工程力学第四章轴向拉伸与压缩重点

课时授课计划授课日期2011.10.22班别1044-3题目第四章轴向拉伸与压缩目会应用截面法求指定截面的轴力的能较熟练的分析拉（压）杆件的内力，绘制相应的轴力图。

要掌握拉（压）变形的应力及强度的计算。

求重截面法求轴力、绘制轴力图、强度计算点难截面法、强度计算点教具课本教学方法课堂教学第四章轴向拉伸与压缩第一节轴向拉（压）杆的内力与轴力图第二节轴向拉（压）杆横截面上的正应力报第三节轴向拉（压）杆的强度计算第四节轴向拉（压）杆的变形计算第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能书设计教学过程：复习： 1、复习平面一般力系的平衡条件及平衡方程。

2、复习平面平行力系的平衡方程。

新课：第四章 轴向拉伸与压缩第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图一、用截面法求轴向拉（压）杆的内力1、内力外力：作用在杆件上的载荷和约束反力统称为“外力” 。

内力的概念：构件的材料是有许多质点组成的。

构件不受外力作用时， 材料内部质点之间保持一定的相互作用力， 使构件具有固体形状。

当构件受外力作用产生变形时，其内部质点之间相互位置改变， 原有内力也发生变化。

这种由外力作用而引起的受力构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力，简称内力。

实践证明，对于特定的材料， 内力的增加有一定的限度， 超过了这个限度，杆件就会被拉断而破坏。

2、截面法1）截面法如左图所示的构件，在杆端沿杆的轴线作用着大小相等、 方向相反的两个力 F，杆件处于平衡状态， 求 m — m 断面上的内力。

（1）为显示内力，用一假想截面将构件在m— m断面处切开，将构件分为 A段和 B段。

任意保留一段（如A 段）为研究对象，弃去另一段（如B 段）。

（2）在保留段 A的 m — m截面上，各处作用着内力， 设这些内力的合力为的作用力。

轴向拉伸的内力计算N，它是弃去部分B 对保留部分A（3）由于整个杆件原来处于平衡状态，所以截开后的任意一部分仍应保持平衡，故可对保留部分A建立平衡方程。

F x 0，N F0故N F( a)N即是截面m—m上的内力。

由作用和反作用公理可知，若保留B段研究，也可得出同样的结果。

式(a)称为内力方程，它反映了截面上的内力N与该截面一侧外力间的关系。

上述利用假想截面将杆件切开，以显示并计算内力的方法，称为截面法。

在其他基本变形中，内力也都用此方法求得。

2）截面法求内力的步骤可归纳为:（1）截开 : 在欲求内力截面处 , 用一假想截面将构件一分为二。

（2）代替 : 弃去任一部分 , 并将弃去部分对保留部分的作用以相应内力代替( 即显示内力 ) 。

然后画出作用于留下部分的受力图。

（3）平衡 : 根据保留部分的平衡条件（ N=F） , 确定截面内力的大小和方向。

轴若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反。

注意：杆件受到的外力多于两个的情况下，需要先根据外力的作用点将杆件进行分段后再计算轴力。

3、轴力受轴向拉压杆件，由于外力的作用与杆件的轴线重合，根据连续性假设由此而产生的内力也是连续分布在截面上的，分布内力的合力的作用线也必然与杆的轴线重合，这种内力也称为轴力。

常用字母N 表示。

通常规定拉伸时轴力取正号（即轴力的箭头背离截面），压缩时轴力取负号（即轴力的箭头指向截面）。

计算轴力时可设轴力为正，这样求出的轴力正负号与变形保持一致。

二、轴力图档杆件同时受到多个轴向外力作用时，杆件内不同的横截面处有不同的轴力。

为了清楚地表明杆内轴力随截面位置的改变而变化的情况，引用轴力图。

轴力图的绘制方法：用平行于杆轴线的坐标轴x 表示杆件横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标轴 F N表示相应截面上的轴力的大小，正的轴力画在 x 轴上方 , 负的轴力画在 x 轴下方。

这种表示轴力沿杆件轴线变化的规律的图形，称为轴力图。

在轴力图上，除应标明轴力的大小、单位外，还应标明轴力的正负号。

绘制轴力图的注意事项：1）轴力图的横坐标要与杆件长度相对应；2）轴力图的纵坐标大小要成比例；3）轴力图的纵坐标要标明数值大小及正负；4）轴力图是一条连续的图线，不能间断，在集中力作用处，轴力图有突变，突变的大小等于集中力的大小；5）在轴力图上要画出阴影线。

轴力图的意义①直观反映轴力与截面位置变化关系；②确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。

例题第二节轴向拉（压）杆横截面上的正应力一、应力概念两根材料相同而粗细不同的杆件，承受着相同的轴向拉力，两杆的内力大小是相同的。

但是随着拉力的增加，细杆将首先被拉断，这说明只知道内力大小还不能判断杆件是否会因强度不足而破坏，还必须知道内力在横截面上分布的密集程度（集度）。

细杆被拉断，是因为内力在较小面积上分布密集度大。

应力：内力在单位面积上的分布集度。

它反应了内力在横截面上分布的密集程度。

通常应力与截面既不垂直也不相切，将它分解成垂直于截面的分量和相切于截面的分量，垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用ζ表示；相切于截面的应力分量称为剪应力或切向应力，用η 表示。

应力的单位是： Pa（帕斯卡）、kPa（千帕）、 MPa（兆帕）、GPa（吉帕）231Pa=1N/m、1kPa=10Pa、1MPa=1N/mm2=106Pa、1GPa=109Pa2工程上常用 MPa作为应力的单位， 1MPa=1N/mm。

二、轴向拉（压）杆横截面上的正应力平面假设：杆件变形前横截面为平面，变形后横截面仍然保持为平面且垂直于杆轴线，只是沿杆轴线方向作了平行移动。

轴向拉伸与压缩时，横截面上各处产生正应力，且均匀分布。

设杆件横截面面积为 A，截面上的轴力为 F N，则轴向拉伸与压缩时等直杆横截面上的正应力ζ 的计算公式：σ=F N /A的符号与轴力 F N 的符号相同：当轴力为正号时（拉伸） ，正应力也为正号，称为拉应力；当轴力为负号时（压缩） ，正应力也为负号，称为压应力 。

σ =F N /A 的适用条件： 只适用于轴向拉伸与压缩杆件。

结论：轴向拉压杆横截面上的正应力除与荷载有关外， 还和横截面的面积有关，而与杆件的材料无关。

可以用应力作为判断杆件强度高低的标准。

第三节 轴向拉（压）杆的强度计算一、许用应力与安全系数在工程实际中， 若要使杆件能够安全、 正常地工作， 杆件必须具有一定的强度，即杆件必须具有足够的抵抗破坏的能力。

当塑性材料达到屈服极限时， 有较大的塑性变形； 当脆性材料达到强度极限时，会引起断裂。

构件工作时，这两种情况是不允许发生的。

我们把构件发生显著变形或断裂时的最大应力，称为 极限应力 ，用 o 表示。

对塑性材料以屈服极限为极限应力：对脆性材料以强度极限为极限应力：公式 σ=F N /A 为轴向拉压杆在载荷作用下的实际应力，称为工作应力 。

为了保证构件安全、 正常工作，仅把工作应力限制在极限应力以内是不够的。

因实际构件的工作条件受许多外界因素及材料本身性质的影响， 故必须把工作应力限制在更小的范围，以保证有必要的强度储备。

为保证杆件能够安全正常工作， 工程中规定了材料容许使用的最大正应力值，称为 许用应力 ，用 [ ] 表示。

式中： [] —— 材料的许用应力；oK —— 安全系数， K>1。

确定安全系数 K 时，主要考虑的因素有 ：材料质量的均匀性，荷载估计 [ ]的准确性，计算方法的正确性，构件在结构中的重要性及工作条件等。

一般构件在常温、静载条件下 ：塑性材料： Ks=1.5~2.5脆性材料：Kb=2~3.5许用应力 [ ] 是强度计算中的重要指标， 其值取决于极限应力o及安全系数 K 。

塑性材料：为材料的名义屈服极限。

[ ]s或 [ ]0.2K s K脆性材料：安全系数的选取和许用应力的确定，关系到构件的安全与经济两方面。

二、轴向拉（压）杆的正应力强度条件0.[ ]bK拉压杆的强度条件 ：杆件的最大工作应力不能超过材料的许用应力。

即式中：——横截面上的最大工作应力；——产生最大工作应力界面的轴力，这个截面称为危险截面 ；A ——危险截面的横截面积；[ σ] ——材料的许用应力。

对于等直杆，轴力最大的截面为危险截面； 对于变截面直杆，若轴力不变，横截面积最小的截面为危险截面；若杆件为变截面杆，且轴力也是变化的，FN [F N /A]max 所在的截面为危险截面。

三、强度条件的应用1、三类强度问题（1）强度校核若已知杆件所受载荷（可求出轴力F N ）、截面尺寸（可求出面积 A ）及材料的许用应力 []，用强度条件可判断杆件是否满足强度要求，及是否满足FN max的要求，若不满足应重行进行截面设计。

（2）设计截面尺寸若已知构件所受荷载（ F N）、材料的许用应力[ ]，确定横截面积A，有强度条件得该式求出的是截面的最小面积。

（3）确定许可载荷已知构建的横截面积（ A ）、材料的许用应力 [ ] ，则构建所能承受的最大轴力为FN max[该式求出的 F N的最小值。

根据max[P] 。

A结合书 P83-84 例 3-5、例 3-6 对强度计算进行详细讲解。

2、例题例 1：一直径d=14mm的圆杆，许用应力[ζ]=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN 作用，试校核此杆是否满足强度条件。

解：Nmax 2.5103 maxA 162MPa < [ ]14210 64满足强度条件。

例 2：刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力F=25kN,已知CD杆的直径 d=20mm,许用应力 [ ]=160MPa，试校核 CD 杆的强度 ,并求：（1）结构的许可荷载 [F];（2）若 F=50kN,设计 CD 杆的直径 .DACFB 2aa解：D（1）求 CD 杆的内力F3 FM A0 F NCDC2A B FN CD3F /2119MPaaA d 2/ 42a[ ]（2）结构的许可荷载 [F ]FRAyFNCDF由CD F NCD[]F RAxA C BA3F得F NCD[ ]A2[F]=33.5kN由FNCD[] CDA3F /2得FNCDA[][ ]FR AyF NCD Fd23F /24[ ]FR Axd=24.4mm取d=25mm A C B第四节轴向拉（压）杆的变形计算一、弹性变形和塑性变形弹性：当载荷不超过某一定范围时，大多数材料在去除载荷后能即刻恢复它的原有形状和尺寸。

弹性变形：在去除载荷后能够消失的变形。

塑性：当载荷超过某一定范围时，在去除载荷后，变形只能部分地恢复，而残留下一部分变形不能消失。

塑性变形：不能恢复而残留下来的变形。

二、胡克定律杆件受轴向力作用时，沿杆件轴线方向会伸长或缩短，同时杆件的横向尺寸将缩小或增大。

我们把杆件沿轴线方向伸长或缩短称为纵向变形；横截面方向尺寸的改变量称为横向变形。

F Fll 1杆件在拉伸或压缩时长度发生改变，其改变量称为绝对变形，用L表示。