圆锥曲线与圆锥的关系
第5.1讲 圆锥曲线
∵OP⊥AB，∴kAB＝－2， 则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)． x 2 y2 ∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为 ＋ ＝1. 5 4 答案 x2 y2 ＋ ＝1, 5 4
椭圆的定义、标准方程及几何性质 (1)定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)标准方程： x2 y2 ①当焦点在 x 轴上时， 2＋ 2＝1(a>b>0)； a b y 2 x2 ②当焦点在 y 轴上时， 2＋ 2＝1(a>b>0)． “分母谁大在谁家” a b (3)几何性质： c ①离心率：e＝ ＝ a b2 1－ 2 ∈(0,1)； a
【例2】►函数y＝ 解析
sin x 的最大值为______，最小值为______． 2＋cos x
sin x－0 y＝ 表示点P(cos x，sin x)与点 cos x－－2
A(－2,0)连线的斜率，而点P在单位圆上，如右图， 3 过A作单位圆的切线AB，AC.易知kAB＝ ，kAC＝ 3 － 3 3 3 分别为斜率的最大值和最小值，那么y的最大值为 ，最小值为－ . 3 3 3 3 3 3 － 3
2
)．
1 C．b ＝ 2
2
D．b2＝2
解析
由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝
0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2 －a ＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝ 5×2 1 ＝ . 2 答案 C
4
a4－5a2 2 11 ＝ a，解得a2＝ ，b2 2 5a2－5 3
b x 2 y2 2 － x.与椭圆方程 2 ＋ 2 ＝1联立，解得x＝± a.因为PF1⊥x轴，F1为左焦 a a b 2 点，所以x＝－ 2 2 a，从而－ a＝－c，即a＝ 2 c.又|F1A|＝a＋c＝ 10 ＋ 2 2
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线).
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。
圆锥曲线与解析几何
圆锥曲线与解析几何
今天，我们将谈论圆锥曲线与解析几何。
圆锥曲线是一类极其重要的曲线，其对应的大类包括参数方程、笛卡尔以及抛物线形式，广泛应用于医学、电子、机械、机械工程、机电技术等领域。
本文旨在介绍圆锥曲线相关内容，并且介绍与圆锥曲线有关的解析几何。
首先，我们先看看圆锥曲线的基本定义。
圆锥曲线是指由参数方程、笛卡尔和抛物线形式所构成的曲线，它们可以用来绘制不同类型的二维或三维圆锥形空间图像。
它们也可以用来求解一系列复杂的数学问题。
常见的圆锥曲线函数有椭圆函数、双曲函数、抛物函数、三次样条线函数等。
接下来，我们来介绍圆锥曲线在解析几何中的应用。
解析几何是一门数学学科，它研究曲线、曲面、空间图形以及变换等几何学问题。
圆锥曲线在解析几何中有着广泛的应用，可以用来描述几何图形的几何结构，如圆环、椭圆环、旋转等。
它们也被用来求解复杂的问题，如三角形的解析、多维问题的解析等。
此外，圆锥曲线在机械工程中也有重要的应用。
由于圆锥曲线具有较高的刚度和可曲性，可以用于机械系统中，以此来满足实际工程中的动力传动系统的需求。
此外，圆锥曲线具有最小损耗、低造价等特点，这使其在机械和机电系统中非常流行。
综上所述，圆锥曲线在解析几何和机械工程中都有重要的应用，它们可以用来绘制各种不同类型的几何图形，也可以用来求解复杂的数学问题，是一类重要且广泛使用的曲线。
高二圆锥与曲线知识点
高二圆锥与曲线知识点在高二数学学习中，圆锥与曲线是一个重要的知识点。
本文将重点介绍圆锥与曲线的定义、性质以及相关定理。
一、圆锥的定义与性质1. 圆锥的定义：圆锥是由一个拥有一个尖顶点和一个封闭曲面的曲线构成的立体图形。
2. 圆锥的分类：根据封闭曲面与底面之间的关系，圆锥可分为直接圆锥和斜面圆锥两种形式。
3. 圆锥的要素：一个完整的圆锥包括底面、侧面、母线、尖点以及中轴线等要素。
4. 圆锥的公式：圆锥的曲面方程可表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0。
二、圆锥的相关定理1. 圆锥的母线关系：圆锥的母线是连接底面各点与尖点的直线段。
所有的母线均交于同一点，即尖点。
2. 圆锥的截线关系：圆锥的截线是将圆锥理解为平面截面所得到的图形。
截线可以是圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
3. 圆锥截线的分类：根据截线与圆锥的位置关系以及截线的形状，圆锥截线可分为切截线、平行截线、重合截线和穿越截线四种情况。
4. 圆锥截线形成的几何图形：不同类型的圆锥截线形成的几何图形具有不同的特征，如圆锥的截线为圆时，该圆的圆心位于圆锥的中轴线上。
三、曲线的定义与性质1. 曲线的定义：曲线是由一系列点按照特定的方式连接形成的连续线条。
2. 曲线的分类：曲线根据其形状特征可以分为圆形、椭圆形、抛物线和双曲线等。
3. 曲线的参数方程：曲线的参数方程是曲线上的点的坐标与某个参数之间的关系式。
4. 曲线的极坐标方程：曲线的极坐标方程是曲线上的点的极坐标与极坐标参数之间的关系式。
四、圆锥与曲线的应用1. 圆锥与几何体的体积关系：圆锥的体积公式为V = (1/3)πr^2h，其中r为底面半径，h为高。
2. 曲线与物体运动的关系：物体的运动轨迹可以通过曲线来描述，而曲线的方程可以帮助我们研究物体的运动规律。
3. 圆锥曲线在工程领域的应用：圆锥曲线在建筑、桥梁等工程设计中有广泛应用，可以帮助提高结构的稳定性和美观性。
圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
圆锥曲线总复习
b 2 tan
2
（用余弦定理与 PF1 PF 2 2a 可得）. 若是双曲线，则面积为 b cot
2
.
二、几种常见题型及解法 ①定义及标准方程问题（先定型再定式后定量） ②合思想 2.参数方程法 ③最值问题（距离或角的最值） 3.配方法（利用PF PF 2a） 1 2
a
②一般方程： Ax2 By 2 1( A 0, B 0) . ③椭圆的标准参数方程：
x2 a
2
y2 b
2
0
2
x a cos 1 的参数方程为 （一象限 应是属于 y b sin
）.
3.性质： ①顶点： ( a,0)(0,b) 或 (0, a)(b,0) . ②轴：对称轴：x 轴， y 轴；长轴长 2a ，短轴长 2b . a b c ③焦点： (c,0)(c,0) 或 (0,c)(0, c) .
c ，当 c 0, a b a
时）. 三、考试内容 1．曲线和方程。由已知条件列出曲线的方程。充要条件。曲线的交点。 2．椭圆及其标准方程。焦点、焦距。椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、 短轴、离心率、准线。椭圆的画法。 3．双曲线及其标准方程。焦点、焦距。双曲线的几何性质：范围、对称性、实轴、虚 轴、渐近线、离心率、准线。双曲线的画法。等轴双曲线。 4．抛物线及其标准方程。焦点、准线。抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离 心率。抛物线的画法。 5．坐标轴的平移。利用坐标轴的平移化简圆锥曲线方程。 四、考试要求 1．掌握直角坐标系中的曲线方程的关系和轨迹的概念。能够根据所给条件，选择适当 的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线(理解充要关系)。 2．掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质。会根据所给的条件画圆锥曲线。了解圆锥 曲线的一些实际应用。对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线的交点坐标的 问题（两圆的交点除外） 。 3．理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法。 4．了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。 五、常见的思想方法 1．求轨迹方程的基本方法有两大类，即直接法和间接法。其中直接法包括：直译法， 定义法，待定系数法，公式法等。间接法包括：转移法，参数法(k 参数、t 参数，θ 参 数及多个参数) 2．本节解题时用到的主要数学思想方法有： （1）函数方程思想。求平面曲线的轨迹方程，其解决问题的最终落脚点就是将几何条 件(性质)表示为动点坐标 x、y 的方程或函数关系（参数法） 。 （2）数形结合思想。解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。即 将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。 （3）等价转化思想。在解题的过程中将一个问题等价转化为另一个较为简单的问题去 求解。 3．避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求。所谓回避，就是根据题 设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方 程等繁复的运算。所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等， 一般以直接性和间接性为基本原则。因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能 会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下 运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求” 。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线的定义与性质高考资料高考复习资料中考资料
圆锥曲线的定义与性质曲线名称圆（Circle）椭圆（Ellipse）双曲线（Hyperbola）抛物线（Parabola）标准方程x2+y2=r2（r>0）x y22221+=（a>b>0）a bx y22221-=（a,b>0）y2=2px（p>0）a bP P A抛物线的切点弦性质PF1+PF2=2a P PF1-PF2=2a抛物线的切点弦中点与极定义AF1BF2F1F2（2a>F F）12F1F2（0<2a<F F）12P M2M1B点连线的中点在抛物线上；特别地，若切点弦过抛物线体系PF1PF2=l（ l>0且 l¹1）焦点三角形面积qS=b2tan△PF F122焦点三角形面积qS=b2cot△PF F122焦点 F，则ÐAPB为直角且PF^AB一P光学性质O切线方程x x+y y=r200F1F2切线方程x x y y002+2=1a bF1F2F切线方程x x y y02021-=a b切线方程y y=p x+x()00从一个焦点射出的光线的反射光线过另一个从一个焦点射出的光线的反射光线的反向延从圆心射出的光线的反射光线仍经过从焦点射出的光线的反射光线与对称轴平行焦点长线经过另一个焦点圆心P等张角线极坐标方程r=ep1-ecosq体系二对线段 AB张角相同的点的轨迹HlP PFPH=e PlHPFPH=eHlPA B PF=PH通径长F FF通径长通径长d=2p 2b2d==2epa2b2d==2epa体系BO定义1k×k=-PAPBAPAOPBk×k=-PAPBb2a2AOPBk×k=PAPBb2a2直线与圆锥曲线弦长公式!l=1+k x-x=1+m y-y=n×t-t22121212面积公式三垂径定理AMOBk×k=-1OMABAMOBba22k×k=-OM AB1AOM Bk×k=OMABb2a211212S=底×高 =水平宽×铅直高=l lsinq212位置关系椭圆的等效判别式 D=a2A2+b2B2-C2双曲线的等效判别式2(2222)D=C-a A-b B圆锥曲线的解题常见思路关键词一般情况过定点的直线弦长面积点与曲线的位置关系★引入参数控制运动，以交点坐标★弦长公式★利用共线或平行条件进行等积★将点代入圆锥曲线方程中再将定点在y轴上时用斜截式表示定点在x轴上时用倒斜横截式表示为中间变量表示其他所有几何量★两点间距离公式变换方程改写为不等式定点不在轴上时用参数方程表示★利用直线方程消去纵（横）坐标★三角形面积公式★若方程Px2+Qx+R=0的两根提示→将直线方程代入曲线方程（联立）→通过韦达定理消去另一坐标时，两根之差为x-x=12DP★四边形的面积公式12l l sinq12★四边形的对角线往往是相关的有时也直接求解坐标★注意参数的取值范围，需要保证★面积比往往转化为共线线段比直线与圆锥曲线相交关键词直线与圆锥曲线的位置关系焦点中点定比分点共线、平行、垂直★联立直线与曲线方程后通过判★两个焦点→体系一★注意取中点构造中位线★弦所在直线过焦点时，可补对应★利用斜率或向量表示别式判断★一个焦点★中点坐标公式★共线也可以利用点在另外两点准线后构造相似三角形提示★直接利用等效判别式判断→补焦点→体系一→补准线→体系二xx+x y+y=12，12y=22★利用定比分点坐标公式或利用直线的参数方程转化．所确定的直线上表示★注意利用极坐标方程★“x=a x（a¹-1）”21Û2æx+xöx x a．=ç12÷121èøa+关键词以AB为直径的圆过C垂直平分线关于直线…对称关于原点对称的两点与原点连线相互垂直★以AB为直径的圆过C★P在AB的垂直平分线上★A、B关于l对称★有关斜率的问题→体系三★利用相关直线设直线斜率ÛÐACB=90°ÛPA=PBÛl是AB的垂直平分线★注意取中点构造中位线★化齐次联立ÛMC=MA（M为AB中点）ÛPM^AB（M为AB中点）★注意对称变换下的几何不变量提示★斜率的比值计算可以平方后用★注意“姐妹圆”圆锥曲线的方程进行整理111=+r a b222R=a+b 222关键词与定点的两连线垂直向量的运算成锐角（直角、钝角）过…与…交点的曲线其他★利用相关直线设直线斜率★向量数乘→共线★转化为向量夹角★利用交点曲线系得到曲线方程★当运动由圆锥曲线上的单点驱向量和差→平行四边形法则借助向量数量积的符号判断动时注意利用圆锥曲线的参数方程★平移坐标系转化为与原点的连向量相等→形成平行四边形★极限思想，利用切线方程得到定线相互垂直的问题向量数量积→投影长度提示点或定值的具体数据★利用仿射变换★在求形如()()x-t x-t的值时，12可以将方程整理为形如改造椭圆为圆改造斜交直线为垂直直线20A(x-t)+B(x-t)+C=的形式2。
圆锥曲线知识点总结大全
圆锥曲线知识点总结大全终于要学习圆锥曲线知识点了，高二数学本身的知识体系而言，它主要是对数学知识的深入学习和新知识模块的补充。
圆锥曲线知识点总结有哪些你知道吗?一起来看看圆锥曲线知识点总结，欢迎查阅!圆锥曲线知识点大全圆锥曲线的应用【考点透视】一、考纲指要1.会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用数形结合、几何法求某些量的最值.2.进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法.二、命题落点1.考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解，如例1;2.考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，如例2;3.考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力，如例3.【典例精析】例1：(2004?福建)如图,B地在A地的正东方向4km 处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2-2)a万元B.5a万元C. (2+1)a万元D.(2+3)a万元解析:设总费用为y万元,则y=a?MB+2a?MC∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,∴曲线PG是双曲线的一支,B 为焦点,且a=1,c=2.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD.∴y= a?2MD+2a?MC=2a?(MD+MC)≥2a?CE.(其中CE是点C到准线l的垂线段).∵CE=GB+BH=(c-)+BC?cos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(万元).答案:B.例2：(2004?北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.解析:(1)当y=时,x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,所求距离为.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1,y02=2px0,相减得:,故.同理可得,由PA、PB倾斜角互补知, 即,所以, 故.设直线AB的斜率为kAB, 由,,相减得, 所以.将代入得,所以kAB是非零常数.例3：(2004?广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)解析：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360.由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,故双曲线方程为.用y=-x代入上式,得x=±680,∵|PB||PA|,∴x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.【常见误区】1.圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景, 考生在数学建模及解模上均不同程度地存在着一定的困难, 回到定义去, 将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;2.圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质, 考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.【基础演练】1.(2005?重庆) 若动点()在曲线上变化，则的最大值为( )A. B.C. D.22.(2002?全国)设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.3.(2004?精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为( )A. B.1 C. D.24. (2004?泰州三模)在椭圆上有一点P,F1、F2是椭圆的左右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有( )A.2个B.4个C.6个D.8个5.(2004?湖南) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为.6.(2004?上海) 教材中坐标平面上的直线与圆锥曲线两章内容体现出解析几何的本质是.7.(2004?浙江)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1,(1)若直线AP 的斜率为k,且|k|?[],求实数m的取值范围;(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.8. (2004?上海) 如图, 直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.(1)求点Q的坐标;(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.9.(2004?北京春) 2003年10月15日9时,神舟五号载人飞船发射升空,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点A距地面200km,远地点B 距地面350km.已知地球半径R=6371km.(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程;(2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约,问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s?(结果精确到1km/s)(注:km/s即千米/秒)关于双曲线知识点总结双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P 在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：=.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点，希望考生认真复习，深入掌握。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。
以下是对圆锥曲线的知识点进行总结：1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。
2. 椭圆：-定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0<e<1$。
3. 双曲线：-定义：双曲线是所有到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，离心率满足$e>1$。
4. 抛物线：-定义：抛物线是所有到一个焦点的距离等于到直线（准线）的距离的点的集合。
-基本方程：$y^2=4ax$，其中$a$为抛物线的焦点到准线的距离的一半。
5. 圆：-定义：圆是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
-基本方程：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。
6. 圆锥曲线的性质：-焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。
-对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。
-焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。
-焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。
7. 焦点和准线的性质：-椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。
同时，准线也是曲线的对称轴。
圆锥曲线间的三个统一统一定义、统一公式、统一方程
圆锥曲线间的三个统一巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、四种圆锥曲线的统一定义动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e，则当01e<<时，动点P的轨迹是椭圆：当1e=时，动点P的轨迹是抛物线；当1e>时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e=，我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值（非零），则此时动点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为焦点，L为准线。
二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p，则2bpa =。
如图1，将椭圆22221(0)x ya ba b+=>>按向量（,0a）平移得到2222()1x a ya b-+=∴222222b by x xa a=+∵椭圆的半通径211||bF M pa==，2221bea=-∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x=+-(01)e<<类似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>按向量(,0)a-平移得到2222()1x a y a b +-=∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a=，2221b e a =- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成2222(1)(1)y px e x e =+-=对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。
《圆锥曲线》知识点归纳
圆锥曲线中知识点归纳主要知识点-椭圆1.椭圆的定义:平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的为常数2a(2a＞2c)，则点P的轨迹叫______．这两个定点叫双曲线的_______，两焦点间的距离叫________．|MF1|+|MF2|＝2a(2a＞2c)，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞b＞0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当_______时，P点的轨迹是________；(3)当________时，P点不存在．2.椭圆的标准方程：图像标准方程焦点坐标焦点位置判断焦点跟着分母的走3.椭圆的几何性质：1.双曲线的定义:平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫______．这两个定点叫双曲线的_______，两焦点间的距离叫________．||MF1|－|MF2||＝2a(2a<2c)，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当_______时，P点的轨迹是________；(3)当________时，P点不存在．2.双曲线的标准方程：图像标准方程焦点坐标焦点位置判断焦点跟着分母的走3.双曲线的几何性质几何性质焦距范围顶点实轴虚轴对称性离心率e=（e范围：）e越大，开口越；e越小，开口越；渐近线1.抛物线的定义:平面上与一个定点F 和一条直线l （F 不在l 上）的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
2.抛物线的几何性质考点1.求圆锥曲线方程1.已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．2.已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -，．求抛物线C 的方程，并求其准线方程；考点2.圆锥曲线几何性质1.求双曲线22169144x y -=的实轴长，虚轴长，焦距，顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程。
圆锥曲线与圆锥的关系
圆锥曲线与圆锥的关系
圆锥曲线是指与一个圆锥相交而形成的曲线，可以分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四类。
圆锥曲线在物理、数学和工程学等领域都有广泛的应用。
圆锥曲线与圆锥的关系十分密切。
圆锥是由一个圆在一定角度下沿直线移动形成的，而圆锥曲线则是由一条直线在一定角度下绕着一个固定点旋转形成的。
因此，可以将圆锥曲线看作是圆锥中的一种特殊情况。
在数学中，圆锥曲线可以通过解析几何的方法来表示。
例如，椭圆可以表示为所有与两个焦点之间距离之和等于常数的点的集合。
圆锥曲线的性质也可以通过解析几何的方法来研究，例如双曲线的渐进线和抛物线的焦点等。
在工程学中，圆锥曲线的应用十分广泛。
例如，在道路设计中，圆锥曲线可以用来设计车道的转弯半径和转弯角度，以保证车辆在行驶过程中的稳定性和安全性。
在光学中，圆锥曲线可以用来设计反射镜和折射镜等光学元件。
总之，圆锥曲线是一种十分重要的数学概念，其与圆锥之间的关系也是十分密切的。
在各个领域中，圆锥曲线都有着广泛的应用，为人类的科技进步和生活带来了诸多便利。
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圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长的数学关系推导
圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长的数学关系推导圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
曲线的性质和特点在数学中具有重要的地位和应用价值。
在本文中，我们将推导圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长之间的数学关系。
一、椭圆的曲率半径与曲线弧长的数学关系推导椭圆是圆锥曲线中的一种，具有闭合的轨迹形状。
其数学定义为所有到两个焦点距离之和等于常数的点构成的轨迹。
1. 假设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦距为2c。
2. 对于椭圆上的一点P(x, y)，我们可以计算其到两个焦点的距离F1P和F2P，即PF1和PF2。
3. 根据椭圆的数学定义，PF1 + PF2 = 2a。
4. 由于椭圆是对称的，我们可以只考虑椭圆的上半部分。
5. 对于椭圆上的一点P(x, y)，我们可以计算椭圆的曲率半径r。
6. 曲率半径r的计算公式为 r = (1 + (dy/dx)^2)^(3/2) / |d^2y / dx^2|，其中dy/dx表示y对x的导数，d^2y / dx^2表示y对x的二阶导数。
7. 在椭圆上，我们可以表示y^2 / b^2 = (1 - x^2 / a^2)。
对这条方程两边求导数可以得到dy/dx。
8. 对dy/dx求导数可以得到d^2y / dx^2。
9. 将dy/dx和d^2y / dx^2的值代入曲率半径r的计算公式中，得到椭圆上每个点的曲率半径。
10. 最后，我们可以通过曲线的弧长L来计算曲率半径与曲线弧长的数学关系。
由于椭圆是闭合的轨迹，我们需要计算从一个焦点出发到达椭圆上某一点所经过的弧长。
11. 根据椭圆的定义，椭圆的弧长L与横坐标x值之间存在一个函数关系。
我们可以将弧长L表示为x的函数。
12. 推导出曲率半径与曲线弧长的数学关系。
二、双曲线的曲率半径与曲线弧长的数学关系推导双曲线是圆锥曲线中的另一种，与椭圆相似但具有不同的轨迹形状。
其数学定义为所有到两个焦点距离之差等于常数的点构成的轨迹。
圆锥曲线的极坐标方程与椭圆焦半径关系
圆锥曲线的极坐标方程与椭圆焦半径关系圆锥曲线是平面上非常重要的一类曲线，其中椭圆是很常见的一种圆锥曲线。
在极坐标系中，圆锥曲线的方程形式可能会有所不同，本文将介绍圆锥曲线的极坐标方程以及椭圆焦半径之间的关系。
1. 极坐标系简介首先，我们来简单了解一下极坐标系。
在平面直角坐标系中，我们用x和y坐标轴来描述平面上的点的位置。
而在极坐标系中，我们用极径r和极角θ来描述点的位置。
极坐标系可以用于描述圆形和其他许多曲线，特别在物理学和工程学中经常用到。
2. 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线在极坐标系中的方程形式一般为：r = f(θ)，其中r为极径，θ为极角，f(θ)为关于θ的函数。
不同种类的圆锥曲线有不同的极坐标方程，比如椭圆、双曲线、抛物线等。
椭圆是一个很特殊的圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：r = a(1 - e*cosθ)，其中a为椭圆的半长轴，e为椭圆的离心率。
椭圆是一个闭合曲线，描述了所有到两个焦点距离之和等于常数2a的点构成的曲线。
3. 椭圆焦半径的定义在椭圆的性质中，我们知道椭圆有两个焦点，定义这两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和为焦半径。
椭圆焦半径的性质在几何学和物理学中有很多应用。
4. 椭圆焦半径与极坐标方程的关系通过极坐标方程r = a(1 - e*cosθ)，我们可以推导出椭圆焦半径与半长轴、离心率之间的关系。
由定义可知，焦半径等于两个焦点到椭圆上某一点的距离之和，可以表示为：r = 2a*cos(α/2)其中α为椭圆上任意一点对应的极角，r为焦半径。
根据三角函数的性质，可以得出椭圆焦半径与半长轴a和离心率e的关系。
5. 结论综上所述，圆锥曲线的极坐标方程在描述椭圆等曲线时具有重要的作用，而椭圆焦半径则是椭圆的一个重要性质。
椭圆焦半径与椭圆半长轴、离心率之间有特定的关系，这对于理解椭圆曲线以及解决相关问题具有重要意义。
通过对圆锥曲线进行极坐标描述，我们可以更深入地理解各种曲线的性质和特点。