相似三角形综合题

相似三角形综合题

题型一：相似三角形中的相关证明：

例1：如图，已知在△ABC 中，点D 是BC 的中点，EF ∥BC ，交AD 与点G ，求证：FG ＝EG 。

练习1：如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB 。

例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：①2

MA MD ME =⋅；②22

AE ME

AD MD

=。

练习2：如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F 。求证：2

CF GF EF =⋅。

例3：已知：如图，在∆ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC 。

①求证：2

AD AF AB =⋅；②若FD ＝2，DB ＝4 ，求AF 的长。

练习3：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC 交AB 于E ，若AB ＝6，AC ＝4，求DE 的长。

题型二：相似三角形中的相关比例计算

例4：（2017天津，8）如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ） A ．3:2 B ．3:1 C ．1:1 D ．1:2

练习4.1：如图，在平行四边形ABCD 中，1O 、2O 、3O 是对角线BD 上的四等分点，连接1AO 并延长交BC 于点E ，连接3EO 并延长交AD 于点F ，则AF:DF 等于（ ） A ．3:1 B ．9:1 C ．8:1 D ．6:1

练习4.2：如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点。若AD ＝3，BC ＝9，则GO:BG ＝（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．11:20

练习4.3：如图，□ABCD 中，E 是AB 的中点，F 在AD 上，且AF ＝1

2

FD ，EF 交AC 于G ，则AG:AC 的值为（ ） A ．1:3 B ．1:4 C ．1:5 D ．不确定 题型三：相似三角形中常用辅助线的作法

例5：已知：如图，△ABC 中，在BC 上取一点P ，CA 上取一点Q ，使得BP:PC ＝2:5，CQ:QA ＝3:4，AP ，BQ 交于点R ，求AR:RP 的值。

练习5.1：如图，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF:AE ＝ ▲ 。

练习5.2：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，有AF:FD ＝1:5，连接CF ，并延长交AB 于E ，则AE:EB 等于（ ）

A ．1:6

B ．1:8

C ．1:9

D ．1:10

例6：如图，△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：

BF BD

CF CE

=。

练习6：如图，△ABC 中，AB

题型四：相似三角形综合题

例7：（2017湖北仙桃，24）△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN ＝∠B 。

①如图(1)，当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形． ②如图(2)，将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于E ，F 点（点E 与点A 不重合），不添加

辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论。

③在图(2)中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的1

4

时，求线段EF的长。

练习7.1：（2017四川成都，20）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF 与射线CA相交于点Q。

(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝a，CQ＝9

2

a时，P、Q两点间的距离（用

含a的代数式表示）。

练习7.2：（2017江苏扬州，28）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处。

(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA。

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长；

(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；

(3)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E。试问当点M、N在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度。

练习7.3：在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝1

2

∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F。

(1)当AB＝AC时，（如图1），①∠EBF＝▲°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

(2)当AB＝k AC时（如图2），求BE

FD

的值（用含k的式子表示）。

题型五：相似三角形中的动态几何问题

例8：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm。现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒。

①用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；

②当3

t 秒时，P、Q两点之间的距离是多少？