学论文，著名定理也是在该 期间发表的。
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在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊
的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有
趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点
和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存
在唯一一条路径。
它具有以下性质：
1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成
立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，
即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会
变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点
之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是
由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义
和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生
成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩
阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元
素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1
表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树
定理。
该定理是由Kirchhoff于1847年提出的，用于计算连通图的生成树个数。
根据Kirchhoff矩阵树定理，一个连通图G的生成树数目等于其基尔霍夫矩阵
K的任意一个(n-1)阶代数余子式的值。
基尔霍夫矩阵K是一个对称矩阵，它的
任意一个元素等于对应顶点间相连接边的数量之差。
综上所述，离散数学中的图的树与生成树的计数是一个非常重要且有趣的领域。
图的树是一个无环连通图，具有许多有意义的性质。
生成树则是树的一个特殊
子集，其计数方法可以通过Cayley公式、矩阵树定理和Kirchhoff矩阵树定理等多种方法实现。
这些计数方法不仅在理论研究中有重要应用，也在实际问题
的处理中发挥着重要作用。
通过研究图的树与生成树的计数，可以帮助我们更
好地理解图论，并且推动离散数学领域的发展。