差分方程的通解和特解
2021年考研数学高数考点解析
2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。
依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。
接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。
一、函数、极限、连续高等数学在考研中，也被称为微积分学。
微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。
在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。
考纲内容：1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;10、函数连续的概念，函数间断点的类型;11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。
二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。
在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。
差分方程简介
k (1) Cn y x nk k 0 n k
,
!n ! ) k n ( !k
k n
C中 其 且规定0 yx yx f ( x)
由定义知， y f ( x)的n阶差分 是f ( x n), f ( x n 1),...f ( x 1), f ( x) 的线形组合，
(3)（ayx bzx） ayx bz x
(4)（yx zx） yx1zx zx yx yx zx zx1yx
yx z x y x y x z x (5)( ) (其中z x 0) zx z x z x1
二、差分方程
定义2 含有自变量，未知函数及未知函数差 分的方程，称为差分方程，其一般形式为
yx1 yx yx
yxn yx C yx C y ... C y yx
n
n1 n1 n x
C yx
k 0 k n k
n
由定义容易证明，差分具有以下性质
(1)(c) o(c为常数)
(2)（cyx） cyx (c为常数)
y x5 y x3 4 y x 2 y x e x 是五阶差分方程， 因为（x 5） x 5;
方程3 y x yx 1 0可转化为yx 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0， 因而是2阶差分方程
定义4 如果某个函数代入差分方程后能使差分方程 成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解。
反之函数y f ( x)的各个函数值也可以 用y x f ( x)和它的各阶差分式表示 。即
高等数学 第十二章 差分方程
第十二章 差分方程
教学要求 1．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
2．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
3．会应用差分方程求解一些简单的应用问题。
教学重点
一阶常系数线性差分方程的解法，差分方程在实际问题中的简单应用。
教学难点
差分与差分方程的概念，一阶常系数线性差分方程的求解。
教学内容
第一节 差分方程的基本概念
一、差分方程的定义
二、差分方程的的基本概念
第二节 一阶常系数线性差分方程
一、齐次方程01=++t t ay y 的解法
二、非齐次方程)(1t f ay y t t =++的解法。
差分方程的解法-推荐下载
法计算。常用的方法有：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
差分方程
差分方程对连续型变量而言，我们常常导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致另一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x xz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
经济数学-差分方程的概念与解的结构
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
事实上，作变量代换 t x 1，即可写成 yt 2 3 yt 1 3 yt 1 0.
例 7 下列等式是差分方程的有(
).
loga ( x 1) loga x 1 loga (1 ); x
( 2)Δ y x sina( x 1) sinax 1 a 2 cosa( x ) sin . 2 2
例3求y x! 的一阶差分，二阶差分 .
解
y x y x 1 y x
方 程 中 未 知 数 下 标 的大 最值 与 最 小 值 的 差 称为差分方程的阶 .
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
则左边 C 2 x 1 C 2 x 2 右边，
( x 1)! x!
x x!
y x y x x x!
2
x 1 x 1! x x!
x x 1 x!
2
例4 设y x( n ) x( x 1)(x 2)( x n 1), x
，Cn 是任意常数） （ C1 , C2，
n I 内的 注： 设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 n 个不全为零的常数， 个函数．如果存在 使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0
那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.
高等数学 第十二章 差分方程
于是
y
x
3 x 2
6x
9
原方程通解为 yx C 2x 3 x2 6 x 9.
例3
解
求差分方程 y x1 5
对应齐次方程通解
yx
Yx
3, y0
C 5x
7 的特解．
3
1不是特征方程的根， 设 yx A，
代入方程, 得 A 3，
4
方 程 的 通 解 为y x
3 4
C
5x ,
将y0
7 3
代 入 ， 则C
7 3
3 4
37 12
故 方 程 的 特 解yx
37 12
5x
3 4
.
例4求差分方程 yx1 yx x3 3x2 2x的通解.
解 1是特征方程的根，
这类方程可用另一种较简单的方式求解.
方程左边为y
，右边为
x
x3 3x2 2x x x2 3x 2
xx 1x 2 x3
的解法 的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一、齐次方程
的解法
1.迭 代 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
信号分析第五章第三节 常系数线性差分方程的求解法
X
第 5 页
例5-3-1 已知y(k ) + 3 y(k − 1) + 2 y(k − 2) = x(k)， 且y(0) = 0, y(1) = 2, x(k) = 2k ε (k), 求y(k)。
将差分方程变化为： 将差分方程变化为： y(k ) = −3y(k − 1) − 2 y(k − 2) + x(k) k = 2 y(2) = −3y(1) − 2 y(0) + x(2) = −2
提问:以上求解方法用 有问题吗 书上方法) 提问 以上求解方法用0-有问题吗 书上方法 以上求解方法用 有问题吗?(书上方法
X
第 1系数要用系统的 +值即 确定自由响应的待定系数要用系统的0 值即y(0),y(1) 确定自由响应的待定系数要用系统的 由差分方程从y(-1),y(-2)递推出 递推出y(0),y(1). 由差分方程从 递推出
k
y a 说明序列 (k)是一个公比为 1的几何级数可表示为 式中， 为常数， 定 A 式中， 为常数，由初始条件确
X
第 8 页
根据特征根(或解)的三种情况讨论
y(k) + a1 y(k − 1) + LL + an−1 y(k − n + 1) + an y(k − n) = 0
特征方程: 1 + a1r + a2 r + L + an r
2.零状态响应：系统初始状态为0，即
第 17 页
例5-3-6
y(k ) − 4 y(k − 1) + 3 y(k − 2) = 2k 已知： 已知： (其中k ≥ 0) y(− 1) = −1, y(−2) = 1 态响应法求解 利用零输入响应和零状
(整理)差分方程
第三章 差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
差分方程求通解例题
差分方程求通解例题
【原创版】
目录
1.差分方程的基本概念
2.求解差分方程的步骤
3.差分方程求通解的例题
4.例题的解答过程
正文
一、差分方程的基本概念
差分方程是一种特殊的微分方程，它的解包含了微分方程的解和差分运算。
在数学和物理学等领域，差分方程有着广泛的应用。
二、求解差分方程的步骤
1.确定差分方程的类型
2.建立相应的数学模型
3.进行差分运算
4.求解得到通解
三、差分方程求通解的例题
例题：求解如下差分方程的通解：y"(t) - 3y(t) = 2t - 1
四、例题的解答过程
1.首先，我们需要确定这是一个一阶线性常系数差分方程。
2.建立数学模型：设 y(t) = e^(-kt) * (A + B * t)
3.进行差分运算：y"(t) = -ke^(-kt) * (A + B * t) + e^(-kt) * (B - k * A)
4.将 y"(t) 和 y(t) 带入原方程，得到：-ke^(-kt) * (A + B * t) + e^(-kt) * (B - k * A) - 3e^(-kt) * (A + B * t) = 2t - 1
5.解得：A = 1, B = 2, k = 3
6.所以，原方程的通解为：y(t) = e^(-3t) * (1 + 2t)
通过以上步骤，我们可以求解差分方程的通解。
差分方程基本知识
1)i
yt ni
.
i0
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当 a,b,C 是常数， yt , zt 是函数时， 有以下结论成立：
1 (C) 0;
2 (Cyt ) C( yt );
3 (ayt bzt ) a( yt ) b(zt );
4 ( yt zt ) zt1yt ytzt yt1zt ztyt ;
是n阶常系数齐次线性差分方程
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
(2)
的k个特解，则线性组合
y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个 线性无关的特解．若
a3 yt3 c 1 a a2 at y0 c 1 a a2 at1 .
yt
y0
y0a
t
ct , 1 at
c 1a
,
a a
1, 1.
2)一般法求解：设差分方程 yt1 ayt c
(5)
具有形如 yt* kt s (a 1时取 s 0 ; a 1时取 s 1. )
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方 程就称为差分方程.
即 k(t 1)b akt c ,
解得 k c . a
于是
yt*
c a
tbt
ctbt1 .
差分与差分方程的概念
y C 2e 2 x 2(C1 C 2 x )e 2 x 将 y(0) 2, y(0) 4 代入以上两式，得：
C 1 2 2 C1 C 2 0 4 C 2 2C1 2 x 代入通解得所求特解： y 2e
0
2e
2 x
x2
22/28
1、标准形式 ⑴ n阶常系数线性齐次差分方程
y x n a1 y x n1 an y x 0
⑵ n阶常系数线性非齐次差分方程
(1) (2)
y x n a1 y x n1 an y x f ( x )
微积分十④
23/28
2 y x 2 8 y x1 5 y x 3 x 1 3 y x1 4 y x x
2
x 1 x 1! x x!
x x 1 x!
2
微积分十④
12/28
例5 设y x ( n ) x( x 1)( x 2)( x n 1),
x
(0)
1，求y x (即 ( x )).
( n)
( n) ( n) y ( x 1 ) x 解： x
2、差分的定义 设 y = f (x) ,记为yx ,其中 x (通常表示时间)的取
值为离散的等间隔整数值: x =0,±1,±2,…,则 yx+1-yx
称为函数 yx 在 x 处的差分, 也称一阶差分, 记为:
y x y x 1 y x
( x ,2,1,0,1,2,)
微积分十④
问题: 若k n，则
y C1 y1 C2 y2 Ck yk 一定是通解吗？
通解的充分条件
通解的充分条件1. 引言在数学中，通解是指一个方程或系统的所有解的集合。
通解可以帮助我们找到方程或系统的所有可能解，从而更好地理解问题的本质和特点。
本文将介绍通解的概念以及通解的充分条件。
2. 通解的定义首先，我们来定义什么是一个通解。
对于一个微分方程或差分方程，如果它包含一些未知函数（或变量）以及它们的导数（或差分），并且满足这个方程中所有出现的函数都是这些未知函数及其导数的线性组合，那么我们称这个函数（或变量）为这个方程（或系统）的一个通解。
简单来说，通解就是满足给定方程或系统所有可能情况下的函数表达式。
3. 一阶线性常微分方程的通解接下来，让我们以一阶线性常微分方程为例来讨论通解。
一阶线性常微分方程可以写成以下形式：dy+P(x)y=Q(x)dx其中P(x)和Q(x)是已知函数。
3.1 齐次线性常微分方程如果Q(x)=0，即上述方程中没有常数项，我们称这个方程为齐次线性常微分方程。
对于齐次线性常微分方程，通解可以表示为：y=Ce−∫P(x)dx其中C是一个任意常数。
3.2 非齐次线性常微分方程如果Q(x)≠0，即上述方程中有常数项，我们称这个方程为非齐次线性常微分方程。
对于非齐次线性常微分方程，通解可以表示为：y=Ce−∫P(x)dx+y p其中C是一个任意常数，而y p是这个方程的一个特解。
4. 线性差分方程的通解除了微分方程，我们也可以讨论线性差分方程的通解。
线性差分方程可以写成以下形式：a n y(n)+a n−1y(n−1)+⋯+a0y(n−k)=b(n)其中a n,a n−1,…,a0和b(n)是已知系数和已知函数。
4.1 齐次线性差分方程如果b(n)=0，即上述方程中没有常数项，我们称这个方程为齐次线性差分方程。
对于齐次线性差分方程，通解可以表示为：y(n)=C1λ1n+C2λ2n+⋯+C kλk n其中C1,C2,…,C k是任意常数，而λ1,λ2,…,λk是这个方程的k个不同特征根。
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差分方程的通解和特解【整理】
yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…
+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程。
1、包含未知函数的差分及自变数的方程。
在求微分方程*的数值解时，常把其中的微分用相应的差分来近似，所导出的方程就是差分方程。
通过解差分方程来求微分方程的近似解，是连续问题离散化*的一个例子。
2、如果差分方程的解中含有个数与此差分方程的阶数相同的任意常数，且这些常数相互独立。
则称这样的解为差分方程的通解。
不含任意常数的解称为特解。
用于确定通解中任意常数的条件称为差分方程的初值条件。
3、有限差分法是一种求解微分方程的数值方法，其面对的对象是微分方程，包括常微分方程和偏微分方程。
此外，有限差分法需要对微分进行近似，近似采取的是离散近似，使用某一点周围点的函数值近似表示该点的微分。
微分方程与代数方程最大的不同就是其包含微分项，这也是求解微分方程最难处理的地方。
有限差分法的基本原理即使用近似方法处理微分方程中的微分项。