高中数学必修一第二章第一节函数的定义

第一节函数的定义
一.函数的概念
1.前提:A,B是非空的_____.
2.对应:集合A中的_____一个数x,在集合B中都有_________的数f(x)和它对应.
3.结论:f:A→B称为_______________的一个函数.
4.表示:____________.
注:①自变量__;
②定义域:__的取值范围A;
③函数值:与x的值相对应的____;
④值域:函数值的集合____________;
⑤函数的三要素:定义域、对应关系和_____.
二.函数相等
由于函数的值域是由_______和_________决定的,所以,如果两个函数的_______相同,并且_________完全一致,就称这两个函数相等.
三．区间的概念
1.一般区间的表示(其中a,b为实数,且a<b).
2.无穷大的概念
①实数集R用区间表示为__________.“∞”读作___________,“-∞”读作_____________,“+∞”读作_____________.
②无穷区间的表示:
考点一 函数概念的简单运用
1.下图中能表示函数关系的是 .
2.下图中,能表示函数y=f(x)的图象的是( )
3.判断下列对应能表示y 是x 的函数的是_________. （1）y=|x| （2）|y|=x （3）y=x 2
（4）y 2
=x
(5)1
1--=
x x
y 4.给出下列两个集合A ，B 及A →B 的对应f:
①A={−1,0,1},B={−1,0,1}，f:A 中的数的平方； ②A={0,1},B={−1,0,1}，f:A 中的数的开方； ③A=Z ，B=Q ，f:A 中的数的倒数； ④A=R,B={正实数}，f:A 中的数取绝对值； ⑤A={1,2,3,4},B={2,4,6,8,10}，f:n=2m ，其中n∈A ，m∈B ； 其中是A 到B 的函数有___个。

5.若集合A={0,1,3,m},B={1,4,a 4,a 2+3a},其中m ∈N ∗
，a ∈N ∗
，f:x →y=3x+1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则m+a=___
考点二 求具体函数的定义域 解题方法：0,1
≠=
x x
y ； 0,0≠=x x y ； 0,≥=x x y ； 1.求下列函数定义域.(后四个用区间表示）
x x x f -+-=11)()1( 11)()2(2-+=
x x x f
5|1|1
3)()3(-++-=x x x f
x
x x x f -+=||)1()()4(0 x x x x f 1)()5(2
--= 4923)()6(2
+--=x x x x f
考点三 求复合函数的定义域（用区间表示）
解题方法：1）定义域永远是x 的范围；2）括号内容永远等价。

1.已知函数f(2x-1)的定义域为[)1,0，求f(1-3x)的定义域。

2.若函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，求函数y=f(2x -1)的定义域。

3.已知f(2x-1)的定义域为（-1,5],求f(x)的定义域。

考点四 求函数值 1.已知函数x
x x f +-=
11)(，g(x)=x 2
+1. (1)求f(2),g(2)的值. (2)求f(g(1))的值. (3)求)1(x
f ,g(a-1)的值. （4）求f(g(x))的值.
2.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出：
3.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f[g(2)]的值为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
4.已知a,b 为常数，若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2
+10x+24,则5a-b=_________.
5.已知函数对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立， (1)求f(0),f(1)的值；
(2)求证：0)()1
(=+x f x
f (x ≠0)；
(3)若f(2)=m,f(3)=n(m,n 均为常数),求f(36)的值。

6.若函数f(x)满足)
()(1)
()()(b f a f b f a f b a f -+=+，且21)2(=f ，31)3(=f ，则=)7(f ______.
考点五 相等函数的判断
1. 下列各组函数表示相等函数的是( )
1)(|
|)(.±==
x g x x x f A ，
12)(,12)(.22--=--=t t t g x x x f B 2)1()(,21)(.0
-=
=x x g x f C
2)1()(11)(.-=-⋅-=x x g x x x f D ， 2. 下列各组函数不是相等函数的是( )
)1(1)(,11
)(.2≠+=--=x x x g x x x f A x x g x x f B ==)(,)(.33
()2
2
)(,)(.x x g x x f C =
= ⎨
⎧-<---≥+=+=1
,11
,1)(|,1|)(.x x x x x g x x f D
考点六 求函数的值域 方向一：图像法求值域
1.已知函数32)(2-+=x x x f ，分别求他在下列区间上的值域。

(1) R x ∈；(2)),0[+∞∈x ；(3)]2,1(∈x ；(4)]2,2[-∈x
2. 画出下列函数的图象，并求出值域。

(1))3,(,2)(2≤∈+=x N x x x x f 且
(2)y=
x
1
,|x|>1
方向二：分离常数法求值域 3.求下列函数的值域。

25-+=x x y 125-+=x x y 143-+=x x y 1
25
3+-=x x y
方向三：判别式法求值域 4.求下列函数的值域
(1)122+--=x x x x y (2)21322+-=x x y (3)1
1
22-++=x x x y
方向四：换元法求值域 5.求下列函数的值域
(1)13216-++=x x y (2)x x y 21--=
考点七 已知定义域或值域求参数的范围
2.若函数f(x)=3
42++mx mx 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是___________.
3.已知函数1
8)(22+++=x m
x mx x f 的值域为[1，9]，求m 的值。

4.函数f(x)=(a-1)x+a 在x ∈[]2,2-时的值不小于0，求a 的取值范围。

5.设0≤a<1,函数f(x)=(a-1)x 2
-6ax+a+1恒为正，求f(x)的定义域。

课后训练
1.下列式子能确定y 是x 的函数的是__________ (1)22
2
=+y x (2)111=-+
-y x (3)x x y -+-=12
4.若2)(2-=ax x f 且2))2((-=f f ,则a=__________.
5.下列对应是从集合A 到B 的函数的是( )
A. A=N ，B=R ，对应关系f:“求平方根”
B. A=N ∈,B=N ∈，对应关系f:x→y=|x−3|
C. A=R,B={0,1},对应关系⎩⎨
⎧<≥=→0,00,1:x x y x f
D. A=Z,B=Q,对应关系11
:-=→x y x f
6.设对应f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B={1，2}，则A ∩B=__________.
7.若函数f(x)对一切x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(3)=5,则f(12)=___________.
8.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+y ）=f （x ）+f （y ）+2xy （x,y ∈R ）,f （1）=2,则f （-3）=（ ） A2 B3 C6 D9
9.已知f(x)=x 2
-1,⎩
⎨⎧<->-=0,20
,1)(x x x x x g
(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.
10.已知[x]表示不超过实数x 的最大整数(x ∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0, [3.4]=3.定义{x}=x-[x],则
}2015
2015
{...}20153{}20152{}20151{
++++=( ) A.2014
B.
C.1007
D.2015
11.求函数x
x f 11111)(++
=
的定义域。

（请用区间表示）
12.已知函数182++=bx ax y 的定义域为[-3，6]，求a,b 的值。

13.已知函数86)(2++-=m mx mx x f 的定义域是R ，求实数m 的取值范围。

14.若函数f(x)的定义域为[0,2]，（1）求函数g(x)=1
)
2(-x x f 的定义域；（2）求h(x)=f(x-1)+f(x+1)的定义域。

15.已知函数x a a x x f --+=1)((a ∈R 且x ≠a),当f(x)的定义域为]2
1
,31[++a a 时,求f(x)的值域.
16.若函数1
)(2
++=x b
ax x f 的值域为[-1，4]，求实数a,b 的值。