2024年高考数学新增高频考点(解析版)

(多拿20分)2024年高考数学新增高频考点专题突破
新增高频考点1：复数的三角表示
新增高频考点2：三角函数的积化和差公式
新增高频考点3：三角函数的和差化积公式
新增高频考点4：投影向量
新增高频考点5：百分位数
新增高频考点6：点、线、面距离公式
新增高频考点7：条件概率
新增高频考点8：全概率公式
新增高频考点9：贝叶斯公式
新增高频考点10：二项分布中的最大项
2023年高考数学新增高频考点专题突破
一．复数的三角表示(共5小题)
1已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6
，则z 1z 2的代数形式是()
A.6cos
π4+i sin π4
B.6cos π12+i sin π
12 C.
3-3i D.3+3i
2若复数z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，
θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =3
2+12
i 的三角形式正确的是()A.cos π
6+i sin
π6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π3
3已知复数z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()
A.|z |=2
B.z 2=1
C.z ⋅z =1
D.z +
1
z
为纯虚数4复数z =cos -2π5
+i sin -2π
5 的辐角主值为()
A.
8π5
B.-8π5
C.
2π5
D.-2π5
5任何一个复数z =a +bi (其中a ，
b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，
若复数cos π
8+i sin π8 m (m ∈N *)为纯虚数，
则正整数m 的最小值为()A.2
B.4
C.6
D.8
二．三角函数的积化和差公式(共5小题)
6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()
A.0，1
2
B.(0，1)
C.1
2，
1 D.3
4
，1
7利用积化和差公式化简sin αsin π
2
-β 的结果为()A.-1
2[cos (α+β)-cos (α-β)]
B.1
2[cos (α+β)+cos (α-β)]
C.1
2[sin (α+β)-sin (α-β)]
D.1
2
[sin (α+β)+sin (α-β)]
8已知cos α+cos β=
1
2
，则cos α+β2cos α-β2的值为
．
9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，
则cos 2α-cos 2β的值为．
10已知α，β为锐角，且α-β=π6
，那么sin αsin β的取值范围是．
三．三角函数的和差化积公式(共5小题)
11对任意的实数α、
β，下列等式恒成立的是()
A.2sin α•cos β=sin (α+β)+sin (α-β)
B.2cos α•sin β=sin (α+β)+cos (α-β)
C.cos α+cos β=2sin α+β
2⋅sin α-β2
D.cos α-cos β=2cos α+β2⋅cos
α-β
2
12在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a +c =2b ，则tan A
2•tan C 2
的值为(参考公式：sin A +sin C =2sin A +C 2cos A -C
2
)()
A.2
B.
12
C.3
D.13
13已知sin α+sin β=2165，cos α+cos β=27
65，则sin β-sin αcos β-cos α=．14已知sin α+sin β=
14，cos α+cos β=13
，则tan (α+β)的值为．
15在△ABC 中a ，
b ，
c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为三角形．
四．投影向量(共5小题)
16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，
则向量a -b
在向量b 上的投影向量为()
A.-12a
B.-12b
C.32b
D.-32
b
17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b
方向上的投影向量的坐标为(
)
A.(1，1)
B.(1，-1)
C.(-1，1)
D.(-1，-1)
18在正△ABC 中，
向量AB 在CA
上的投影向量为()
A.12CA
B.-12CA
C.32
CA
D.-32
CA
19设a ，
b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b
，则cos ‹a ，b ›=()
A.-13
B.
13
C.-223
D.
223
20已知|a |=2|b |，若a 与b
的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()
A.3-3a
B.-32
a
C.-12
a
D.3a
五．百分位数(共5小题)
21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是
．
22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，
推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()
A.76
B.77
C.78
D.80
23某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是(
)
件数7891011人数3
7
5
41
A.8.5
B.9
C.9.5
D.10
24某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(
)
A.频率分布直方图中a 的值为0.012
B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为110
25某个品种的小麦麦穗长度(单位：
cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为
．
六．点、线、面间的距离(共3小题)
26如图，
在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π
2
，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．
27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．
(1)证明：CF ∥平面ADE ；
(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为15
5
，求点M 到平面BCF 的距离．
28如图，
在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；
(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为
25
5
，求点P 到平面AEF 的距离．
七．条件概率(共8小题)
29已知事件A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A
)=0.3，则()
A.P (A ∩B )=0.3
B.P (B |A )=0.3
C.事件A ，B 相互独立
D.事件A ，B 互斥
30已知P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=1
4
，则P (B )=，P (A
|B )=
．
31研究人员开展甲、
乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=
4
15
，P (B )=215，P (C )=7
10
，则P (B |A )=．
32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()
A.0.75
B.0.8
C.0.76
D.0.95
33为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每
名队员的胜率均为3
4，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为
1
2．(注：比赛结果没有平局)
(Ⅰ)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．
34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()
A.3
8B.3
10
C.6
11
D.6
17
35人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假
设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为1
2
(先验概率)．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
36某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，
该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，
前三道工序的次品率分别为P 1=1
10，P 2=19，P 3=18
．
(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．
八．全概率公式(共2小题)
37某铅笔工厂有甲、
乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92
B.0.08
C.0.54
D.0.38
38假设有两箱零件，
第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()
A.
1
8
B.
320
C.
740
D.
15
九．贝叶斯公式(共2小题)
39对正在横行全球的
“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5：3：2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为78%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是；
若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是
．
40英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著，
创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A
(A 的对立事件)存在如下
关系：P (B )=P (B |A )•P (A )+P (B |A )•P (A
)．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为()
A.0.01
B.0.0099
C.0.1089
D.0.1
十．二项分布中的最大项(共3小题)
41若X ~B 100，1
3 ，则当k =0，1，2，⋯，100时()
A.P (X =k )≤P (X =50)
B.P (X =k )≤P (X =32)
C.P (X =k )≤P (X =33)
D.P (X =k )≤P (X =49)
42已知随变量从二项分布B 1001，1
2
，则()（多选）A.P (X =k )=C k
1001
12 1001 B.P (X ≤301)=P (X ≥701)C.P (X >E (X ))>1
2
D.P (X =k )最大时k =500或501
43经检测有一批产品合格率为75%，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P (ξ=k )取得最大值时k 的值为
．
(多拿20分)2023年高考新增高频考点专题突破
新增高频考点1：复数的三角表示
新增高频考点2：三角函数的积化和差公式
新增高频考点3：三角函数的和差化积公式
新增高频考点4：投影向量
新增高频考点5：百分位数
新增高频考点6：点、线、面距离公式
新增高频考点7：条件概率
新增高频考点8：全概率公式
新增高频考点9：贝叶斯公式
新增高频考点10：二项分布中的最大项
参考答案与试题解析
一．复数的三角表示(共5小题)
已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π
6
+i sin π6 ，
则z 1z 2的代数形式是()
+i sin π4
B.6cos π12+i sin π
12 D.3+3i
【解析】：∵z 1=2cos
π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π
6 ，∴z 1z 2=6cos π12+i sin π12 cos π6+i sin π
6
=6cos π12cos π6-sin π12sin π6 +cos π12sin π6+sin π
12cos π6 i
=6cos π12+π6 +i sin π
12+π6
=6cos π4+i sin π
4 =622+22i
=3+3i ，故选：D ．
z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，
θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+1
2
i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sin
π6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π
3+i cos π3【解析】：z =
32+1
2i 的模为1，辐角为π6，则复数z =32+12i 的三角形式为cos π
6+i sin π6．
故选：
A ．
z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()
A.|z |=2
B.z 2=1
C.z ⋅z =1
D.z +
1
z
为纯虚数【解析】：对于A ，|z |=cos 2θ+sin 2θ=1，故A 错误，
对于B ，z 2=(cos θ+i sin θ)2=cos 2θ+2sin θcos θi +i 2sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ+2cos θsin θi ，故B 错误，
对于C ，z ⋅z
=(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=cos 2θ+sin 2θ=1，故C 正确，
对于D ，z +1z =cos θ+i sin θ+1cos θ+i sin θ=cos θ+i sin θ+cos θ-i sin θ
(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=2cos θ，故
D 错误．故选：C ．
=cos -2π5 +i sin -2π
5
的辐角主值为()
B.-8π5
C.
2π5
D.-2π
5
=cos -2π5 +i sin -2π
5 ，
∴复数z 的辐角为2k π-2π5，k ∈Z ，∴复数z 的辐角主值为2π-2π5=8π
5
．
5任何一个复数z =a +bi (其中a ，
b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ
+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8
m
(m ∈
N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】：∵复数cos
π8+i sin π8 m =cos m π8+i sin m π
8
为纯虚数，∴cos m π8=0，sin m π8≠0，∴m π8=k π+π2
，k ∈Z ，
根据m ∈N *，可得正整数m 的最小值为4，此时，k =0，故选：B ．
二．三角函数的积化和差公式(共5小题)
6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()
A.0，12
B.(0，1)
C.1
2，
1 D.34
，1
【解析】：直角三角形中两锐角为A 和B ，A +B =C =π2
，则cos A cos B =
12[cos (A -B )+cos (A +B )]=1
2
cos (A -B )，再结合A -B ∈-π2，π
2
，
可得cos (A -B )∈(0，1]，∴12cos (A -B )∈0，12 ，故选：A ．7利用积化和差公式化简sin αsin π
2
-β
的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)] B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]
C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]
D.12
[sin (α+β)+sin (α-β)]
【解析】：sin αsin π2-β =sin αcos β=1
2
[sin (α+β)+sin (α-β)]
故选：D ．
8已知cos α+cos β=
12，则cos α+β2cos α-β2的值为　1
4　．【解析】：∵cos α+cos β=1
2
，
∴cos α+β2cos α-β2=12cos α+β2-α-β2 +cos α+β2+α-β2 =12(cos α+cos β)=12×12=14
．故答案为：1
4
．
9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，
则cos 2α-cos 2β的值为　m ．【解析】：由已知得：sin (α+β)•sin (β-α)=
cos2α-cos2β
2=(2cos 2α-1)-(2cos 2β-1)2
=cos 2α-cos 2β=m
10已知α，β为锐角，且α-β=π
6，那么sinαsinβ的取值范围是　0，
3
2
　．
【解析】：∵α-β=π6
∴sinαsinβ=-1
2[cos(α+β)-cos(α-β)]=-1
2
cos(α+β)-3
2
=-1
2
cos2β+π
6
-32
∵β为锐角，即0<β<π
3
∴π
6<2β+π
6
<5π
6，
∴-3
2<cos2β+π
6
<32
∴0<-1
2
cos2β+π
6
-32
<3
2
故答案为：0，
3 2
三．三角函数的和差化积公式(共5小题)
11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()
A.2sinα•cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)
B.2cosα•sinβ=sin(α+β)+cos(α-β)
C.cosα+cosβ=2sinα+β
2⋅sinα-β
2
D.cosα-cosβ=2cosα+β
2
⋅cosα-β
2
【解析】：sin(α+β)+sin(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ，故选：A．
12在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，则tan A
2
•tan C
2的值为(参考公式：
sin A+sin C=2sin A+C
2cos A-C
2
)()
A.2
B.1
2C.3 D.1
3
【解析】：∵a+c=2b，
∴由正弦定理得sin A+sin C=2sin B=2sin(A+C)，
即2sin A+C
2
cos A-C
2
=4sin A+C
2
cos A+C
2，
在三角形中sin A+C
2
≠0，
∴cos A-C
2=cos A+C
2，
即cosαA
2
cos C
2
+sin A
2
sin C
2
=2cos A
2
cos C
2
-2sin A
2
sin C
2，
即3sin A
2
sin C
2
=cos A
2
cos C
2，
即
sin A2sin C2
cos A2cos C2=1
3，
即tan A
2
•tan C
2
=1
3，
故选：D．
13已知sinα+sinβ=21
65，cosα+cosβ=
27
65，则
sinβ-sinα
cosβ-cosα
=　-9
7　．
【解析】：sin α+sin β=
2165，可得2sin α+β2cos α-β2=21
65⋯①cos α+cos β=2765，2cos α+β2cos α-β2=27
65⋯②．
①②
可得sin α+β2cos
α+β2
=2127=79．
sin β-sin αcos β-cos α=-2cos α+β2sin α-β22sin α+β2sin α-β2=-cos α+β
2
sin
α+β2
=-97
．
故答案为：-9
7．
14已知sin α+sin β=
14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为　247
　．【解析】：由sin α+sin β=1
4，得2sin
α+β2
cos α-β2=14，由cos α+cos β=13，得2cos α+β2cos α-β2=1
3，
两式相除，得tan
α+β2
=3
4，则tan (α+β)=2tan α+β21-tan 2
α+β2
=2×34
1-34 2=247故答案为：
24
7
15在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为直角三角形．
【解析】：由cos B +cos C =sin B +sin C 得到2cos
B +
C 2cos B -C 2=2sin B +C 2cos B -C
2
两边同除以2cos B -C 2得sin B +C 2=cos B +C 2即tan B +C
2
=1，
由0<B <π，0<C <π，得到B +C 2∈(0，π)，所以B +C 2=π4即B +C =π
2
，所以A =π2，则△ABC 为
直角三角形．故答案为：直角
四．投影向量(共5小题)
16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，
则向量a -b
在向量b 上的投影向量为()
A.-12a
B.-12b
C.32b
D.-32
b
【解析】：因为两个单位向量a 和b
的夹角为120°，
所以a ⋅b =|a |⋅|b |cos120°=1×1×-1
2
=-12，
所以(a -b )⋅b =a ⋅b -b 2=-1
2
-1=-32，
故所求投影向量为(a
-b )⋅b |b |⋅b =-32b
．故选：D ．
17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b
方向上的投影向量的坐标为(
)
A.(1，1)
B.(1，-1)
C.(-1，1)
D.(-1，-1)【解析】：已知a =(-2，λ)，b =(1，1)，由于a ⊥b ，所以a ⋅b
=(-2)×1+λ×1=0，解得λ=2，
所以a =(-2，2)，b =(1，1)，得a -b
=(-3，1)，
则(a -b )⋅b
=(-3)×1+1×1=-2，|b |=12+12=2，
故a -b 在b 方向上的投影为(a -b )⋅b
|b |
=-22=-2，得a -b 在b
方向上的投影向量为-2⋅
b 2
=(-1，-1)．故选：D ．
18在正△ABC 中，
向量AB 在CA
上的投影向量为()A.12CA B.-12CA C.32CA D.-32
CA
【解析】：AB 与CA 的夹角为2π
3
，
则cos ‹AB ，CA ›=-12
，根据投影向量的定义有：AB 在CA 上的投影向量为|AB |⋅cos ‹AB ，CA ›⋅
CA
|CA |
=-12
CA ．故选：
B ．19设a ，
b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b
，则cos ‹a ，b ›=()
A.-13
B.
13
C.-223
D.
223
【解析】：∵a +b 在b 上的投影向量为23
b
，
∴(a
+b )⋅b |b |⋅b |b |=23b ，∴a ⋅b =-13，
∵|a
|=|b |=1，
∴由向量的夹角公式可知，cos ‹a ，b ›=a ⋅b |a ||b |=-1
3．
故选：A ．
20已知|a |=2|b |，
若a 与b
的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()
A.3-3a
B.-32a
C.-12
a
D.3a
【解析】：∵|a
|=2|b |，a 与b 的夹角为120°，
∴(2b -a )⋅a =2a ⋅b -a 2=2|a |⋅12|a | ⋅cos120°-a 2=-32a 2
，
∴2b -a 在a 上的投影向量为：(2b -a )⋅a |a |⋅a
|a |=-32a ．故选：B ．
五．百分位数(共5小题)
21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是
90分．
【解析】：8名学生的成绩从小到大排列为：63，68，76，77，82，88，92，93，因为8×75%=6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，
即1
2
×(88+92)=90(分)．故答案为：90分．
22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()
A.76
B.77
C.78
D.80
【解析】：记构成的等差数列为{a n }，则a n =70+2(n -1)=2n +68，∵10×40%=4，
∴这10个班级的平均成绩的第40百分位数为a 4+a 52
=76+78
2=77，
故选：B ．
23某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是(
)
件数7891011人数3
7
5
41
A.8.5
B.9
C.9.5
D.10
【解析】；抽取的工人总数为20，20×75%=15，
那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9，10，
所以第75百分位数是9+10
2
=9.5．故选：C ．
24某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(
)
A.频率分布直方图中a 的值为0.012
B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为110
【解析】：由频率分布直方图可得，(a +0.01+0.03+0.035+0.01)×10=1，解得a =0.015，故A 错误，
设第60百分位数为x ，
则0.1+0.015+(x -70)×0.035=0.6，解得x =80，故B 正确，估计这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误，
估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为1000×0.01×10=100，故D 错误．故选：B ．
25某个品种的小麦麦穗长度(单位：
cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为10.8．
【解析】：数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，
所以12×80%=9.6，
所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8．故答案为：10.8．
六．点、线、面间的距离计算(共3小题)
26如图，
在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π
2
，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．
【答案】(1)证明：取DE 中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别为AE ，DE 中点，
∴FG ∥AD ，FG =1
2AD ，
又AD ∥BC ，BC =1
2
AD ，∴BC ∥FG ，BC =FG ，
∴四边形BCGF 为平行四边形，∴BF ∥CG ，
又BF ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，∴BF ∥平面CDE ．
(2)∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，
∴AD ⊥平面ABE ，又∠BAE =π
2
，
则以A 为坐标原点，AB ，AE ，AD
正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则F (0，1，0)，C (2，0，1)，D (0，0，2)，E (0，2，0)，
∴CD =(-2，0，1)，DE =(0，2，-2)，FE =(0，1，0)，
设平面CDE 的法向量n
=(x ，y ，z )，
则CD ⋅n
=-2x +z =0DE ⋅n =2y -2z =0
，
令x =1，解得：y =2，z =2，∴n
=(1，2，2)，
∴点F 到平面CDE 的距离d =|FE ⋅n
||n |
=2
3．
27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．
(1)证明：CF ∥平面ADE ；
(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为15
5
，求点M 到平面BCF 的距离．
【答案】(1)证明：取AE 的中点G ，连接GD ，GF ，
因为BF ∥EA ，且BF =
1
2
AE ，所以AG ∥BF 且AG =BF ，所以四边形AGFB 是平行四边形，所以GF ∥AB ，
又因为ABCD 是菱形，所以AB ∥DC ，且AB =DC ，所以GF ∥DC 且GF =DC ，
所以四边形CFGD 是平行四边形，CF ∥DG ，又CF ⊄平面ADE ，DG ⊂平面ADE ，所以CF ∥平面ADE ；
解：(2)连接BD 交AC 于N ，取CE 中点P ，
∵PN ∥AE ，EA ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥平面ABCD ，且CN ⊥BN ，
∴以N 为原点，NC ，NB ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
设在棱EC 上存在点M 使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为
15
5
，E (-1，0，2)，B (0，3，0)，C (1，0，0)，F (0，3，1)，A (-1，0，0)，D (0，-3，0)
则设CM =λCE
=λ(-2，0，2)(0<λ<1)，∴M (1-2λ，0，2λ)，
所以DM =(1-2λ，3，2λ)，DB =(0，23，0)，BC =(1，-3，0)，FB
=(0，0，-1)
设平面DBM 的一个法向量为n
=(x ，y ，z )，
则n ⋅DM
=0n ⋅DB =0
，即(1-2λ)x +3y +2λz =023y =0 ，令y =0，x =-2λ，z =1-2λ，
得n
=(-2λ，0，1-2λ)，
设平面FBC 的一个法向量为m
=(a ，b ，c )，
则m ⋅BC =0m ⋅FB =0
，即a -3b =0-c =0 ，取b =1，
得m
=(3，
1，0)，∴|cos ‹n ，m ›|=|m ⋅n ||m |⋅|n |
=|-23λ|2(-2λ)2+(1-2i )2=15
5，解得λ=1
3
或λ=1，又∵0<λ<1，
∴λ=13，此时M 13，0，23 ，∴CM =-2
3
，0，23 ，∴点M 到平面BCF 的距离d =|CM ⋅m
||m |=233
2=33．28如图，
在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；
(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为
25
5
，求点P 到平面AEF 的距离．
【解析】：(1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ．
因为ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，
又因为PA ∩AB =A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．
因为AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥BC ．因为PA =AB ，E 为线段PB 的中点，所以AE ⊥PB ，
又因为PB ∩BC =B ，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ．又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ．
(2)因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，
以AB ，AD ，
AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，
则A (0，0，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)，E (1，0，1)，
易知u
=(0，1，0)是平面PAB 的法向量，设BF =t (t ∈[0，2])，则F (2，t ，0)，
所以AE
=(1，0，1)，AF =(2，t ，0)，
所以|cos ‹AF ，u ›|=|AF ⋅u
|
|AF ||u |
=1-25
5 2
，
即
t t 2+4
=5
5，得t =1，所以AF =(2，1，0)，设n
=(x 1，y 1，z 1)为平面AEF 的法向量，则n ⋅AE
=0，n ⋅AF =0，
，
所以平面AEF 的法向量n
=(-1，2，1)，
又因为AP
=(0，0，2)，
所以点P 到平面AEF 的距离为d =|AP ⋅n ||n |
=26=6
3，所以点P 到平面AEF 的距离为6
3
，
由(1)可知，∠BAF 是直线AF 与平面PAB 所成的角，
所以cos ∠BAF =AB AF =AB AB 2+BF 2
=255，解得BF =12AB =1
2
BC ，故F 是BC 的中点，
所以AF =AB 2+BF 2=5，AE =1
2PB =2，EF =AF 2-AE 2=3，
所以△AEF 的面积为S △AEF =12
AE ⋅EF =6
2，
因为PA =AB =2，
△PAE 的面积为S △PAE =12S △PAB =1
4
PA ⋅AB =1，设点P 到平面AEF 的距离为h ，
则有V P -AEF =13S △AEF ⋅h =
66h =V F -PAE =13S △PAE ⋅BF =1
3，解得h =6
3
，
所以点P 到平面AEF 的距离为6
3．
七．条件概率(共8小题)
A 、
B 满足P (A |B )=0.7，P (A
)=0.3，则()
A.P (A ∩B )=0.3
B.P (B |A )=0.3
C.事件A ，B 相互独立
D.事件A ，B 互斥
【解析】：根据题意，设P (B )=x ，
由于P (A |B )=0.7，则P (AB )=P (B )P (A |B )=0.7x ，P (A )=1-P (A
)=0.7，则P (A )P (B )=0.7x ，则有P (AB )=P (A )P (B )，事件A ，B 相互独立．不确定x 的值，P (A ∩B )=P (AB )=0.7x ，A 错误；
P (B |A )=
P (AB )
P (A )
=x ，B 错误；由于A 、B 相互独立，事件A 、B 可能同时发生，则事件A 、B 一定不互斥，D 错误．故选：C ．
P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )=　1936　，P (A |B )=　3
19
　．【解析】：P (A )=1
3，
则P (A )=1-P (A )=2
3，
故P (B )=P (AB )+P (A B )=P (A )P (B |A )+P (A )P B |A )=2
3
×23+13×14=1936，
P (A |B )=P (A
B )P (B )
=13×141936
=319．
故答案为：1936，3
19
．
31研究人员开展甲、
乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=2
15
，
P (C )=710，则P (B |A )=　38
　．【解析】：由题意可知P (C )=P (A ∩B )=710，则P (A ∪B )=1-P (A ∩B )=1-7
10=310．又P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )，
所以P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ∪B )=
415
+215-310=110，则P (B |A )=P (AB )P (A )
=1
10
415
=38．
故答案为：3
8
．
32已知某地市场上供应的一种电子产品中，
甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()
A.0.75
B.0.8
C.0.76
D.0.95
【解析】：设买到的产品是甲厂产品为事件A ，买到的产品是乙厂产品为事件B ，则P (A )=0.8，P (B )=0.2，
记事件C ：从该地市场上买到一个合格产品，则P (C |A )=0.75，P (C |B )=0.8，
所以P (C )=P (AC )+P (BC )=P (A )P (C |A )+P (B )P (C |B )=0.8×0.75+0.2×0.8=0.76．故选：C ．
33为丰富学生的课外活动，
学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M 对乙队的每
名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为1
2
．(注：比赛结果没有平局)
(Ⅰ)求甲队明星队员M 在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M 上场的概率．【解析】：(Ⅰ)事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件A j =“甲队第j 局获胜”，其中j =1，2，3，4，A j 相互独立．
又甲队明星队员M 前四局不出场，故P (A j )=1
2
，j =1，2，3，4，B =A 1 A 2A 3A 4+A 1A 2 A 3A 4+A 1A 2A 3 A 4，所以P (B )=C 1
3×12
4=
316．(Ⅱ)设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛，
由全概率公式知，P (C )=P (C |D )P (D )+P (C |D )P (D
)，
因为每名队员上场顺序随机，故P (D )=C 24A 3
3A 35
=35，P (D )=1-3
5=25，
P (C |D )=12
2
×
34=316，P C |D )=1
2
3
=
18
， 所以P (C )=316×35+18×25=13
80．
(Ⅲ)由(2)，P (D |C )=
P (CD )P (C )
=P (C |D )P (D )P (C )=316×3
51380
=913．34某地病毒暴发，
全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()
A.
3
8
B.
310
C.
611
D.
617
【解析】：需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，
设事件A 表示“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”，B 表示“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”，
P (A )=C 23C 24+C 33C 14+C 23C 14C 34C 25
=17
20，P (AB )=C 23C 14C 34C 25
=3
10，
则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：P (B |A )=P (AB )P (A )
=3
10
1720
=617．
故选：D ．
35人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，
被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假
设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为1
2
(先验概率)．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．【解析】：设试验一次，“取到甲袋”为事件A 1，“取到乙袋”为事件A 2，“试验结果为红球”为事件B 1，“试验结果为白球”为事件B 2，
(1)P (B 1)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 1|A 2)=12×910+12×210=1120
；所以试验一次结果为红球的概率为
11
20
．(2)①因为B 1，B 2是对立事件，P (B 2)=1-P (B 1)=
920
，
所以P A 1|B 2)=P (A 1B 2)P (B 2)=P (B 2|A 1)P (A 1)P (B 2)=110×12
920
=19，
所以选到的袋子为甲袋的概率为1
9
；
②由①得P (A 2|B 2)=1-P A 1|B 2)=1-1
9
=89，
中取到红球的概率为：P 1=P (A 1|B
2
)P (B
1
|A
1
)+P (A
2
|B
2
)
910+89×210=518，方案二中取到红球的概率为：P 2=P (A 2|B 2)P (B 1|A 1)+P (A 1|B 2)P B 1|A 2)=8
9×910+19×210=3745
， 所以方案二中取到红球的概率更大．该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，
前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18
．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．
【解析】：(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-1-110 ×1-19 ×1-1
8
=310
．(2)设该批次智能自动检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ，
则P (A )=910，P (AB )=1-310=7
10
，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )=P (AB )P (A )
=7
10
910
=79．
八．全概率公式(共2小题)
乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生
产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92
B.0.08
C.0.54
D.0.38
【解析】：甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍，
则从这种铅笔中任取一件抽到甲生产线的概率为0.6，抽到乙生产线的概率为0.4，从这种铅笔产品中任取一件，
则取到次品的概率为0.6×10%+0.4×5%=0.08，所以取到合格产品的概率为1-0.08=0.92．故选：A ．
第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()
A.
1
8
B.
320
C.
740
D.
15
【解析】：设事件A i 表示从第i (i =1，2)箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P (B )=P (A 1。