2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合(含简单答案)
2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题(二次函数综合)【含答案】
2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题（二次函数综合）一、解答题1．如图，直线y ＝x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过B 、C ，且与x 轴另一交点为49A ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在抛物线上，连接EC ，当∠ECB +∠ACO ＝45°时，求点E 的横坐标；(3)点M 从点A 出发，沿线段AB 由A 向B 运动，同时点N 从点C 出发沿线段CA 由C 向A 运动，M ，N 的运动速度都是每秒1个单位长度，当N 点到达A 点时，M ，N 同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D ，使M ，N 运动过程中的某些时刻t ，以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，说明理由．2．已知抛物线y=ax ²+bx +c 经过点A （-6，0）、B （2，0）和C （0，3），点D 是该抛物线在第四象限上的一个点，连接 AD 、AC 、CD ，CD 交x 轴于E ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）当S △DAE =S △ACD 时，求点 D 的坐标；14（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得△PAD 中的一个角等于2∠BAD ?若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，直线y =ax ²+4ax +c 与x 轴交于点A （-6，0）和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC 的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，F 为抛物线在第四象限的一点，直线AF 解析式为，求∠CAF -∠CAD 的度数．123y x =--(3)如图2，若点P 是抛物线上的一个动点，作PQ ⊥y 轴垂足为点Q ，直线PQ 交直线AC 于E ，再过点E 作x 轴的垂线垂足为R ，线段QR 最短时，点P 的坐标及QR 的最短长度．4．已知顶点为A (2，一1)的抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于C 、D 两点，点C 坐标(1，O )；(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB 、BD 、DA ，求cos ∠ABD 的大小；(3)点P 在x 轴正半轴上位于点D 的右侧，如果∠APB =45°，求点P 的坐标．5．如图1，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C()2102y x bx c c =++<作轴，与抛物线交于另一点D ，直线与相交于点M ．CD x ∥BC AD(1)已知点C 的坐标是，点B 的坐标是，求此抛物线的解析式；()04-，()40，(2)若，求证：；112b c =+AD BC ⊥(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，点P 是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P 的横坐标为t ，点Q 是直线上一点，是否存在这样的点P ，使得是以点G 为直角顶点的直角三角形，且满足BC PGQ △，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．GQP OCA ∠=∠6．抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴相交于点C ，点D 为223y ax ax a =--抛物线的顶点，点O 为坐标原点．(1)若是直角三角形，求抛物线的函数表达式；ABC (2)王亮同学经过探究认为：“若，则”，王亮的说法是否正确？若你认为正确，请加以证明：a<02∠=∠DCB ABC 若是错误的，说明理由；(3)若第一象限的点E 在抛物线上，四边形面积的最大值为，求a 的值．ABEC 2547．如图，抛物线经过，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．22y ax ax c =++(1,0)B (0,3)C(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，点E 在抛物线上，连接并延长交x 轴于点F ，连接，若是以为底的等腰三角形，求DE BD BDF BD 点E 坐标．(3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点M ，使，若存在，求出M 点的坐标；若不存AC BC ACM BCO ∠=∠在，请说明理由．8．抛物线的顶点坐标为，与x 轴交于点两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线上的动2y ax bx c =++(1,4),(3,0)A B 点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 在直线BC 上方抛物线上，连接AM 交BC 于点E ，求的最大值及此时点M 的坐标；MEAE (3)如图2，已知点，是否存在点M ，使得？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理(0,1)Q 1tan 2MBQ ∠=由．9．如图，一次函数y ＝x﹣2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 的坐标为（﹣1，0），二次函数12y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过A ，B ，D 三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点G （1，m ）在抛物线上，作射线AG ，点H 为线段AB 上一点，过点H 作HE ⊥y 轴于点E ，过点H 作HF ⊥AG 于点F ，过点H 作HM ∥y 轴交AG 于点P ，交抛物线于点M ，当HE•HF 的值最大时，求HM 的长；（3）在（2）的条件下，连接BM ，若点N 为抛物线上一点，且满足∠BMN ＝∠BAO ，求点N 的坐标．10．已知二次函数．()20y ax bx c a =++>（1）若，，求方程的根的判别式的值；12a =2b c ==-20ax bx c ++=（2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点、，且，与y 轴的负半轴交于点C ，()1,0A x ()2,0B x 120x x <<点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ，．ACO ABD ∠=∠1b c x a -+=①求证：；AOC DOB ≅ ②连接BC ，过点D 作于点E ，点在y 轴的负半轴上，连接AF ，且，DE BC ⊥()120,F x x -ACO CAF CBD ∠=∠+∠求的值．1cx 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x 轴交于点A ，B 两点，点A 坐标为，243y ax x c =-+()3,0点B 坐标为，与y 轴交于点C ．()1,0-(1)求抛物线的函数解析式；(2)若将直线绕点A 顺时针旋转，交抛物线于一点P ，交y 轴于点D ，使，求直线函数解析AC BAP BAC ∠=∠AP 式；(3)在（2）条件下若将线段平移（点A ，C 的对应点M ，N ），若点M 落在抛物线上且点N 落在直线上，求AC AP 点M 的坐标．12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交212y x bx c =-++x (2,0)A -B A B y 于点．(0,3)C （1）求抛物线的表达式；的坐标，并直接写出此时直线的表达式．D DC （3）在（2）的条件下，点为轴右侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，E y E DC P ECP DAB ∠=∠请直接写出点的坐标．E 13．已知函数y ＝（n 为常数）．22()1()222x nx n x n n n x x x n ⎧-++≥⎪⎨++<⎪⎩(1)当n ＝5时，①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值．②求此函数的最大值．(2)当n ＜0时，作直线x ＝n 与x 轴交于点P ，与该函数图象交于点Q ，若∠POQ ＝45°，求n 的值．23(3)若此函数图象上有3个点到直线y ＝2n 的距离等于2，求n 的取值范围．14．如图，已知抛物线y ＝ax 2+4（a ≠0）与x 轴交于点A 和点B （2，0），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线在第一象限的点．（1）当△ABD 的面积为4时，①求点D 的坐标；②联结OD ，点M 是抛物线上的点，且∠MDO ＝∠BOD ，求点M 的坐标；（2）直线BD 、AD 分别与y 轴交于点E 、F ，那么OE +OF 的值是否变化，请说明理由．15．如图，已知，抛物线经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线(2,0),(3,0)A B -24y ax bx =++上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作，垂足PM x ⊥PN BC ⊥为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得？若存在，请直接写出m 的值；若290BCO PCN ∠+∠=︒不存在，请说明理由．16．如图1，在平面直角坐标系中．抛物线与x 轴交于和，与y 轴交于点C ，连接22y ax bx =++(4,0)A -(1,0)B ．,AC BC(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点M 为直线上方的抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交于点N ，过点M 作x 轴的AC AC 平行线，交直线于点Q ，求周长的最大值；AC MNQ △(3)点P 为抛物线上的一动点，且，请直接写出满足条件的点P 的坐标．45ACP BAC ∠=︒-∠17．抛物线经过A （-1，0）、C （0，-3）两点，与x 轴交于另一点B ．23y ax bx a =+-（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D 在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D’的坐标;(m,-m-1)（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使，若存在，请求出P 点的坐标；PCB CBD ∠=∠若不存在，请说明理由.参考答案：1．(1)y ＝x 2﹣x ﹣34913(2)或1543916(3)存在，t ＝或或754415845222．（1）；（2）；（3）P 点坐标为综上所述：2134y x x =--+(21)D -+-1P，、、、(617-）2P (-5.00.，175)()3 3.47, 3.48P -4(220P -)5P ，．(14.22,33.30)--6(9.74,30.47)P -3．(1)抛物线的解析式为y =-x ²-2x +6，直线BC 的解析式为y =x +612(2)45°(3)点P 的坐标为（，3）或（，3），QR 的最短长度为4．（1）y =x 2﹣4x +3；（23）P （3+，0）5．(1)2142y x x =--(2)11(3)t =t =6．(1)2=y x (2)王亮的说法正确(3)23a =-7．(1)抛物线的解析式为：，223y x x =--+(1,4)D -(2)720(,39E -(3)存在，或()4,5M --57(,)24M -8．(1)；223y x x =-++(2)；；916315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在；或（0，3）829,749⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．（1）y ＝x 2﹣x﹣2；（2）2；（3）(1，﹣3)或(﹣，)12325317910．（1） （2）①1；②=2=8∆1c x 11．(1)224233y x x =--(2)223y x =-+(3)或或()3,8-104,3⎛⎫ ⎪⎝⎭102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭12．（1）；（2）D (2，2)，；（3点E 的坐标为(1，3)或211322y x x =-++132y x =-+(，)113179-13．(1)①b =；②此函数的最大值为；92458(2)n 的值是-或-；15232(3)或423n -<<-463n <<-6n =+14．（1）①；②；（2）不变化，值为8)2D ()2M 15．(1)222433y x x =-++(2)，当时，有最大值22655PN m m =-+32m =910答案第3页，共3页(3)存在，74m =16．(1)213222y x x =--+(2)6+(3)或()5,3--2375,749⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（1）2y x 2x 3=--（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）答案第4页，共1页。
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
20．如图，抛物线y＝ x2﹣ x﹣ 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
13．如图，抛物线 经过点A（0，3），B（－1，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线 过点 ， ， ．
(3)如图2，在（2）的条件下，点D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)、B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C．
(1)求a、b满足的关系式及c的值；
(2)如果 ，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使 ．
①求点P的坐标；
②若直线PD上是否存在点Q，使 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(4，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．
(1)点E的坐标为；
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(角度问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（角度问题）1．如图，抛物线2y ax2x c=++（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当:COD COBS S＝1：3时，求点F的坐标；(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣32），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求OBC∠的度数；(2)若ACO CBD∠=∠，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像上，始终存在一点P ，使得75ACP ∠=︒，请结合函数的图像，直接写出m 的取值范围． 3．如图1，直线y ＝2x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A 、C 两点的抛物线232y ax x c =++与x 轴的另一交点为B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是抛物线在第一象限内的一点，连接OD ，将线段OD 绕O 逆时针旋转90°得到线段OM ，过点M 作MN ∠x 轴交直线AC 于点N ．求线段MN 的最大值及此时点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点E 是点A 关于y 轴的对称点，连接DE ，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得∠PED ＝45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()4,0，抛物线的对称轴为直线32x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当BCD △的面积为74时，求点D 的坐标； (3)过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线211322y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，D 为线段AB 上一点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)过点D 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ，与直线BC 相交于点F ，求出点E 到直线BC 距离d 的最大值；(3)连接CD ，作点B 关于CD 的对称点B '，连接AB '，B D '．在点D 的运动过程中，ADB ∠'能否等于45°？若能，请直接写出此时点B '的坐标，若不存在请说明理由．6．如图1，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A (﹣2，0)，B (4，0)，抛物线的顶点为C ，作射线AC ，BC ．动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AC 做匀速运动，动点Q 从B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC 运动．(1)填空：b ＝_____，c ＝_____，C 的坐标为_____．(2)点P ，Q 运动过程中，∠CPQ 可能为等腰三角形吗？说明理由．(3)如图2，连接PO ，QO ，当∠POQ ＝30°时，直接写出t 的值．7．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 是x 轴的正半轴上一点，1tan 3APC ∠=，求点P 的坐标； (3)当点P 是抛物线上第一象限上的点，1tan 3APC ∠=，直接写出点P 的坐标为______． 8．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点A （-2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求抛物线24y ax bx =+-的表达式； (2)如图2，点E （x ，0）是线段OB 上的点，过点E 作与x 轴垂直的直线与直线BC 交于点F ，与抛物线交于点G ．∠线段FG 的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，说明理由； ∠连接CG ，当∠DCG =∠ACO 时，求点G 的坐标；(3)若点P 是直线BC 下方的抛物线上的一点，点Q 在y 轴上，点M 在线段BC 上，当以C ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是菱形时，直接写出菱形的边长．9．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于C （0，－3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在这样的点P ，使得∠ACP=∠ABC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点D 为线段BC 上一点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，连结BE ．当∠DBE =90°时，求BEC S ∆．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-2x +c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)找出图中与∠DAB 相等的一个角，并证明；(3)若点P 是第二象限内抛物线上的一点，当点P 到直线AC 的距离最大时，求点P 的坐标．11．如图所示：二次函数26y ax bx =+-的图象与x 轴交于()2,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求二次函数表达式及直线BC 的函数表达式；(2)如图1，若点M 为抛物线上线段BC 右侧的一动点，连接CM ，BM ．求四边形ACMB 面积最大时点M 的坐标；(3)如图2，该抛物线上是否存在点P ，使得ACO BCP ∠=∠？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知如图，二次函数23y x bx =++的图像与x 轴相交于点A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，连接AC 、BC ，tan 1ABC ∠=，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点E ，当AE CE +取得最小值时，E 点坐标为________；此时AE 与BC 的位置关系是________，tan ACE ∠=________；(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M ，满足ACB BAM ∠=∠，若存在求M 点的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)若抛物线上一动点Q ，当BAQ ACO ∠=∠时，直接写出Q 点坐标________． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于B ，C 两点（C 在B的左侧），与y 轴交于点A ，已知()0,4A -，2OA OB =．(1)求抛物线的表达式；(2)若点Q 是线段AC 下方抛物线上一点，过点Q 作QD 垂直AC 交AC 于点D ，求DQ 的最大值及此时点Q 的坐标；(3)点E 是线段AB 上一点，且14AOE AOC S S =△△；将抛物线212y x bx c =++沿射线AB 的方向平移，当抛物线恰好经过点E 时，停止运动，已知点M 是平移后抛物线对称轴上的动点，N 是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．14．如图，抛物线()()22369=++-+y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知()3,0B ．(1)m 的值是________；(2)P （异于点A ）为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，求点P 的坐标：(3)Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l ：2y kx =+过点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线l 经过点B 时，取线段BC 的中点M ，作直线l 的平行线，恰好与抛物线有一个交点P 时，判断以点P ，O ，M ，B 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线l 上是否存在唯一一点Q ，使得90AQB ∠=︒？若存在，请求出此时l 的解析式；若不存在，请说明理由．16．我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A ，B 两点）作x 轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x 轴上的“足距”，记作AB ．根据该约定，完成下列各题：（1）若点1(,6)A x ，2(,4)B x -．当点A 、B 在函数2y x =的图象上时，AB =______；当点A ，B 在函数24y x=-的图像上时，AB =______； （2）若反比例函数()11k y k x -=≠的图象上有两点()1,A x k ，()22,B x k k -，当AB k =时，求正整数k 的值． （3）在（2）条件下抛物线223y kx x =+-与x 轴交于1A ，1B 两点，与y 轴交于点C ．如图，点D 是该抛物线的顶点，点(,)P m n 是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接1A D 、1A C 、1A P ，当1112PA B CA D ∠=∠时，求m 的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+bx 的图象与x 轴交于O 、A 两点，其顶点B 的坐标为（2，﹣6）．（1）求a 、b 的值；（2）如图1，点C 是该二次函数图象的对称轴上的一个动点，连接BO 、CO ，当∠OBC 是以BC 为腰的等腰三角形时，求点C 的坐标；（3）如图2，P 是该二次函数图象上的位于第一象限内的一个动点，连接OP ，与对称轴交于点M ，点Q 在OP 上，满足OQ PQ ＝21，设点P 的横坐标为n ； ∠请用含n 的代数式表示点Q 的坐标（，）；∠连接BQ ，OB ，当∠OBQ 的面积为15时，求点P 的坐标；∠当∠POA ＝2∠OBM 时，直接写出点P 的横坐标．18．如图1，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 与点B ，抛物线212y x bx c =-++经过点A 、B ，在线段OA 上有一动点(),0D m ，点D 不与O 、A 重合，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当点C 是DE 的中点时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将线段OD 绕点O 逆时针旋转得到OD '，旋转角为()090αα︒<<︒，连接'D A 、'D B ，直接写出''12D A D B +的最小值．参考答案：1．(1)223y x x =-++；(2)F （35，125）； (3)存在，P （13，329）或（﹣73，﹣649）．2．(1)A （-1，0）；B （2m +1，0）；C （0，2m +1）；45OBC ∠=︒(2)1m =(3)0m <<3．(1)213222y x x =-++ (2)最大值为3；()2,3D(3)存在，11P ⎛ ⎝⎭，()20,2P4．(1)213 2.22y x x (2)79,28D 或121,.28(3)点D 的横坐标为2或2911．5．(1)A （-2，0），B （3，0），C （0，3）；(2)点E 到直线BC 的距离d ；(3)在点D 的运动过程中，∠ADB '能等于45°，此时点B ′的坐标为（0，-或（-，3）．6．；(1， (2)不可能，理由见解析(3)t 的值为：17．(1)2=23y x x --(2)点P 的坐标为()9,0(3)点P 的坐标为()4,58．(1)2142y x x =-- (2)∠当2x =时，FG 有最大值，FG 的最大值=2；∠G （3，－52）或（1，－4.5）． (3)2或49．(1)2=+43y x x --(2)存在点P ，使得∠ACP=∠ABC ，点P 的坐标为7524,⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3△BEC S =10．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，顶点D 的坐标为（﹣1，4）(2)∠ACB ，证明见解析(3)点P 坐标为（32-，154）11．(1)26y x x =--，26y x =-(2)点M 的坐标为321,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)存在，（2，-4）或（8，50）12．(1)y =x 2-4x +3；(2)（2，1）；AE ∠BC ，12； (3)存在，M 点的横坐标为52或72； (4)Q 点的坐标为(103，79)或(83，59-) ．13．(1)2142y x x =+-(2)DQ ()2,4Q -(3)N 点坐标为(2,或(2,-或()2,0-或52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，见解析14．(1)1-(2)()2,1P ，⎝⎭P ，⎝⎭P (3)75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭Q15．（1）215222y x x =-+；（2）菱形；（3）存在，122y x =-+或2y x =+或2y x =+． 16．（1）5；10；（2）1；（3）74m =17．（1）a ＝32，b ＝﹣6；（2）点C 的坐标为（2，6--2，6-+2，83-）；（3）∠23n ，n 2﹣4n ；∠P （5，152）；∠点P 的横坐标为92．18．（1）2142y x x =-++；（2）2；（3。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(线段周长问题)(含简单答案)
(2)点P在直线 下方的抛物线上，连接 交 于点 ，过点 作 轴的垂线 ，垂线 交 于点 ， 垂线 ，求证 ；当 最大时，求点P的坐标及 的最大值；
(3)在(2)的条件下，在 上是否存在点 ，使 是直角三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
(3)若直线 与线段 交于点 （不与点 ， 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点 是抛物线的对称轴与直线 的交点，点 是抛物线的顶点，求 的长；
(3) 或
13．(1)二次函数的解析式为 ；
(3)点P的坐标为 或 ．
14．(1)
(2) ，或
(3)
15．(1)抛物线的函数关系式为 ；直线 的函数关系式为 ；
(2) 面积的最大值为 ；
(3)点M的坐标为 ．
16．(1) ，
(2)
(3)最大值为4，此时
17．(1) ，
(2)
(3) 或 或
18．(1)
11．已知：抛物线 经过 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线 上方抛物线上任意一点，连接 ， 交直线 于点E，设 ，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
(3)如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．求 的周长及 的值．
12．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点（点 在 的右边），与 轴交于点 ，连接 ， ．点 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足为点 ， 交 于点 ．
2023年中考数学专题训练——二次函数最值问题的综合
2023年中考数学专题训练——二次函数最值问题的综合一、综合题1．已知2318x t y t S x y =-=+=+，，.（1）求S 与t 的函数关系式；（2）当2t =时，求S 的值；（3）求S 的最大值或最小值.2．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+mx+5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（5，0）.（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标.（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标.3．已知函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b ，c 的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y 的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．4．已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为A （-1，0），与y 轴的交点坐标为C （0，3） .（1）求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）根据图象回答：当x 取何值时，y ＜0？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA PC +的值最小时的点P 的坐标．5．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点()02F ，的距离与到x 轴的距离相等，如图，点M 的坐标为)3，，P 是抛物线2114y x =+上一动点，则（1）当POF 面积为4时，求P 点的坐标； （2）求PMF 周长的最小值．6．某商店销售一种成本为40元千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg ，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg（1）当销售单价为55元时，计算月销售量和销售利润；（2）当售价定为多少元时，会获得最大利润?求出最大利润.7．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB 的长为x 米，苗圃园的面积为y 平方米.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）当x 为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？8．已知二次函数22y x bx b =++（b 为常数）．（1）若图象过28（，），求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，当22x -≤≤时，求函数的最大值和最小值． （3）若函数图象不经过第三象限，求b 的取值范围9．如图，一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =的图象交于()1A m ，和()24B -，（1）直接写出两个函数的解析式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线线上一个动点，过P 作PH y 轴与AB 交于H 点，当PH 为最大值时，求P 点坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）经过点()10A ，，点()03B ，．点P 在此抛物线上，其横坐标为m ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P 在x 轴上方时，结合图象，直接写出m 的取值范围．（3）若此抛物线在点P 左侧部分（包括点P ）的最低点的纵坐标为2m -．求m 的值．11．如图，已知抛物线过点()00O ，，()55A ，，其对称轴为2x =．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限．①当OAB 的面积为15时，求点B 的坐标；②P 是抛物线上的动点，当PA PB -取得最大值时，求点P 的坐标．12．如图，二次函数的图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC.（1）求二次函数的表达式，并求出函数的最大值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PA ＋PC 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）．（1）若二次函数的对称轴是直线x ＝3，求m 的值．（2）当m ＞2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．14．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx ﹣c 的部分图象如图．（1）求b 、c 的值；（2）分别求出抛物线的对称轴和y 的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，过点()04A ，、()59B ，两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．（1）求抛物线的解析式； （2）求点C 的坐标；（3）()P x y ，为线段AB 上一点，14x ≤≤，作//PM y 轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．16．已知二次函数y ＝3mx 2+2nx+p ．（1）若m ＝1，n ＝﹣1．①p ＝﹣8时，求该函数图象的顶点坐标；②当﹣2≤x≤2时，该函数图象与x 轴有且只有一个公共点，求p 的取值范围； （2）若m ＝﹣13，p ＝n+2019，﹣2≤x≤2时，该函数取得最大值2021，求n 的值．17．如图，在平面直角坐标系中，过点()04A ，、()59B ，两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．（1）求抛物线的解析式； （2）求点C 的坐标；（3）()P x y ，为线段AB 上一点，14x ≤≤，作PMy 轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．18．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()10A ，，()30B ，两点，与y 轴交于点C ，3OC =．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．19．已知二次函数图象的顶点是()12-，，且过点302（，）．（1）求二次函数的表达式．（2）求当24x -<<时，函数的最大值和最小值． （3）求当x 取何值时，0y >20．绿色生态农场生产并销售某种有机产品，每日最多生产130kg ，假设生产出的产品能全部售出，每千克的销售价y 1（元）与产量x （kg ）之间满足一次函数关系y 1＝﹣ 35x+168，生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数图象如图中折线ABC 所示.（1）求生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数关系式； （2）求日利润为W （元）与产量x （kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg 时，这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？答案解析部分1．【答案】（1）解：将231x t y t =-=+，代入8S x y =+得：()()2238185S t t t t =-++=++，∴S 与t 的函数关系式为：285S t t =++.（2）解：将2t =代入285S t t =++得：2282525S =+⨯+=， ∴当2t =时25S =.（3）解：()2285411S t t t =++=+-， ∴当4t =-时，函数S 有最小值-11.【解析】【分析】（1）将第一个与第二个函数解析式代入第三个函数解析式中即可得出 S 与t 的函数关系式；（2）将t=2代入（1）所得函数解析式，即可算出s 的值；（3）将（1）所得函数解析式配成顶点式，由于二次项系数a=1＞0，图象开口向上，故可得出该函数的最小值.2．【答案】（1）解：将点（5，0）代入y ＝﹣x 2+mx+5得，0＝﹣25+5m+5，m ＝4， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x+5 y ＝﹣x 2+4x+5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9）（2）解：如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA+PC ＝PC+PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC+PB ＝BC 为最小值，即为PA+PC 的最小值，由抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x+5＝﹣（x ﹣2）2+9，可得点C 坐标为（0，5），点B 坐标为（5，0），对称轴l 为x ＝2，设直线BC 的解释为y ＝kx+b ，将点C （0，5），点B （5，0），代入y ＝kx+b 得， {0=5k +b 5=b， 解得15k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+5，联立方程，{y =−x +5x =2，解得 23x y =⎧⎨=⎩∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为（2，3）.【解析】【分析】（1）将点（5，0）代入y ＝﹣x 2+mx+5中，求出m 值得其解析式，从而求出顶点坐标；（2） 由点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，当点C 、点P 、点B 共线时，PC+PB ＝BC 为最小值，即为PA+PC 的最小值， 利用待定系数法求出直线BC 解析式，在求其与对称轴的交点坐标即可.3．【答案】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y ＝2x bx c -++，得∶{c =−3−36−6b +c =−3，解得：{b =−6c =−3； （2）解：由（1）得：该函数解析式为y ＝263x x ---＝2(3)6x -++， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），∵-1＜0∴抛物线开口向下， 又∵-4≤x≤0，∴当x ＝-3时，y 有最大值为6．（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，∴当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3时，y 随x 的增大而增大， ①当-3＜m≤0时，当x ＝0时，y 有最小值为-3，当x ＝m 时，y 有最大值为263m m ---，∴263m m ---+（-3）＝2，∴m ＝-2或m ＝-4（舍去）．②当m≤-3时，当x ＝-3时，y 有最大值为6， ∵y 的最大值与最小值之和为2， ∴y 最小值为-4， ∴2(3)6m -++=-4，∴m ＝310--m ＝310-+．综上所述，m ＝-2或310--【解析】【分析】（1） 把（0，-3），（-6，-3）代入y ＝2x bx c -++ 中求出b 、c 的值；（2） 由（1）得：该函数解析式为y ＝263x x ---＝2(3)6x -++， 可得顶点（-3，6），开口向下，可知当x=-3时y 值最大；（3） 由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，可得当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3时，y 随x 的增大而增大，分两种情况： ①当-3＜m≤0时，②当m≤-3时， 分别求出最大值与最小值，根据“ y 的最大值与最小值之和为2 ”列出方程并解之即可.4．【答案】（1）解：把点 a （-1，0）， C （0，-3）代入抛物线 y=x 2+bx+c 可得方程组103b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解方程组得：23b c =-⎧⎨=-⎩ ， 所以函数表达式为 2y x 2x 3--＝当 y 0= 时， 2x 2x 30--= ，解得 12x 1x 3=-=， ；另一个交点B 的坐标为（3，0）.（2）解：由图象可得：当 1x 3-<< 时， y ＜0.（3）解：如图，作对称轴，作直线BC ，交点P 就是所求的点。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．如图，二次函数216y x bx c =++的图象交坐标轴于点()4,0A ，()0,2B -，点P 为x 轴上一动点．(1)求二次函数216y x bx c =++的表达式； (2)将线段PB 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PD ，若D 恰好在抛物线上，求点D 的坐标； (3)过点P 作PQ x ⊥轴分别交直线AB ，抛物线于点Q ，C ，连接AC ．若以点B 、Q 、C 为顶点的三角形与APQ △相似，直接写出点P 的坐标． 2．抛物线25y ax bx =++经过点1,0A 和点()5,0B ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线25y x =+相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM y ∥轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC PD 、，如图1，在点P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；①连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得CNQ 与PBM 相似？若存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．3．已知抛物线24y ax ax b =-+与x 轴交于A ，B 两点，（A 在B 的左侧），与y 轴交于C ，若OB OC =，且03C （，）．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，以A 、M 、N 为顶点的三角形与AOC ∆相似，若存在，求出所有符合条件的M 点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图．在平面直角坐标系中．抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．点A 的坐标为()1,0-，点C 的坐标为()0,2-．已知点(),0E m 是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ，交BC 于点F ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若:1:2EF PF =，请求出m 的值；(3)是否存在这样的m ，使得BEP △与ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．5．如图，二次函数212y x bx c =-++图像交x 轴于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，CD y ⊥轴，交抛物线于另一点D ，且5CD =，P 为抛物线上一点，PE y轴，与x 轴交于E ，与BC ，CD 分别交于点F ，G ．(1)求二次函数解析式；(2)当P 在CD 上方时，是否存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，若存在，求出CPG △与FBE 的相似比，若不存在，说明理由．(3)点D 关于直线PC 的对称点为D ，当点D 落在抛物线的对称轴上时，此时点P 的坐标为________．6．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，已知A ，B 两点坐标分别是(1,0)A ，(4,0)B -，连接,AC BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC ∆沿BC 所在直线折叠，得到DBC ∆，点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上？若点D 在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P 是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP 交BC 于点Q ，连接BP ，BPQ ∆的面积记为1S ，ABQ ∆的面积记为2S ，求12S S 的值最大时点P 的坐标． 7．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知菱形OABC 的边长为5，且点(34)A ，，点E 是线段BC 的中点，过点A ，E 的抛物线2y ax bx c =++与边AB 交于点D ，(1)求点E 的坐标；(2)连接DE ，将BDE △沿着DE 翻折痕．①当B 点的对应点B '恰好落在线段AC 上时，求点D 的坐标；①连接OB ，BB '，若BB D '△与BOC 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数=a ______． 9．如图，抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、()3,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与BCD △相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线BC 下方抛物线上一点P ，作PQ 垂直BC 于点Q ，连接CP ，当CPQ 中有一个角等于ACO ∠时，求点P 的坐标．10．如图，抛物线顶点D 在x 轴上，且经过(0,3)-和(4,3)-两点，抛物线与直线l 交于A 、B 两点．(1)直接写出抛物线解析式和D 点坐标；(2)如图1，若()03A ，-，且 94ABDS ＝，求直线l 解析式； (3)如图2，若90ADB ∠=︒，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．11．如图1，已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 下方抛物线上一动点，过点P 作∥PE BC ，交x 轴于点E ，连接OP 交BC 于点F ．(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标以及抛物线的对称轴； (2)当点P 在线段BC 下方抛物线上运动时，求BFPE取到最小值时点P 的坐标； (3)当点P 在y 轴右边抛物线上运动时，过点P 作PE 的垂线交抛物线对称轴于点G ，是否存在点P ，使以P 、E 、G 为顶点的三角形与①AOC 相似？若存在，来出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线212ax ax b =-+y 经过()1,0A -，32,2C ⎛⎫⎪⎝⎭两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且2PM MQ MB =⋅，设线段OP x =，2MQ y =，求2y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；并直接写出PM APPQ BQ-的值；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x m =，x n =分别与抛物线交于点E ，G ，与（2）中的函数图象交于点F ，.H 问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．13．已知抛物线213222y x x =-++交x 轴于A 、B 两点，A 在B 的左边，交y 轴于点C ．(1)求抛物线顶点的坐标；(2)如图1，若10,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 在抛物线上且在直线AE 上方，PQ AE ⊥于O ，求PQ 的最大值；(3)如图2，点(),3D a （32a <）在抛物线上，过A 作直线交抛物线于第四象限另一点F ，点M 在x 轴上，以M 、B 、D 为顶角的三角形与AFB △相似，求点M 的坐标． 14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．15．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式； (2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．16．如图①，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，3），顶点为D （4，-1），对称轴与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．(1)求二次函数的解析式；(2)点M 在第一象限抛物线的对称轴上，若点C 在BM 的垂直平分线上，求点M 的坐标； (3)如图①，过点E 作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H ，x 轴上方的对称轴上是否存在一点P ，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -，()0,4B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．(1)求a ，c 的值；(2)经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且BDO △与OCE △的面积相等，求直线DE 的解析式；(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B （点A 在点B 左侧），与y 轴负半轴交于C ，且满足2OA OB OC ===．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，D 为y 轴负半轴上一点，过D 作直线l 垂直于直线BC ，直线l 交抛物线于E ，F 两点（点E 在点F 右侧），若3DF DE =，求D 点坐标； (3)如图3，点M 为抛物线第二象限部分上一点，点M ，N 关于y 轴对称，连接MB ，P 为线段MB 上一点（不与M 、B 重合），过P 点作直线x t =（t 为常数）交x 轴于S ，交直线NB 于Q ，求QS PS -的值（用含t 的代数式表示）．参考答案：1．(1)211266y x x =-- (2)()3,1D -或()8,10D -(3)点P 的坐标为()011-，或()10，．2．(1)265y x x =-+ (2)37,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,4-3．(1)243y x x =-+ (2)()2,2P 或()2,2-(3)存在符合条件的M 点，且坐标为：110(3M ，7)9-，()26,15M ，38(3M ，5)9-4．(1)213222y x x =--； (2)2m =；(3)存在，m 的值为0或3；(4)存在，M 点的坐标为()7,0或()1,0M 或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭．5．(1)215322y x x =-++；(2)存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，CPG △与FBE 的相似比为2或25；(3)P 点横坐标55．6．(1)213222y x x =--+(2)点D 不在抛物线的对称轴上， (3)(2,3)-7．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -8．(1)13(2)2E ， (2)①11(4)2D ，或23(4)6D ，；①47-9．(1)2=23y x x --(2)()0,0，()6,0，8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,03⎛⎫⎪⎝⎭(3)57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或者315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)()2324y x =--，()2,0D (2)334y x =-或1534y x =- (3)证明见解析，定点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭，11．(1)A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），对称轴为直线x ＝1(2)当t ＝32时，BF PE 最小，最小值为47，此时P （32，﹣154）．(3)存在，点P 的坐标为（2，﹣3）12．(1)211322y x x =-++(2)22150322y x x x =-+≤<（），PM AP PQ BQ -的值为0 (3)m 、n 之间的数量关系是2(1)m n m +=≠13．(1)（32，258）答案第3页，共3页(3)（2，0）或（-5，0）或13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)(3,4)-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭16．(1)21234y x x =-+(2)(4,3(3)存在P 1)或(4,1)，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，17．(1)12a =-，4c = (2)23y x =- (3)存在这样的点F ，点F 的坐标为(2,0)或18．(1)2122y x =- (2)()0,1D -或190,8D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)24QS PS t -=-+。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案附答案
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案1．如图，已知抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，顶点为C ，点P 为线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过P 作PQ BC ∥交抛物线于点Q ，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)求CPD △面积的最大值；(3)连接CQ ，当CQ PQ ⊥时，求点Q 的坐标；(4)点P 在运动过程中，是否存在以A 、O 、D 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由2．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，抛物线()2430y mx mx m =++>交x 轴于E 、F 两点，交y 轴于A 点，直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交y 轴于A 点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为()3t t <-，QAE 的面积为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E 两点之间的抛物线上一点，15S =，QMN AEM ∠=∠，且MN EM =，求点N 的坐标．4．如图，抛物线22y ax ax c =++经过()()1003B C ，，，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，连接AC ，点E 在直线AC 上方的抛物线上，连接EA EC ，，当EAC 面积最大时，求点E 坐标；(3)如图2，连接AC BC 、，在抛物线上是否存在点M ，使ACM BCO ∠=∠，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线21164y ax x =+-与x 轴交于(,0),(8,0)A t B 两点，与y 轴交于点C ，直线6y kx =-经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若APC △是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为Q ，求12CQ PQ +的最大值．6．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 、B （A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，点P 是抛物线上位于点B 、C 之间的动点．(1)求ABC ∠的度数；(2)若PBC ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)已知点(),P p n ，若点(),Q q n 在抛物线上，且p q >；①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q ；②若2PQ t =，求232022p tq t +-+的值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A ，()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)PE +的最大值时，求此时点P PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．(1)求出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是线段CB 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 的坐标．10．二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B -，，交y 轴于点()03C -，．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E 为抛物线的顶点，点()0T t ，为y 轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B ，E 旋转后的对应点分别记为B E ''，，当四边形BEB E ''的面积为12时，求t 的值；(3)如图2，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ．点M 是直线CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ．是否存在点M 使PBC 为直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B ，，交y 轴于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D 的坐标；(2)若点E 为该抛物线上的点，点F 为直线AD 上的点，若EF x ∥轴，且1EF =（点E 在点F 左侧），求点E 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使得APD △为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P 坐标．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)如图1，求b 、c 的值；(2)如图2，点P 是第一象限抛物线2y x bx c =-++上一点，直线AP 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，ADC △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，E 是直线BC 上一点，45EPD ∠=︒，ADC △的面积S 为54，求E 点坐标．13．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式；(2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A 、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D 的坐标；(2)若四边形BCEF 为矩形，3CE =．点M 以每秒1个单位的速度从点C 沿CE 向点E 运动，同时点N 以每秒2个单位的速度从点E 沿EF 向点F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M 、E 、N 为顶点的三角形与BOC 相似时，求运动时间t 的值；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点P ，点G 是点P 关于点D 的对称点，点Q 是x 轴下方抛物线上的动点．若过点Q 的直线l ：94y kx m k ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA 、GB 相交于点H 、K ，求证：GH GK +为定值．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx =+经过(40)(13)A B ，，，两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若OAB 面积是PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记CPB △，BCO 的面积分别为12S S ，，判断12S S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线212y x bx c =-++（b 、c 是常数）的顶点B 坐标为()1,2-，抛物线的对称轴为直线l ，点A 为抛物线与x 轴的右交点，作直线AB ．点P 是抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，过点P 作PN l ⊥于点N ，以PQ PN 、为边作矩形PQMN ．(1)b =___________，c =___________．(2)当点Q 在线段AB 上（点Q 不与A 、B 重合）时，求PQ 的长度d 与m 的函数关系式，并直接写出d 的最大值．(3)当抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标．(4)矩形PQMN 的任意两个顶点到直线AB 的距离相等时，直接写出m 的值．17．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点()0,2C ．(2)点P 是第一象限内的抛物线上一点．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点Q ，求PQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2．将地物线沿射线BC()2111110y a x b x c a =++≠，新抛物线与原抛物线交于点G ，点M 是x 轴上一点，点N 是新抛物线上一点，若以点C 、G 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．18．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =+-(2)2(3)11524Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4)1,05⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()0,0或1,05⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为8，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-3．(1)243y x x =++(2)23922S t t =+(3)()2N -4．(1)223y x x =--+，()14D -，(2)E 的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)存在，()45M --，或5724⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2111644y x x =-+-；364y x =-(2)710,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)169166．(1)45︒(2)(1,4)P(3)①见解析；②20237．(1)2712y x x =-++PE +的最大值为1，此时点P 的坐标为961,416⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为215,424N ⎛+ ⎝⎭或215,424⎛- ⎝⎭或13,544N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或13,544N ⎛- ⎝⎭或299,204N ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--9．(1)2=23y x x --(2)满足PCB CBD ∠=∠，点P 的坐标为(4,5)或(2,2)-(3)M 点的坐标为(1,2)-或(2,5)--或924,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)243y x x =---(2)3t =-(3)存在，532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(23)--，或(53)--，11．(1)223y x x =-++，()23D ，(2)11024E ++⎝⎭，或1124E --+⎝⎭，(3)存在点P ，使得APD △为直角三角形，此时点P 的坐标为312⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或312⎛ ⎝⎭，或()12-，或()14，12．(1)2b =，3c =(2)12S t =(3)3513,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2315344y x x =-+，527,216D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)当911t =或65t =时(3)见解析15．(1)24y x x=-+(2)(24)P ，或(3,3)(3)见解析16．(1)1-，32(2)21122d m =-+()11m -<<，d 最大值为12(3)()3,0-或1--(4)3-或0或317．(1)211242y x x =-++；(2)5PQ +最大值为94，此时点5(3,4P ；(3)(1-，14-或(1-，1)4-或(1-+1)4或(1--1)4．18．(1)2246y x x =-++(2)129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)
(1)点A的坐标为；
(2)若射线 平分 ，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点 是线段 （含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线 和抛物线于E、F两点，当m为何值时， 为直角三角形？
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
14．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．
(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；
(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知抛物线的对称轴是直线 ， ． 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求直线 的解析式．
6．已知抛物线 经过 、 两点，O为坐标原点，抛物线交正方形 的边 于点E，点M为射线 上一动点，连接 ，交 于点F．
(1)求b和c的值及点C的坐标；
(2)求证∶
(3)是否存在点M，使 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
(1)求 ， 的长（结果均用含 的代数式表示）．
2023年中考数学专题复习：二次函数综合题训练(含答案)
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．抛物线 经过点 、 ．
(1)求抛物线解析式及顶点 坐标；
(2) 为抛物线第一象限内一点，使得 面积最大，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
3．(1)
(2)
(3)存在，
(4) 或
4．(1)
(2)①最大值为8，m＝2；②存在， 或
5．(1)C（0，6）；抛物线的解析式为y＝−x2＋5x＋6
(2)P（3，12）
(3)点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）
6．(1)y＝ x2﹣3x﹣8，点B坐标（8，0），点E坐标（3，﹣4）
(2)存在，F
(3)﹣ 或﹣
(3)将抛物线沿射线AC方向平移 个单位长度，若点F为新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点M，使以点B、C、F、M为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于点A( ，0)、B(4，0)，与y轴交于点C．
(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．
3．如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．
(3)在（2）的条件下，有一条长度为 的线段 落在 上（ 与点 重合， 与点 重合），将线段 沿 轴正方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为 秒，当四边形 周长最小时，求 的值．
2023年中考数学专题训练——二次函数与实际问题的综合
2023年中考数学专题训练——二次函数与实际问题的综合一、综合题1．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？2．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=） （3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？ （取265=）3．如图是某公园一喷水池(示意图)，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y ＝－(x －1)2＋2.25．（1）求喷出的水流离地面的最大高度； （2）求喷嘴离地面的高度；（3）若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？4．某公园对一块长 20m ，宽10m 的场地进行设计，方案如图所示．阴影区域为绿化区(四块全等的矩形)，空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m ，不大于8m ．设出口长均为x(m)，活动区面积为y(m)．（1）求y 关于x 的函数表达式：（2）当x 取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m 2，绿化区布置成本为8元/m 2，布置场地的预算不超过1850元，当x 为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x 值及此时的布置成本．5．在 “母亲节” 期间， 某校部分团员参加社会公益活动， 准备购进一批进价为6元/个的许愿瓶进行销售，并将所得的利润捐给慈善机构. 根据市场调查， 这种许愿瓶每日的销售量y (个)与销售单价x (元/个)之间满足关系式： y 20x 400=-+.（1）求每日销售这种许愿瓶所得的利润w (元)与销售单价x 之间的函数关系式.（2）求每日销售这种许愿瓶所得的利润w(元)的最大值及相应的销售单价.（3）“国庆节” 期间，该校公益团队想继续销售许愿瓶的慈善活动，却发现批发商调整了许愿瓶的进货价格，进价变为了m元/个. 但是许愿瓶每日的销量与销售单价的关系不变. 为了不亏本，至少需按照12元/个销售，而物价部门规定销售单价不得超过15元/个. 在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随x的增大而增大，求m的最小值.6．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出30件，每件盈利30元；乙店一天可售出40件，每件盈利20元．经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天分别可多售出2，4件．设甲店每件衬衫降价m元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价n元时，一天可盈利y2元．（1）当m＝3时，求y1的值．（2）求y2关于n的函数表达式．（3）若总公司规定：m﹣n＝6（m，n为正整数），请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？7．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．8．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．（1）求y关于x的一次函数解析式（2）当销售价格定为多少元时，每月获得利润3630元？9．十三中为了创建城市文明单位，准备在操场的墙（线段MN所示，不考虑墙体长度）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米（正好用完）.（1）长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？（2）若9≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围.10．网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量()y kg与销售价x（元/kg）满足关系式：y100x5000.=-+经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于30元/kg.设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元）．（1）请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式；（2）当W46400=元时，此时的销售单价定为多少元？11．某商店销售一种书包，进价为每个20元，物价部门规定每个书包的销售利润不得高于进价的60%，销售过程中发现，每天的销售量y（个）与每个书包的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/个）302523销售量y（个）80100108（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每个书包的售价定为多少元时，该商店销售这种书包每天获得的利润最大？最大利润是多少元？12．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8x 15≤≤，且x 为整数).当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？13．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个． （1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？14．一名高尔夫球手某次击出的球的高度 ()h m 和经过的水平距离 ()d m 满足下面的关系式：20.01h d d =- ．（1）当球经过的水平距离为 50m 时，球的高度是多少？ （2）当球第一次落到地面时，经过的水平距离是多少？（3）设当球经过的水平距离分别为 20m 和 80m 时，球的高度分别为 1h 和 2h ，比较 1h 和 2h 的大小．15．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系，且当15x =时，50y =；当17x =时，30y =． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？16．某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量 y （件）与销售时间 x（天）之间的关系式是 203062403040x x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩，，，销售单价 p （元/件）与销售时间 x （天）之间的函数关系如图所示.（1）第15天的日销售量为 件；（2）当 030x <≤ 时，求日销售额的最大值；（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？17．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数． （1）求y 关于x 的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．18．某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克.设苹果售价为x 元/千克（10x ≥，且x 为整数）. （1）若某日苹果的销售量为28千克，求该日苹果的销售单价；（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W 元，求W 的最大值和最小值；（3）若政府每日给该经销商补贴10m 元后（m 为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请求出m 的值.（日收入=销售额+政府补贴）19．某公司把一种原料加工成产品进行销售，已知某月共加工原料x 吨，恰好能生产相同吨数的产品并能完全销售．每吨原料的加工成本Q （万元）与x （吨）有如下关系：30bQ ax x=+-（其中a 、b 均为常数），且在整个过程中，经过统计得到如下数据：x （吨）30 60Q （万元）70 35（1）求a 、b 的值；（2）若这个月的加工总成本为2052万元，求x 的值；（3）若生产的产品每吨售价60万元，求该月可获得的最大利润是多少万元？20．在乡村振兴活动中，某电商正在热销一种当地特色商品，其成本为50元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为80元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用400元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系（其中50≤x≤90，且x 为整数）．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？答案解析部分1．【答案】（1）解：()500105550-⨯-500105=-⨯ 50050=- 450= (千克)．答：每月销售水果450千克；（2）解：设每千克水果售价为x 元，总利润为y 元，由题意可得()()()240500105010709000y x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦， ∵-100<，∴当70x =时，y 有最大值为9000，答：每千克水果售价为70元时，利润最大为9000元.【解析】【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；（2）设每千克水果售价为x 元，总利润为y 元，根据题意列出函数解析式()()()240500105010709000y x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦，再利用二次函数的性质求解即可。
最新九年级中考数学专题： 二次函数综合题(相似三角形问题)含答案
2023年九年级中考数学专题： 二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图1，抛物线()221y x m m =--+（m 为常数）与x 轴交于A B 、两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）下列说法：①抛物线开口向上，①点C 在y 轴正半轴上；①12m >；①抛物线顶点在直线21y x =-+上，其中正确的是_______；（2）如图2，若直线21y x =-+与该抛物线交于M N 、两点（点M 在点N 下方），试说明：线段MN 的长是一个定值，并求出这个值；（3）在（2）的条件下，设直线21y x =-+与y 轴交于点D ，连接BM BN BD 、、，当:1:2DN MN =时，求此时m 的值，判断MBN △与MDB △是否相似，并说明理由．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()260y ax ax c a =-+>与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为C ，直线AC 交y 轴于点D ，连接BD ，且ABD △与ABC 的面积之比为1：2．（1）顶点C 的横坐标为__________； （2）求点B 的坐标；（3）连接CO ，将BCO 绕点C 按逆时针方向旋转一定的角度后，点B 与点A 重合，此时点O 恰好也在y 轴上，求抛物线的表达式．3．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交直线BC 于点M ．当2DM ME =时，求点D 的坐标； （3）如图2，设AB 的中点为点N ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接CD 、CN ，使得以C 、D 、F 三点为顶点的三角形与CNO 相似，请直接写出点D 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标； （3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线L 与x 轴交于,A B 两点，且经过点(0,2)C -，抛物线的顶点D 的坐标为325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求抛物线L 的函数表达式；（2）如图1，点E 为第四象限抛物线L 上一动点，过点E 作EG BC ⊥于点G ，求EG 的最大值，及此时点E 的坐标；（3）如图2，连接,AC BC ，过点O 作直线//l BC ，点,P Q 分别为直线l 和抛物线L 上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点,P Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）过点A 作AP ①CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积；（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ①x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与①PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．8．如图，在同一直角坐标系中，抛物线1L ：28y ax bx =++与x 轴交于()8,0A -和点C ，且经过点()2,12B -，若抛物线1L 与抛物线2L 关于y 轴对称，点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ．（1）求抛物线2L 的表达式；（2）现将抛物线2L 向下平移后得到抛物线3L ，抛物线3L 的顶点为M ，抛物线3L 的对称轴与x 轴交于点N ，试问：在x 轴的下方是否存在一点M ，使MNA '与ACB '△相似？若存在，请求出抛物线的3L 表达式；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，当:PD OD 的值最大时，求点P 的坐标；（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使90CMN ∠=︒，且CMN △与BOC 相似，若存在，请直接写出点M 的坐标．10．如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于C 点，设抛物线的顶点为D ．过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ．P 为线段DE 上一动点，(),0F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥．（1）求抛物线的解析式：（2）①当点P 与点D 重合时，求m 的值；①在①的条件下，将COF 绕原点按逆时针方向旋转90︒并平移，得到111C O F △，点C ，O ，F 的对应点分别是点1C ，1O ，1F ，若COF 的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点1F 的坐标； （3）当点P 在线段DE 上运动时，求m 的变化范围．11．综合与实践如图1，抛物线y ＝﹣83x 2﹣94x +6与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线AC 的表达式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点F ，使得以点A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以54个单位长度/秒的速度向终点C 运动，运动时间为t 秒，当①OPQ 的平分线恰好经过OC 的中点时，求t 的值．12．抛物线23y x bx =-++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12ACPACDSS =，求点P 的坐标；（3）在坐标轴上找一点M ，使以点B ，C ，M 为顶点的三角形与ACD △相似，直接写出点M 的坐标．13．如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，tanB 4=，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结,AC DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF 和ABC 相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(2)3，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点A 和点()10B ,，交y 轴于点()0,3C ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PG y ⊥轴，交抛物线于点G ，过点G 作GF x ⊥轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作直线MN x ⊥轴交抛物线于点N ，是否存在点M ，使得AMN 与OBC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,2C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线//l BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标xoy 系中，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （﹣4，0）、B（2，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿直线AC 平移抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c ，使得A 、C 两点的对应点E 、F 始终在直线AC上．①设在平移过程中抛物线与y 轴交于点M ，求点M 纵坐标的最大值；①试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E ，使得以A 、E 、B 为顶点的三角形与①ABF 相似．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （4，0），E （1，3），与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作PQ ∥AC ，交直线BC 于点Q ，作PM ∥y 轴交BC 于M ．①求证：△PQM ∽△COA ； ②求线段PQ 的长度的最大值．19．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）(m,0)E 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． ①点E 在线段OA 上运动，若BPD ∆直角三角形，求点E 的坐标；①点E 在x 轴的正半轴上运动，若45PBD CBO ∠+∠=︒．请直接写出m 的值．20．如图，点A ，B 都在x 轴上，过点A 作x 轴的垂线交抛物线24y x x =-+于点C ，过点B 作x 轴的垂线交该抛物线于点D ，点C ，D 都在第一象限，点D 在点C 的右侧，DE AC ⊥于点E ，连结CD ，BE ，//CD EB ．（1）若2OA =，求AB 的长．（2）若点A 是线段OB 的中点，求点E 的坐标．（3）根据（2）的条件，连结OD ，动点P 在线段OB 上，作PQ OD ⊥交OD 于点Q ，当PDQ 与CDE △相似时，求OQOD的值．答案1．（1）①①①；（3）m =3，相似；m =1，不相似2．（1）3；（2）（5，0）；（3）2y 3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）()2,3D ；（3）57,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭或315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（1）214y x x =-或21(2)14y x =--；（2）点C 的坐标为(6,3)或51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）164t t --+；12C x ≥ 5．（1）（2）①9；①(4,6)D 或25(3,)4D ．6．（1）213222y x x =--；（2）max ()=EG E 的坐标为(2,3)-；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭． 7．（1）A （-1，0），B （1，0），C （0，-1）；（2）四边形ACBP 的面积为4；（3）M 点的坐标为（-2，3）或（43，79）或（4，15）． 8．（1）抛物线2L 的解析式为21382y x x =-++．（2）函数3L 的解析式为：2121322y x x =-+-或2126323y x x =-+-． 9．（1）2 246y x x =-++；（2）点P 的坐标为315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，点M 的坐标为939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭． 10．（1）2134y x x =--；（2）①4；①1(2，9)16或13(6-，49)144；（3）748m ≤≤ 11．（1）直线AC 的表达式为364y x =+；（2）点E 1的坐标为20(3,)3--；点E 2的坐标为(3,10)-；点E 3的坐标为(3,3-+；点E 4的坐标为(3,3--；（3）t 的值为5．12．（1）223y x x =--+；(1,4)D -；（2）⎝⎭P 或⎝⎭；（3）点M 的坐标为(0,0)或(9,0)-，或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． 13．（1）16(1,)3-；（2）(2,4)-；（3）242()433y x =-++或241()4312y x =--+ 14．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，点D 的坐标分别为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(12)，； （3）当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠；当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠．15．（1）223y x x =--+，()1,4-；（2）()2,3P -；（3）存在，()2,0-或2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭16．（1）213222y x x =--；（2）45；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭17．（1）2142y x x =--+；（2）①6；①存在，E (62--或(62--18．（1）二次函数表达式为：213222y x x =-++ ；（2）△ABC 为直角三角形；（3）； 19．（1）234y x x =-++；（2）①(2,0)或(3,0)；①7m =或134．20．（1；（2）1296,749E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）2或4932。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)(含简单答案)
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当 的面积等于 的面积的 时，求m的值．
(3)当 时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点 的坐标为 ， ，
5．(1) ，
(2)2
(3) 或 或
6．(1)
(2)
(3)矩形的周长
7．(1) ， ；
(2)存在， 或 ；
(3) 或 或 或 ．
8．(1) ，
(2)当 时，
(3)存在， 或 或
9．(1)
(2) 的面积最大值为4
(3)四边形 能构成菱形，点 的坐标为 或
10．(1)
(2)
(3)存在， 或 或
15．如图所示，在矩形 中，把点 沿 对折，使点 落在 上的 点．已知 ．
(1)求 点的坐标；
(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过 ，且直线 是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点 是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点 是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较 与 的大小(不必证明)，并写出此时点 的横坐标 的取值范围．
11．(1) ；
(2) ；
(3) 、 、 ．
12．(1)
(2)
(3)M的坐标为 或 或 或
13．(1)
(2)13.5
(3)存在， ， 或
14．(1)
(2)点 的坐标为 或 或 或
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2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合
一、单选题
1．已知抛物线()2
330y x x c x =++-≤≤与直线2y x =-有且只有一个交点，若c 为整数，
则c 的值有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．方程231x x +=的根可视为函数3y x
的图象与函数1
y x
=的图象交点的横坐标，
那么用此方法可推断出方程321x x +=-的实数根x 所在的范围是（ ） A ．1
12
x -<<-
B ．1123
x -<<-
C ．11
34
x -<<-
D ．1
04
x -<<
3．如图，已知二次函数()()5
144
y x x =-
+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，Р为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则
AP
PK
的最小值为（ ）
A ．94
B ．2
C ．74
D ．54
4．如图．抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx +c ＞n 的解集为（ ）
A ．x ＞﹣1
B ．x ＜3
C ．x ＜﹣3或x ＞1
D ．﹣1＜x ＜3
5．如图，抛物线y ＝12-x 2+7x ﹣45
2与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及共上方的部
分记作C 1将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝1
2
-x +m 与C 1，
C 2共3个不同的交点，则m 的取值范是（ ）
A ．
52928
m << B ．
129
28
m << C ．
545
28m << D ．145
28
m <<
6．在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角
度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数()2
13y ax a =≤≤的图
象在直线1y =下方的部分沿直线1y =向上：翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（ ）
A ．3060α︒≤≤︒
B ．120150α︒≤≤︒
C ．90120α︒≤≤︒
D ．6090α︒≤≤︒
7．二次函数y =2x 2﹣2x +m （0＜m ＜ 12
），如果当x =a 时，y ＜0，那么当x =a ﹣1时，
函数值y 的取值范围为（ ） A ．y ＜0
B ．0＜y ＜m
C ．m ＜y ＜m +4
D ．y ＞m
8．如图，抛物线213
22
y x x =-++的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB
为直径画半圆交y 负半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E 在①M 的内部；
①CD 的长为3
2
①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°；
①在P 的运动过程中，若AP =PE =
①N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是π．
则正确的选项为（ ）
A ．①①①
B ．①①①
C ．①①①
D ．①①①
二、填空题
9．如图，已知抛物线24y x x c =-+的顶点为D ，与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线AC 交抛物线于点A ，过点A 作y 轴的平行线AB 交射线OD 于点B ，若OA OB =，则c 的值为_____________．
10．已知抛物线()2
123y x m x m =-+++以及平面直角坐标系中的点()1,1E --、
()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，则m 的取值范围是________．
11．在平面直角坐标系中，抛物线21
5y x bx c =-+（0b >，b 、c 为常数）的顶点为A ，
与y 轴交于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ．若ABC 是等腰直角三角形，则BC 的长为________．
12．如图，2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（A 在左边）与y 轴交于C 点，P 是线段AC 上的一点，连结BP 交y 轴于点Q ，连结OP ，当OAP △和PQC △的面积之和与OBQ △的面积相等时，点P 的坐标为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21
4y x mx =-+与x 轴正半轴交于点A ，点B
是y 轴负半轴上一点，点A 关于点B 的对称点C 恰好落在抛物线上，过点C 作//CD x 轴，交抛物线于点D ，连结OC 、AD ．若点C 的横坐标为4-，则四边形OCDA 的面积为___________．
14．若243P m m m ++（，）是一个动点（m 为实数），点Q 是直线4y x =-上的另一个动点，则PQ 长度的最小值为_____．
15．已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点(6,)D y 在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE 十DE 的值最小时，
ACE △的面积为是____
16．已知：如图，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），我们规定：当AMB 为直角三角形时，就称AMB 为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线26y ax bx =++的“优美三角形”的斜边长为4，求a 的值______．
三、解答题
17．抛物线23y ax bx =++顶点为点(1,4)D ，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求a 和b 的值；
(2)是否存在点P ，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
18．如图，已知直线4
43
y x =
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MB MC +的值最小时，点M 的坐标是___________；
(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知抛物线233
384
y x x =--与x 轴的交点为点A 、D (点A 在点D 的右侧)，
与y 轴的交点为点C ．
(1)直接写出A 、D 、C 三点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD MC +的值最小，并求出点M 的坐标； (3)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、
B 、
C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知抛物线223y ax ax =++中，当=1x -时，4y =．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点E 是抛物线上且位于直线AB 上方的一个动点，不与点A ，B 重合，求ABE 的面积最大时，点E 的坐标．
(3)若1t x ≤≤时，y 的取值范围是04y ≤≤，请直接写出t 的取值范围．
参考答案：
1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．83
10．2m <-或m>2或1m = 11．6 12．2,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭
13．64
1415．6
16．12
±
17．(1)1a =-，2b = (2)存在，(1,2)或(1,6)-
18．(1)248
433
y x x =--+
(2)8
(1,)3
M -
(3)存在，P 点的坐标为(1,0)-或(-或(1,-或13
(1,)8
-
19．(1)()4,0A ，()2,0D -，()0,3C -
(2)连接AC 交对称轴于点M ，点M 即为所求，91,4M ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
(3)()2,0-或()6,6.
20．(1)223y x x =--+
(2)315()24-，
(3)31t -≤≤-。