2004年 高考全国卷III 数学理 答案
2004年普通高等学校招生全国统一考试Ⅲ(文)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(老课程)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷参考公式:三角函数的和差化积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题 (1)设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈,(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈,则集合M N 中元素的个数为( )A .1B .2C .3D .4(2)函数sin2x y =的最小正周期是( )A .2πB .πC .2πD .4π(3) 记函数13xy -=+的反函数为()y g x =,则(10)g =( ) A . 2B . 2-C . 3D . 1-(4) 等比数列{}n a 中,29,a = 5243a =,则{}n a 的前4项和为( )正棱台、圆台的侧面积公式 l c c S )(21+'=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长台体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径A . 81B . 120C .168D . 192(5) 圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是( )A . 20x +-=B . 40x +-=C . 40x -+= D . 20x -+=(6) 61x ⎛⎫⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )A . 15B . 15-C . 20D . 20-(7) 设复数z 的幅角的主值为23π2z =( )A . 2--B . 2i -C . 2+D . 2i(8) 设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则双曲线的离心率e =( )A . 5B .C .2D .54(9) 不等式113x <+<的解集为( )A . ()0,2B . ()()2,02,4- C . ()4,0-D . ()()4,20,2--(10) 正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为( )A .B .C .3D .(11) 在A B C 中,3,4A B B C A C ===,则边A C 上的高为( )A .B .C .32D .(12) 4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( )A . 12 种B . 24 种C 36 种D . 48 种第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在题中横线上. (13) 函数)1(log21-=x y 的定义域是 .(14) 用平面α截半径为R 的球,如果球心到平面α的距离为2R ,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 . (15) 函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 .(16) 设P 为圆122=+y x 上的动点,则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)解方程.012242=--+x x(18) (本小题满分12分)已知α为锐角,且αααααα2cos 2sin sin cos 2sin ,21tan -=求的值.(19) (本上题满分12分)设数列}{n a 是公差不为零的等差数列,S n 是数列}{n a 的前n 项和,且,9221S S = 244S S =,求数列}{n a 的通项公式.20.(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地。
2004年高考全国卷(3)文科数学
2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷(Ⅲ)文科数学(内蒙古、海南、西藏、陕西、广西等地)一、选择题1.设集合(){}22,1,,M x y x y x R y R =+=∈∈,(){}2,0,,N x y x y x R y R =-=∈∈, 则集合M N 中元素的个数为A .1B .2C .3D .42.函数sin2x y =的最小正周期是 A .2π B .π C .2π D .4π 3.记函数13x y -=+的反函数为()y g x =,则(10)g =A .2B .2-C .3D .1-4.等比数列{}n a 中,29a =,5243a =,则{}n a 的前4项和为A .81B .120C .168D .1925.圆2240x y x +-=在点P 处的切线方程是A .20x +-=B .40x -=C .40x -+=D .20x +=6.61)x展开式中的常数项为 A .15 B .15- C.20 D .20-7.设复数z 的幅角的主值为23π,则2z =A .2--B .2i -C .2+D .2i8.设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则双曲线的离心率e =A .5B 2.549.不等式113x <+<的解集为A .()0,2B .()()2,02,4-C .()4,0-D .()()4,20,2-- 10正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为A C .3 D11.在ABC ∆中,3AB =,BC =,4AC =,则边AC 上的高为A .32 D .12.4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有A.12种B.24种C.36种D.48种二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在题中横线上.13.函数)1(log 21-=x y 的定义域是 .14.用平面α截半径为R 的球,如果球心到平面α的距离为2R ,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .15.函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . 16.设P 为圆122=+y x 上的动点,则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)解方程.012242=--+x x18.(本小题满分12分)已知α为锐角,且1tan 2α=,求sin 2cos sin sin 2cos 2ααααα-的值. 19.(本上题满分12分)设数列{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且,9221S S = 244S S =,求数列{}n a 的通项公式.20.(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道,沿前侧内墙保留3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少?21.(本小题满分12分)三棱锥P ABC -中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,3PA PB PC ===,(1)求证:AB BC ⊥;(2)设AB BC ==,求PBC 与平面PAC 所成角的大小.22.(本小题满分14分) 设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0(),0,(2>c c F ,且椭圆上存在一点P ,使得直线1PF 与2PF 垂直.(1)求实数m 的取值范围;(2)设L 是相应于焦点2F 的准线,直线2PF 与L 相交于点Q ,若3222-=PF QF ,求直线2PF 的方程.PA B C。
DA2004年高考数学全国卷Ⅲ理科(必修+选修Ⅱ)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.28 14.21- 15.43 16.2 三、解答题17.本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分. 解:αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++ .)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角,且415sin =α时 41cos ,0cos sin -=≠+ααα, 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18.本小题主要考查函数的导数计算,利用导数讨论函数的性质,判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分12分.解:,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调递增;当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调递减.所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0,2]上的最小值,412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0,2]上的最大值.19.本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念,以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分.解:(Ⅰ)ξ的可能值为-300,-100,100,300.P (ξ=-300)=0.23=0.008, P (ξ=-100)=3×0.22×0.8=0.096,P (ξ=100)=3×0.2×0.82=0.384, P (ξ=300)=0.83=0.512,所以ξ的概率分布为ξ-300 -100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512根据ξ的概率分布,可得ξ的期望E ξ=(-300)×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180.(Ⅱ)这名同学总得分不为负分的概率为P (ξ≥0)=0.384+0.512=0.896.20.本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分12分.解:(Ⅰ)如图1,取AD 的中点E ,连结PE ,则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ,垂足为O ,连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ,所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角,由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6,所以PO=33,四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ (Ⅱ)解法一:如图1,以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P (0,0,33),A (23,-3,0),B (23,5,0),D (-23,-3,0)所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二:如图2,连结AO ,延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3,AE=23,又知AD=43,AB=8,得.ABAD AE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD.得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的射影,所以PA ⊥BD.21.本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解:直线l 的方程为1=+by a x ,即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式,且1>a ,得到点(1,0)到直线l 的距离221)1(b a a b d +-=,同理得到点(-1,0)到直线l 的距离222)1(b a a b d ++=.222221c ab b a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即 解不等式,得 .5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e 22.本小题主要考查函数的导数,三角函数的性质,等差数列与等比数列的概念和性质,以 及综合运用的能力.满分14分.(Ⅰ)证明:.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x e x f x x x ----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x e x解出n n x ,π=为整数,从而Λ,3,2,1,==n n x n π.)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n 所以数列)}({n x f 是公比π--=e q 的等比数列,且首项.)(1q x f = (Ⅱ)解:)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++=Λ),21(1-+++=n nq q q Λπ),11()21(),2(122n nn n n n n n nq qq q nq q q q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππΛΛ 从而).11(1n nn nq q q q q S ----=π nS S S n +++Λ21 .)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q q nq q q q n q q q q n q q qnq q q n q q q q n q q q n n n nn n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππΛΛ 因为0lim .1||=<=∞→-n n q e q π,所以 .)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n Λ。
2004—数三真题、标准答案及解析
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(22) (本题满分 13 分)
梦飞翔考研工作室 友情提供 QQ:81321659
2004 年考研数学(三)真题解析
一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上) (1) 若 lim x x →0
sin x (cos x − b) = 5 ,则 a = e −a
*
工
(D) 当 | A |= 0 时, | B |= 0 .
QQ : 81
[ D ] [ ]
(A) 至少存在一点 x0 ∈ ( a, b) ,使得 f ( x0 ) > f (a).
(14) 设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) , 对给定的 α ∈ (0,1) , 数 u α 满足 P{ X > u α } = α , 若 P{| X |< x} = α , 则 x 等于
梦
飞
(A)
uα .
2
(B)
u
1−
α 2
.
(C)
u 1−α .
2
(D)
u1−α .
三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) (15) (本题满分 8 分)
1 cos 2 x 求 lim ( − ). x → 0 sin 2 x x2
(16) (本题满分 8 分)
x →∞
1 ⎧ ⎪f( ), x≠0 ,则 x ⎪ ⎩ 0 ,x=0
(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. [ ] (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|,则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. [ ] (10) 设有下列命题:
2004年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]
2004年全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1-P)n -k一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 ( )A .{2|-<x x }B .{3|>x x }C .{21|<<-x x }D . {32|<<x x }2.=-+-+→542lim 22x x x x n x ( )A .21B .1C .52 D .41 3.设复数ωω++-=1,2321则i =( )A .ω-B .2ωC .ω1-D .21ω 4.已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称,则圆C 的方程为( )A .1)1(22=++y xB .122=+y xC .1)1(22=++y xD .1)1(22=-+y x球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π,其中R 表示球的半径5.已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π,则ϕ可以是( )A .6π-B .6πC .12π-D .12π 6.函数x e y -=的图象( )A .与x e y =的图象关于y 轴对称B .与x e y =的图象关于坐标原点对称C .与x e y -=的图象关于y 轴对称D .与x e y -=的图象关于坐标原点对称7.已知球O 的半径为1,A 、B 、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为2π,则 球心O 到平面ABC 的距离为( )A .31 B .33 C .32 D .36 8.在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 9.已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O ′和A ′,则λ=''A O e ,其中λ= ( )A .511 B .511-C .2D .-2 10.函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数( )A .)23,2(ππB .)2,(ππC .)25,23(ππ D .)3,2(ππ 11.函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 ( )A .4π B .2π C .πD .2π12.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521 的数共有 ( ) A .56个 B .57个 C .58个 D .60个第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的概率分布为14.设y x ,满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15.设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 . 16.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱其中,真命题的编号是 (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中,.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A (Ⅰ)求证:B A tan 2tan =;(Ⅱ)设AB=3,求AB 边上的高. 18.(本小题满分12分) 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组,每组4支.求:(Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率. 19.(本小题满分12分)数列}{n a 的前n 项和记为S n ,已知).3,2,1(2,111 =+==+n S nn a a n n 证明: (Ⅰ)数列}{nS n是等比数列; (Ⅱ).41n n a S =+ 20.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2,侧棱AA 1=1,侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D ,B 1C 1的中点为M.(Ⅰ)求证CD ⊥平面BDM ;(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.21.(本小题满分12分)给定抛物线C :y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
2004北京高考数学真题与答案
2004年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3至9页.共150分.考试时间120分钟. 第I 卷(选择题 共40分) 注意事项:1. 答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式:三角函数的积化和差公式sin cos [sin()sin()]αβαβαβ=++-12cos cos [cos()cos()]αβαβαβ=++-12sin sin [cos()cos()]αβαβαβ=-+--12正棱台、圆台的侧面积公式 S c c l 台侧=+12(')其中c’,c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长球体的表面积公式S R 球=42π其中R 表示球的半径一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集R ,M x x =-≤≤{|}22,N x x =<{|}1,则M N 等于( )A .{|}x x <-2B .{|}x x -<<21C .{|}x x <1D .{|}x x -≤<21 2.满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A . 一条直线B . 两条直线C . 圆D . 椭圆 3.设m 、n 是两条不同的直线,αβγ,,是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若m ⊥α,n //α,则m n ⊥ ②若αβ//,βγ//,m ⊥α,则m ⊥γ ③若m //α,n //α,则m n // ④若αγ⊥,βγ⊥,则αβ// 其中正确命题的序号是( ) A .①和② B . ②和③C . ③和④D . ①和④4.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 是侧面BB C C 11内一动点,若P 到直线BC 与 直线C D 11的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是( )D C 1A CA .直线B .圆C . 双曲线D . 抛物线5.函数f x x ax ()=--223在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是 ( )A .a ∈-∞(,]1B .a ∈+∞[,)2C .a ∈[,]12D . (,1][2,)a ∈-∞+∞6.已知a 、b 、c 满足c b a <<,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是 ( ) A .ab ac > B . c b a ()-<0C . cb ab 22<D . 0)(<-c a ac7.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法共有n 种.在这些取 法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ,则mn等于 ( )A .110B . 15C . 310D . 258.函数,(),x x Pf x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩,其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集,又规定(){|(),}f P y y f x x P ==∈,(){|(),}f M y y f x x M ==∈,给出下列四个判断:①若P M =∅,则()()f P f M =∅ ②若P M ≠∅,则()()f P f M ≠∅ ③若PM R =,则()()f P f M R =④若PM R ≠,则()()f P f M R ≠其中正确判断有 ( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9.函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________. 10.方程lg()lg lg 4223xx+=+的解是___________________ .11.某地球仪上北纬30纬线的长度为12πcm ,该地球仪的半径是__________cm ,表面积是______________cm 2. 12.曲线C :x y ==-+⎧⎨⎩cos sin θθ1(θ为参数)的普通方程是__________,如果曲线C 与直线x y a ++=0有公共点,那么实数a 的取值范围是_______________.13.在函数f x ax bx c ()=++2中,若a ,b ,c 成等比数列且f ()04=-,则f x ()有最______________值(填“大”或“小”),且该值为______________.14.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}a n 是等和数列,且a 12=,公和为5,那么a 18的值为______________,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________ .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在∆ABC 中,sin cos A A +=22,AC =2,AB =3,求tgA 的值和∆ABC 的面积. 16.(本小题满分14分)如图,在正三棱柱ABC A B C -111中,AB =3,AA 14=,M 为AA 1的中点,P 是BC 上一点,且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29,设这条最短路线与CC 1的交点为N ,求:(I )该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (II )PC 和NC 的长;(III )平面NMP 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)1N C B17.(本小题满分14分)如图,过抛物线y px p 220=>()上一定点00(,)P x y (y 00>),作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ,22(,)B x y (I )求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离 (II )当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y y y 12+的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数x18.(本小题满分14分)函数f x ()是定义在[0,1]上的增函数,满足f x f x()()=22且f ()11=,在每个区间(,]12121i i -(i =1,2……)上,y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分. (I )求f ()0及f ()12,f ()14的值,并归纳出f i i ()(,,)1212= 的表达式;(II )设直线x i =12,x i =-121,x 轴及y f x =()的图象围成的矩形的面积为a i (i =1,2……),记S k a a a n n ()lim()=+++→∞12 ,求S k ()的表达式,并写出其定义域和最小值19.(本小题满分12分)某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站,AB =5km ,BC =3km ,在列车运行时刻表上,规定列车8时整从A 站发车,8时07分到达B 站并停车1分钟,8时12分到达C 站.在实际运行中,假设列车从A 站正点发车,在B 站停留1分钟,并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶,列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.(I )分别写出列车在B 、C 两站的运行误差;(II )若要求列车在B ,C 两站的运行误差之和不超过2分钟,求v 的取值范围. 20.(本小题满分13分)给定有限个正数满足条件T :每个数都不大于50且总和L =1275.现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r 1与所有可能的其他选择相比是最小的,r 1称为第一组余差;然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为r 2;如此继续构成第三组(余差为r 3)、第四组(余差为r 4)、……,直至第N 组(余差为r N )把这些数全部分完为止.(I )判断r r r N 12,,, 的大小关系,并指出除第N 组外的每组至少含有几个数; (II )当构成第n (n <N )组后,指出余下的每个数与r n 的大小关系,并证明r n Ln n ->--11501;(III )对任何满足条件T 的有限个正数,证明:N ≤11.2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(北京卷)参考答案一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分.1.A 2.C 3.A 4.D 5.D 6.C7.B 8.B二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分. 9.π10.x x 1201==, 11.43 192π12.x y 2211++=() 1212-≤≤+a13.大 -314.3 当n 为偶数时,S n n =52;当n 为奇数时,S n n =-5212三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.满分13分. 解法一:.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180A <<,.323131)6045(.105,6045--=-+=+=∴==-∴tg tgA A Asin sin sin()sin cos cos sin A ==+=+=+105456045604560264.S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin () 解法二: sin cos A A +=22, (1) .0c o s ,0s i n ,1800,21c o s s i n 2,21)c o s (s i n 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A(sin cos )sin cos A A A A -=-=21232, ∴-=sin cos A A 62, (2) (1)+(2)得:sin A =+264, (1)-(2)得:cos A =-264, ∴==+⨯-=--tgA AAsin cos 26442623. (以下同解法一)16.满分14分.解:(I )正三棱柱ABC A B C -111的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为949722+=.(II )如图1,将侧面BB C C 11绕棱CC 1旋转120使其与侧成AA C C 11在同一平面上,点P 运动到点P 1的位置,连接MP 1,则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线.B设PC x =,则P C x 1=,在Rt MAP ∆1中,由勾股定理得()322922++=x 求得x =2..54,52.2111=∴====∴NC A P C P MA NC C P PC(III )如图2,连结PP 1,则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线,作NH PP ⊥1于H ,又CC 1⊥平面ABC ,连结CH ,由三垂线定理得,CH PP ⊥1.A∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成二面角的平面角(锐角) 在Rt PHC ∆中, ∠=∠=PCH PCP 12601, 12PCCH ∴==. 在Rt NCH ∆中,tg NHC NC CH ∠===45145, 故平面NMP 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小为arctg 45. 17.满分14分. 解:(1)当y p =2时,x p =8, 又抛物线y px 22=的准线方程为x p=-2.由抛物线定义得,所求距离为p p p8258--=().(2)设直线P A 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=,y px 0202=,相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-. 故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102().同理可得k py y x x PB =+≠22020().由P A ,PB 倾斜角互补知k k PA PB =-, 即221020p y y py y +=-+, 所以y y y 1202+=-, 故y y y 1202+=-. 设直线AB 的斜率为k AB由y px 2222=,y px 1212= 相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-, 所以k y y x x py y x x AB =--=+≠212112122(). 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120,所以k AB 是非零常数.18.满分14分.解:(I )由f f ()()020=,得f ()00=由f f ()()1212=及f ()11=,得f f ()()1212112==. 同理,f f ()()1412124==1.归纳得f i i i()(,,)121212== . (II )当时, f x k x i i ()()=+---121211a k i i i i i i i =++------121212121212121111[()]()=-1=-()(,,)1421221k i i .所以{}a n 是首项为1214()-k ,公比为14的等比数列,所以S k a a a k k n n ()lim()()()=+++=--=-→∞1212141142314. S k ()的定义域为0<≤k 1,当k =1时取得最小值12.19.满分12分. 解:(I )列车在B ,C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是 ||3007v -和||48011v-. (II )由于列车在B ,C 两站的运行误差之和不超过2分钟,所以||||3007480112v v-+-≤. (*) 当03007<≤v 时,(*)式变形为3007480112v v -+-≤,解得393007≤≤v ; 当300748011<≤v 时,(*)式变形为7300480112-+-≤v v,解得300748011<≤v ; 当v >48011时,(*)式变形为700114802-3+-≤v v ,解得480111954<≤v . 综上所述,v 的取值范围是[39,1954]20.满分13分.解:(I )r r r N 12≤≤≤ .除第N 组外的每组至少含有150503=个数 (II )当第n 组形成后,因为n N <,所以还有数没分完,这时余下的每个数必大于余差r n ,余下数之和也大于第n 组的余差r n ,即L r r r r n n --+-++->[()()()]150******** , 由此可得r r r n L n 121150+++>-- .第11页 共11页 因为()n r r r r n n -≥+++--11121 ,所以r n L n n ->--11501. (III )用反证法证明结论,假设N >11,即第11组形成后,还有数没分完,由(I )和(II )可知,余下的每个数都大于第11组的余差r 11,且r r 1110≥,故余下的每个数>≥>⨯-=r r 111015*********375. . (*) 因为第11组数中至少含有3个数,所以第11组数之和大于37531125..⨯=. 此时第11组的余差11150r =-第11组数之和150112.537.5<-=这与(*)式中r 11375>.矛盾,所以N ≤11.。
2004年高考理科数学全国卷(word版含答案)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1-P)n -k一、选择题 :本大题共12小题,每小题6分,共60。
1.(1-i)2·i= ( )A .2-2iB .2+2iC .-2D .2 2.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 ( )A .bB .-bC .b1D .-b1 3.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |= ( )A .7B .10C .13D .4 4.函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是( )A .y=x 2-2x +2(x <1) B .y=x 2-2x +2(x ≥1)C .y=x 2-2x (x <1)D .y=x 2-2x (x ≥1) 5.73)12(xx -的展开式中常数项是( )A .14B .-14C .42D .-42 6.设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I ,则下列各式中错误..的是 ( )A .( IA)∪B=IB .( IA)∪( I B)=I C .A ∩( IB)=φD .( I A)∪( I B)=I B 7.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径为P ,则||2PF = ( )A .23 B .3C .27 D .48.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )A .[-21,21] B .[-2,2]C .[-1,1]D .[-4,4]9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象 ( )A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移3π个单位长度10.已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ,则S T等于( )A .91B .94 C .41 D .31 11.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为 ( )A .12513 B .12516 C .12518 D .12519 12.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 ( )A .3-21 B .21-3 C .-21-3 D .21+3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为 .15.已知数列{a n},满足a1=1,a n=a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1(n≥2),则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中,正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18.(本小题满分12分)一接待中心有A、B、C、D四部热线电话,已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5,电话C、D 占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19.(本小题满分12分)已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥 P—ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.(I)求点P到平面ABCD的距离,Array(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.21.(本小题满分12分)设双曲线C :1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围: (II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125=求a 的值.22.(本小题满分14分)已知数列1}{1 a a n 中,且 a 2k =a 2k -1+(-1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. (I )求a 3, a 5;(II )求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修I )参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.{x |x ≥-1} 14.x 2+y 2=4 15.2!n 16.①②④ 三、解答题17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.解:xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为:19.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分.解:函数f (x )的导数:.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='(I )当a =0时,若x <0,则)(x f '<0,若x >0,则)(x f '>0.(II )当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以,当a >0时,函数f (x )在区间(-∞,-a 2)内为增函数,在区间(-a2,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;(III )当a <0时,由2x +ax 2>0,解得0<x <-a2, 由2x +ax 2<0,解得x <0或x >-a2. 所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-a2)内为增函数,在区间(-a2,+∞)内为减函数. 20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.(I )解:如图,作PO ⊥平面ABCD ,垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ,连结PE. ∵AD ⊥PB ,∴AD ⊥OB ,∵PA=PD ,∴OA=OD ,于是OB 平分AD ,点E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角, ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯, 即点P 到平面ABCD 的距离为23. (II )解法一:如图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点,x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到: 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二:如图,取PB 的中点G ,PC 的中点F ,连结EG 、AG 、GF ,则AG ⊥PB ,FG//BC ,FG=21BC. ∵AD ⊥PB ,∴BC ⊥PB ,FG ⊥PB , ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ,∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ,∴EG ⊥PB ,且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中,EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中,EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π-∠GAE.所以所求二面角的大小为π-arctan23. 21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解:(I )由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e (II )设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解:(I )a 2=a 1+(-1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(-1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以,a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k -1+(-1)k +3k ,所以a 2k+1-a 2k -1=3k +(-1)k ,同理a 2k -1-a 2k -3=3k -1+(-1)k -1,……a 3-a 1=3+(-1).所以(a 2k+1-a 2k -1)+(a 2k -1-a 2k -3)+…+(a 3-a 1)=(3k +3k -1+…+3)+[(-1)k +(-1)k -1+…+(-1)],由此得a 2k+1-a 1=23(3k -1)+21[(-1)k -1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k -1+(-1)k=2123+k (-1)k -1-1+(-1)k =2123+k (-1)k =1. {a n }的通项公式为: 当n 为奇数时,a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时,.121)1(2322-⨯-+=nnn a。
2004年高考全国卷Ⅲ文科数学试题及答案(内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区)
普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷参考公式:三角函数的和差化积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题 (1)设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈,(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈,则集合MN 中元素的个数为( )A .1B .2C .3D .4(2)函数sin2xy =的最小正周期是( ) A .2πB .πC .2πD .4π(3) 记函数13xy -=+的反函数为()y g x =,则(10)g =( ) A . 2B . 2-C . 3D . 1-(4) 等比数列{}n a 中,29,a = 5243a =,则{}n a 的前4项和为( )A . 81B . 120C .168D . 192(5) 圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是( )A .20x -= B .40x +-= C .40x +=D .20x -+=正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长,l 表示 斜高或母线长 台体的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径(6) 61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为( )A . 15B . 15-C .20D . 20-(7) 设复数z 的幅角的主值为23π,则2z =( )A . 2--B . 2i -C . 2+D . 2i(8) 设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则双曲线的离心率e =( )A . 5B .C .D . 54(9) 不等式113x <+<的解集为( )A . ()0,2B . ()()2,02,4-C . ()4,0-D . ()()4,20,2--(10) 正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为( )A .B .C .D .(11) 在ABC 中,3,4AB BC AC ===,则边AC 上的高为( )A .B .C .32D .(12) 4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( )A . 12 种B . 24 种C 36 种D . 48 种第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在题中横线上. (13) 函数)1(log 21-=x y 的定义域是 .(14) 用平面α截半径为R 的球,如果球心到平面α的距离为2R,那么截得小圆的面积与球 的表面积的比值为 .(15) 函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . (16) 设P 为圆122=+y x 上的动点,则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)解方程.012242=--+x x(18) (本小题满分12分)已知α为锐角,且αααααα2cos 2sin sin cos 2sin ,21tan -=求的值.(19) (本上题满分12分)设数列}{n a 是公差不为零的等差数列,S n 是数列}{n a 的前n 项和,且,9221S S =244S S =,求数列}{n a 的通项公式.20.(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道,沿前侧内墙保留3m 宽的空地。
2004 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ
!""#年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷!)数学本试卷分第"卷(选择题)和第#卷(非选择题)两部分$满分%&"分$考试时间%!"分钟$第"卷(选择题共’"分)参考公式:如果事件!、"互斥,那么#(!("))#(!)(#(")如果事件!、"相互独立,那么#(!・"))#(!)・#(")如果事件!在一次试验中发生的概率是#,那么$次独立重复试验中恰好发生%次的概率#$(%))*%$#%(%+#)$+%正棱锥、圆锥的侧面积公式&锥侧)% !’(其中’表示底面周长,(表示斜高或母线长球的体积公式)球)#,$*,其中*表示球的半径一、选择题:本大题共%!小题,每小题&分,共’"分$在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的$%-(理)已知集合+){",%,!},,){-.-)!.,.!+},则集合+",)/-{"}0-{",%}*-{%,!}1-{",!}(文)已知全集/){",%,!,,,#,&},集合+){",,,&},,){%,#,&},则集合+"(#/,))/-{&}0-{",,}*-{",!,,,&}1-{",%,,,#,&}!-函数0)2!-(-!!)的反函数为/-0)!34-(-5")0-0)34(!-)(-5")*-0)%!34-(-5")1-0)%!34(!-)(-5"),-(理)过点(+%,,)且垂直于直线-+!0(,)"的直线方程为/-!-(0+%)"0-!-(0+&)"*--(!0+&)"1--+!0(6)"(文)已知圆1的半径为!,圆心在-轴的正半轴上,直线,-(#0(#)"与圆1相切,则圆1的方程为/--!(0!+!-+,)"0--!(0!(#-)"*--!(0!(!-+,)"1--!(0!+#-)"#-(理)($%+,7%(7)!)$$/-,(70-+,+7$$*-,+71-+,(7(文)函数0)(-(%)!(-+%)在-)%处的导数等于/-%0-!*-,1-#&-(理)不等式-(-(!)-+,8"的解集为/-{-.-8+!,或"8-8,}0-{-.+!8-8",或-5,}*-{-.-8+!,或-5"}1-{-.-8",或-5,}(文)为了得到函数0),9(%,)-的图象,可以把函数0)(%,)-的图象/-向左平移,个单位长度0-向右平移,个单位长度*-向左平移%个单位长度1-向右平移%个单位长度’-等差数列{.$}中,.%(.!(.,)+!#,.%:(.%;(.!")6:,则此数列前!"项和等于/-%’"0-%:"*-!""1-!!"6-(理)对于直线2、$和平面!,下列命题中的真命题是/-如果2%!,$&!,2、$是异面直线,那么$’!0-如果2%!,$&!,2、$是异面直线,那么$与!相交*-如果2%!,$’!,2、$共面,那么2’$1-如果2’!,$’!,2、$共面,那么2’$(文)正三棱柱侧面的一条对角线长为!,且与底面成#&<角,则此三棱柱的体积为/-$’!$0-’!"!##$"!#%&"(理)已知椭圆的中心在原点,离心率!’(),且它的一个焦点与抛物线")’*+#的焦点重合,则此椭圆方程为,"#)+-")%’(."#)&-")#’(!"#))-")’($"#)+-")’((文)函数"’)/01(!%*#)*23/(!#-#)(#"!)的最小值等于,"*%."*)!!"*($"*45"从4位男教师和+位女教师中选出%位教师,派到%个班担任班主任(每班(位班主任),要求这%位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有,")(6种."+)6种!"#%6种$"&+6种(6"(理)已知球的表面积为)6!,球面上有$、%、&三点7如果$%’$&’),%&!’)%,则球心到平面$%&的距离为!,"(.")!!"%$")(文)已知球的表面积为)6!,球面上有$、%、&三点7如果$%’$&’%&!’)%,则球心到平面$%&的距离为!,"(.")!!"%$")(("#$%&中,’、(、)分别为$$、$%、$&的对边,如果’、(、)成等差数列,$%’%68,#$%&的面积为%),那么(’,"!(-%)!."(-%!"!)-%)!$")-%()"(理)设函数*(#)(#"!)为奇函数,*(()’(),*(#-))’*(#)-*()),则*(4)’,"6."(!"4)$"4(文)已知函数"’93:(+#与"’+#的图象有公共点$,且点$的横坐标为),则+’,"*(+."(+!"*()$"()第"卷(非选择题共56分)二、填空题:本大题共+小题,每小题+分,共(#分7把答案填写在题中的横线上7(%"(#*(!#)&展开式中#4的系数为7(+"向量!、"满足(!*")・()!-")’*+,且;!;’),;";’+,则!与"夹角的余弦值等于7(4"(理)函数*(#)’23/#*()23/)#(#"!)的最大值等于7(文)已知函数"’()/01#-!$($<6)的最小正周期为%!,则$’7(#"设#,"满足约束条件#-"%("%#"&{6,则,’)#-"的最大值是7三、解答题:本大题共#小题,共=+分7解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤7(="(本小题满分()分)已知!为第二象限角,且/01!’!(4+,求/01(!-!+)/01)!-23/)!-(的值7(&"(本小题满分()分)(理)求函数*(#)’91((-#)*(+#)在[6,)]上的最大值和最小值7(文)已知直线-(为曲线"’#)-#*)在点((,6)处的切线,-)为该曲线的另一条切线,且-(’-)7(()求直线-)的方程;())求由直线-(、-)和#轴所围成的三角形的面积7(理)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题%竞赛规则规定:每题回答正确得!&&分,回答不正确得’!&&分%假设这名同学每题回答正确的概率均为&%(,且各题回答正确与否相互之间没有影响%(!)求这名同学回答这三个问题的总得分!的概率分布和数学期望;($)求这名同学总得分不为负分(即!!&)的概率%(文)某同学参加科普知识竞赛,需回答)个问题%竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得!&&分、!&&分、$&&分,答错得零分%假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为&%(、&%*、&%+,且各题答对与否相互之间没有影响%(!)求这名同学得)&&分的概率;($)求这名同学至少得)&&分的概率%如图,四棱锥!—"#$%中,底面"#$%为矩形,"# ,(,"%",-),侧面!"%为等边三角形,并且与底面所成二面角为+&.%(!)求四棱锥!—"#$%的体积;($)证明!"##%%双曲线!!"!%#!$!&"("’",$’()的焦距为!%,直线&过点(",()和((,$),且点(",()到直线&的距离与点(%",()到直线&的距离之和’!$)%,求双曲线的离心率(的取值范围*(理)已知函数)(!)&+%!(,-.!/.01!),将满足)2(!)&(的所有正数!从小到大排成数列{!*}*(")证明数列{)(!*)}为等比数列;(!)记+*是数列{!*)(!*)}的前*项和,求304*"5+"/+!/…/+***(文)已知数列{"*}为等比数列,"!&6,")&"6!*(")求数列{"*}的通项公式;(!)设+*是数列{"*}的前*项和,证明+*・+*/!+!*/"#"*。
2004年高考·全国卷Ⅲ(老课程卷:内蒙、海南、西藏、陕西等地区)数学(文)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷参考公式:三角函数的和差化积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题 (1)设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈,(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈,则集合M N 中元素的个数为( )A .1B .2C .3D .4(2)函数sin2xy =的最小正周期是( ) A .2πB .πC .2πD .4π(3) 记函数13xy -=+的反函数为()y g x =,则(10)g =( )A . 2B . 2-C . 3D . 1-(4) 等比数列{}n a 中,29,a = 5243a =,则{}n a 的前4项和为( )A . 81B . 120C .168D . 192(5) 圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是( )A .20x -= B .40x -=正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长,l 表示 斜高或母线长 台体的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径C . 40x +=D . 20x +=(6) 61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为( )A . 15B . 15-C .20D . 20-(7) 设复数z 的幅角的主值为23π2z =( )A . 2--B . 2i -C . 2+D . 2i(8) 设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则双曲线的离心率e =( )A . 5B .C .D . 54(9) 不等式113x <+<的解集为( )A . ()0,2B . ()()2,02,4-C . ()4,0-D . ()()4,20,2--(10) 正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为( )A .B .C .D .(11) 在ABC 中,3,4AB BC AC ===,则边AC 上的高为( )A .B .C .32D .(12) 4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( )A . 12 种B . 24 种C 36 种D . 48 种第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在题中横线上. (13) 函数)1(log 21-=x y 的定义域是 .(14) 用平面α截半径为R 的球,如果球心到平面α的距离为2R,那么截得小圆的面积与球 的表面积的比值为 . (15) 函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . (16) 设P 为圆122=+y x 上的动点,则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)解方程.012242=--+x x(18) (本小题满分12分)已知α为锐角,且αααααα2cos 2sin sin cos 2sin ,21tan -=求的值.(19) (本上题满分12分)设数列}{n a 是公差不为零的等差数列,S n 是数列}{n a 的前n 项和,且,9221S S =244S S =,求数列}{n a 的通项公式.20.(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)
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——笛卡尔web试卷生成系统谢谢使用一、填空题(每空?分,共?分)1、已知函数的最小正周期为3,则A= .2、设满足约束条件:则的最大值是.二、选择题(每空?分,共?分)3、在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为A. B. C.D.4、设集合U={1,2,3,4,5},集合M={0,3,5},N={1,4,5},则M∩(U N)=(A){5} (B){0,3} (C){0,2,3,5}(D) {0,1,3,4,5}5、函数的反函数为(A)(B)(C)(D)6、正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与底面成45°角,则此三棱柱的体积为(A)(B)(C)(D)7、函数在处的导数等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)48、为了得到函数的图像,可以把函数的图像(A)向左平移3个单位长度(B)向右平移3个单位长度(C)向左平移1个单位长度(D)向右平移1个单位长度9、等差数列中,,则此数列前20项和等于(A)160 (B)180 (C)200(D)22010、已知函数的图象有公共点A,且点A的横坐标为2,则(A)(B)(C)(D)11、已知圆C的半径为2,圆心在轴的正半轴上,直线与圆C相切,则圆C的方程为(A )(B )(C )(D )12、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班1位班任),要求这3位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有(A)210种(B)420种(C)630种(D)840种13、函数的最小值等于(A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)-14、已知球的表面积为20,球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=2,则球心到平面ABC的距离为(A)1 (B)(C ) (D)215、△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为,那么b=A.B. C.D.16、已知函数(A)(B)-(C)2 (D)-217、函数的反函数是A. B.C. D.18、的展开式中常数项是(A)14 (B)-14 (C)42 (D)-4219、设若则=A. B. C. D.420、设抛物线的准线与轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是A. B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4]21、已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H,设四面体EFGH的表面积为T ,则等于A. B. C. D.22、从1,2,……,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是A. B. C.D.三、计算题(每空?分,共?分)23、已知数列{}为等比数列,(Ⅰ)求数列{}的通项公式;(Ⅱ)设是数列{}的前项和,证明24、已知直线为曲线在点(1,0)处的切线,为该曲线的另一条切线,且(Ⅰ)求直线的方程;(Ⅱ)求由直线、和轴所围成的三角形的面积.25、双曲线的焦距为2c ,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.参考答案一、填空题1、3/22、2二、选择题3、B4、B5、C6、A7、D8、D9、B10、A11、D12、B13、C14、A15、B16、B17、B18、A19、B20、C21、A22、C三、计算题23、解:(I)设等比数列{a n}的公比为q,则a2=a1q, a5=a1q4.a1q=6,依题意,得方程组a1q4=162.解此方程组,得a1=2, q=3.故数列{a n}的通项公式为a n=2・3n-1.(II)24、解:(Ⅰ)y′=2x+1.直线l1的方程为y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b, b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2 因为l1⊥l2,则有2b +1=所以直线l2的方程为(II)解方程组得所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、.所以所求三角形的面积25、解:直线的方程为,即由点到直线的距离公式,且,得到点(1,0)到直线的距离,同理得到点(-1,0)到直线的距离由即于是得解不等式,得由于所以的取值范围是读一切好书,就是和许多高尚的人谈话。
2004年全国高考理科数学试题及答案-安徽
2004年高考试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1-P)n -k一、选择题 :本大题共12小题,每小题6分,共60。
1.(1-i)2·i= ( )A .2-2iB .2+2iC .-2D .2 2.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 ( )A .bB .-bC .b1D .-b1 3.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |= ( )A .7B .10C .13D .4 4.函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是( ) A .y=x 2-2x +2(x <1) B .y=x 2-2x +2(x ≥1)C .y=x 2-2x (x <1)D .y=x 2-2x (x ≥1) 5.73)12(xx -的展开式中常数项是( )A .14B .-14C .42D .-426.设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I ,则下列各式中错误..的是 ( )A .(I C A)∪B=IB .(IC A)∪(I C B)=I球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径C .A ∩(I C B)=φD .(I C A)∪(I C B)= I C B7.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 为P ,则||2PF =( )A .23B .3C .27 D .48.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A .[-21,21] B .[-2,2]C .[-1,1]D .[-4,4]9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( ) A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移3π个单位长度10.已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ,则ST等于( )A .91B .94C .41 D .31 11.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为 ( )A .12513B .12516C .12518D .1251912.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 ( )A .3-21B .21-3 C .-21-3 D .21+3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为 .15.已知数列{a n },满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1(n ≥2),则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18.(本小题满分12分)一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线,已知某一时刻A 、B 占线的概率均为0.5,C 、D 占线的概率均为0.4,各部是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19.(本小题满分12分)已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥 P —ABCD ,PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.(I )求点P 到平面ABCD 的距离,(II )求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21.(本小题满分12分)设双曲线C :1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围: (II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125=求a 的值. 22.(本小题满分14分)已知数列1}{1=a a n 中,且a 2k =a 2k -1+(-1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. (I )求a 3, a 5;(II )求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学(必修+选修Ⅱ)(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.{x |x ≥-1} 14.x 2+y 2=4 15.2!n 16.①②④ 三、解答题17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.解:xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解:函数f (x )的导数:.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='(I )当a =0时,若x <0,则)(x f '<0,若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数. (II )当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以,当a >0时,函数f (x )在区间(-∞,-a 2)内为增函数,在区间(-a 2,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;(III )当a <0时,由2x +ax 2>0,解得0<x <-a2, 由2x +ax 2<0,解得x <0或x >-a2. 所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-a2)内为增函数,在区间(-a2,+∞)内为减函数. 20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.(I )解:如图,作PO ⊥平面ABCD ,垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ,连结PE.∵AD ⊥PB ,∴AD ⊥OB ,∵PA=PD ,∴OA=OD ,于是OB 平分AD ,点E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角, ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯, 即点P 到平面ABCD 的距离为23. (II )解法一:如图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点,x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到:,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=于是有所以θ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角, 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二:如图,取PB 的中点G ,PC 的中点F ,连结EG 、AG 、GF ,则AG ⊥PB ,FGBC ,FG=21BC. ∵AD ⊥PB ,∴BC ⊥PB ,FG ⊥PB , ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ,∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ,∴EG ⊥PB ,且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中,EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中,EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π-∠GAE.所以所求二面角的大小为π-arctan23. 21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解:(I )由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=Y Θ的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e(II )设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得Θ 由于x 1+x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解:(I )a 2=a 1+(-1)1=0, a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(-1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以,a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k -1+(-1)k +3k , 所以a 2k+1-a 2k -1=3k +(-1)k ,同理a 2k -1-a 2k -3=3k -1+(-1)k -1, ……a 3-a 1=3+(-1).所以(a 2k+1-a 2k -1)+(a 2k -1-a 2k -3)+…+(a 3-a 1)=(3k +3k -1+…+3)+[(-1)k +(-1)k -1+…+(-1)], 由此得a 2k+1-a 1=23(3k -1)+21[(-1)k -1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k -1+(-1)k =2123+k (-1)k -1-1+(-1)k =2123+k (-1)k =1.{a n }的通项公式为: 当n 为奇数时,a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时,.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004年高考.全国卷Ⅲ.理科数学试题及答案(内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区)
3
cos
x
在区间
0,
2
上的最小值为
.
15.已知函数 y f ( x) 是奇函数,当 x 0 时, f ( x) 3x 1,设 f ( x) 的反函数是
y g(x) ,则 g(8)
.
16.设 P 是曲线 y 2 4( x 1) 上的一个动点,则点 P 到点 (0,1) 的距离与点 P 到 y 轴的距
A.12 种
B.24 种
C.36 种
D.48 种
第Ⅱ卷
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上,解答应写出文字说明,证明过
程或演算步骤.)
13.用平面 截半径为 R 的球,如果球心到平面 的距离为 R ,那么截得小圆的面积与球 2
的表面积的比值为
.
14.函数 y sin x
斜高或母线长
台体的体积公式
V球
4 R3 3
其中 R 表示球的半径
一、选择题
1.设集合 M x, y x2 y2 1, x R, y R , N x, y x2 y 0, x R, y R ,
则集合 M N 中元素的个数为
()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.函数 y sin x 的最小正周期是 2
2004 年普通高等学校招生全国统一考试
数学 (理工农林医类)
(旧教材·全国卷)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 1 页,第Ⅱ卷 3 至 10 页。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
沿左.右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形
2004年高考数学试题(全国3理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅲ 理工类数学试题(人教版旧教材)第I 卷(A )一、选择题: ⑴设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈,(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈,则M N 中元素的个数为( ) A.1 B.2C.3D.4⑵函数sin 2xy =的最小正周期是( ) A.2πB.πC.2πD.4π ⑶设数列{}n a 是等差数列,26,a =- 86a =,S n 是数列{}n a 的前n 项和,则( )A.S 4<S 5B.S 4=S 5C.S 6<S 5D.S 6=S 5⑷圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是( )A.20x -=B.40x -=C.40x +=D.20x +=⑸函数y =()C.[-2,-1)(1,2]D.(-2,-1) (1,2)⑹设复数z 的幅角的主值为23π2z =( )A. 2--B. 2i -C. 2+D. 2i⑺设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为12y x =±,则双曲线的离心率e =( )A. 5B.C.D. 54⑻不等式113x <+<的解集为( )A.()0,2B.()()2,02,4-C.()4,0- D.()()4,20,2--⑼正三棱柱的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱柱的体积为( )A.B.C. D.⑽在ABC ∆中,3,4AB BC AC ===,则边AC 上的高为( )A.B.C. 32 D.⑾设函数2(1)1()41x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为( )A.(-∞,-2] [0,10]B.(-∞,-2] [0,1]C.(-∞,-2] [1,10]D.[-2,0] [1,10]⑿4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( ) A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48 种第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. ⒀用平面α截半径为R 的球,如果球心到截面的距离为2R,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为________ ⒁函数sin y x x =在区间[0,2π]的最小值为__________C⒂已知函数y =f (x )是奇函数,当x ≥0时, f (x )=3x -1,设f (x )的反函数是y =g (x ),则g (-8)=___⒃设P 为曲线y 2=4(x -1)上的一个动点,则点P 到点(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为_________三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤⒄(本小题满分12分)已知α为锐角,且tg α=12,求sin 2cos sin sin 2cos 2ααααα-的值. ⒅(本小题满分12分)解方程4x +|1-2x |=11.⒆(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为 800m 2的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 l m 宽的通道,沿前侧内墙保留3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?⒇(本小题满分12分)三棱锥P-ABC 中,侧面P AC 与底面ABC 垂直,P A =PB =(1)求证 AB ⊥BC ;(II)如果AB=BC=AC 与侧面P AC 所成角的大小.(21) (本小题满分12分)设椭圆2211xy m +=+的两个焦点是 F 1(-c ,0), F 2(c ,0)(c >0),且椭圆上存在点P ,使得直线 PF 1与直线PF 2垂直.(I)求实数 m 的取值范围.(II)设l 是相应于焦点 F 2的准线,直线PF 2与l 相交于点Q. 若22||2||QF PF =,求直线PF 2的方程.(22)(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =2a n +(-1)n ,n ≥1.⑴写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3; ⑵求数列{a n }的通项公式; ⑶证明:对任意的整数m >4,有4511178m a a a +++< .C 2004年高考试题全国卷3 理工类数学试题(人教版旧教材)(内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区)参考答案一、选择题:1.B2.C3.B4.D5.A6.A7.C 8.D9.C 10.B 11.C 12.C二、填空题:13、3:16 14、1 . 15、-3 16三、解答题:17.解:∵12tgα=,α为锐角∴cosα=∴2sin2cos sin sin(2cos1)1sin2cos22sin cos cos22cosααααααααααα--===.18.解:当x≤0时, 有:4x+1-2x=11 化简得:(2x)2-2x-10=0解之得:2x=2x=舍去).又∵x≤0得2x≤1, 故2x=.当x<0时, 有:4x-1+2x=11化简得:(2x)2+2x-12=0解之得:2x=3或2x= -4(舍去)∴2x=3 x=log23综上可得原方程的解为x=log23.19.解:设温室的长为xm,则宽为800mx,由已知得蔬菜的种植面积S为:8001600(2)(4)80048S x xx x=--=--+4008084()648xx=-+≤(当且仅当400xx=即x=20时,取“=”). 故:当温室的长为20m, 宽为40m时,蔬菜的种植面积最大,最大面积为648m2.20.⑴证明:取AC中点O, 连结PO、BO.∵P A=PC∴PO⊥AC又∵侧面P AC⊥底面ABC∴PO⊥底面ABC又P A=PB=PC∴AO=BO=CO∴△ABC为直角三角形∴AB⑵解:取BC的中点为M,连结OM,PM,所以有OM=12∴PO==由⑴有PO⊥平面ABC,OM⊥BC,由三垂线定理得PM⊥BC ∴平面POM⊥平面PBC,又∵∴△POM是等腰直角三角形,取PM的中点N,连结ON, NC则ON⊥PM, 又∵平面POM⊥平面PBC, 且交线是PM, ∴ON⊥平面PBC∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角.12ON PM OC====∴1sin2ONONCOC∠==∴6ONCπ∠=. 故AC与平面PBC所成的角为6π.21.解:⑴∵直线PF1⊥直线PF2∴以O为圆心以c为半径的圆:x2+y2=c2与椭圆:2211xym+=+有交点.即2222211x y cxym⎧+=⎪⎨+=⎪+⎩有解又∵c 2=a 2-b 2=m +1-1=m >0 ∴222101m x a m m-≤=<=+ ∴1m ≥ ⑵设P (x,y ), 直线PF 2方程为:y =k (x -c )∵直线l的方程为:2a x c ==Q 的坐标为∵22||2||QF PF = ∴点P 分有向线段2QF所成比为3∵F 2∴P) ∵点P 在椭圆上21+=∴k =直线PF 2的方程为:y=x).22.解:⑴当n =1时,有:S 1=a 1=2a 1+(-1) a 1=1;当n =2时,有:S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0;当n =3时,有:S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2;综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2; ⑵由已知得:1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得:1122(1)n n n a a --=+-可化为:1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以112(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列. 故121(1)233n n n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333n n n nn a --=--=--数列{n a }的通项公式为:22[2(1)]3n nn a -=--.⑶由已知得:232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+--23111111[]2391533632(1)m m -=++++++-- 11111[1]2351121=+++++ 11111[1]2351020<+++++ 511(1)1452[]12312m --=+-514221[]23552m -=+-51311131041057()1552151201208m -=-<=<= . 故4511178m a a a +++< ( m >4).。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷Ⅲ.文)
web试卷生成系统谢谢使用一、填空题(每空?分,共?分)1、函数的定义域是.2、用平面α截半径为R的球,如果球心到平面α的距离为,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为.二、选择题(每空?分,共?分)3、函数的最小正周期是A. B.C. D.4、设数列是等差数列,且,是数列的前项和,则A.B. =C.D.5、函数的定义域为A. B. C. D.6、设双曲线的焦点在轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率A. B. C. D.7、不等式的解集为A. B. C. D.8、在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为A.B. C.D.9、设函数,则使得的自变量的取值范围为A. B.C. D.10、将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名,则不同的分配方案共有A.12种B.24种C.36种D.48种三、计算题(每空?分,共?分)11、解方程12、某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?13、设椭圆的两个焦点是与,且椭圆上存在点P,使得直线PF2与直线PF2垂直.(1)求实数m的取值范围;(2)设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q. 若,求直线PF2的方程.14、如图,直三棱柱ABC―A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB =,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M.(Ⅰ)求证CD⊥平面BDM;(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.15、已知数列的前项和满足.(Ⅰ)写出数列的前三项;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对任意的整数,有 .参考答案一、填空题1、2、二、选择题3、C4、B5、A6、C7、D8、B9、A10、C三、计算题11、解:(无解).所以12、解:设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m ,则蔬菜的种植面积所以当答:当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为648m2.13、解:(1)由题设有设点P的坐标为(),由,得,化简得①将①与联立,解得由所以m的取值范围是.(2)准线L的方程为设点Q的坐标为,则②将代入②,化简得由题设,得,无解. 将代入②,化简得由题设,得解得m=2.从而得到PF2的方程14、本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法一:(Ⅰ)如图,连结CA1、AC1、CM,则CA1=.∵CB=CA1=,∴△CBA1为等腰三角形,又知D为其底边A1B的中点,∴CD⊥A1B.∵A1C1=1,C1B1=,∴A1B1=,又BB1=1,∴A1B=2.∵△A1CB为直角三角形,D为A1B的中点,∴CD =A1B=1,CD=CC1.又DM =AC1=,DM=C1M,∴△CDM≌△CC1M, ∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,所以CD⊥平面BDM. (Ⅱ)设F、G分别为BC、BD的中点,连结B1G、FG、B1F,则FG∥CD,FG =CD.∴FG =,FG⊥BD.由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D =A1B=1,所以△BB1D是边长为1的正三角形,于是B1G⊥BD,B1G =∴∠B1GF是所求二面角的平面角.又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=∴cos B1GF ==.即所求二面角的大小为π-arccos解法二:如图,以C为原点建立坐标系.(Ⅱ)B (,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D (,,),M (,1,0),=(,,),=(,-1,-1),=(0,,-),则・=0,・=0,∴CD⊥A1B,CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,所以CD⊥平面BDM.(Ⅱ)设BD中点为G,连结B1G,则G(,,),=(-,,), =(-,-,),∴・=0.∴BD⊥B1G. 又CD⊥BD,∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角. cosθ==-.所以所求二面角的大小等于π-arccos.15、(Ⅰ)解:由由由(Ⅱ)解:当时,有……所以经验证a1也满足上式,所以(Ⅲ)证明:由通项公式得当且n为奇数时,当为偶数时,当为奇数时,所以对任意整数m>4,有。
DA2004年高考数学全国卷Ⅲ文科(必修+选修Ⅰ)
2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题1—12 B C A D D B A D B C A B二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.28 14.23 15.21- 16.2 三、解答题17.本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分. 解:αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++ .)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角,且415sin =α时 41cos ,0cos sin -=≠+ααα, 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18.(本小题主要考查等比数列的概念、前n 项和公式等基础知识,考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分.解:(I )设等比数列{a n }的公比为q ,则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4.a 1q=6,依题意,得方程组a 1q 4=162.解此方程组,得a 1=2, q=3.故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n -1. (II ) .1331)31(2-=--=n n n S.1,113231332313231)33(3212122222122222212≤⋅=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S 即19.本小题主要考查导数的几何意义,两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分.解:(Ⅰ)y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x -3.设直线l 2过曲线y=x 2+x -2上 的点B (b, b 2+b -2),则l 2的方程为y=(2b+1)x -b 2-2因为l 1⊥l 2,则有2b+1=.32,31-=-b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y (II )解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(- l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S 20.本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法,应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解:记“这名同学答对第i 个问题”为事件)3,2,1(=i A i ,则P (A 1)=0.8,P (A 2)=0.7,P (A 3)=0.6.(Ⅰ)这名同学得300分的概率P 1=P (A 12A A 3)+P (1A A 2A 3)=P (A 1)P (2A )P (A 3)+P (1A )P (A 2)P (A 3)=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228.(Ⅱ)这名同学至少得300分的概率P 2=P 1+P (A 1A 2A 3)=0.228+P (A 1)P (A 2)P (A 3)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.21.本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分12分.解:(Ⅰ)如图1,取AD 的中点E ,连结PE ,则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ,垂足为O ,连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ,所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角,由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6,所以PO=33,四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ (Ⅱ)解法一:如图1,以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P (0,0,33),A (23,-3,0),B (23,5,0),D (-23,-3,0) 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二:如图2,连结AO ,延长AO 交BD 于点F.能过计算可得EO=3,AE=23,又知AD=43,AB=8,得.ABAD AE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD.得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的射影,所以PA ⊥BD.22.本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解:直线l 的方程为1=+by a x ,即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式,且1>a ,得到点(1,0)到直线l 的距离221)1(b a a b d +-=,同理得到点(-1,0)到直线l 的距离222)1(b a a b d ++=.222221c ab b a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即 解不等式,得 .5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷Ⅲ.文)
web试卷生成系统谢谢使用一、填空题(每空?分,共?分)1、函数的定义域是.2、用平面α截半径为R的球,如果球心到平面α的距离为,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为.二、选择题(每空?分,共?分)3、函数的最小正周期是A. B.C. D.4、设数列是等差数列,且,是数列的前项和,则A.B. =C.D.5、函数的定义域为A. B. C. D.6、设双曲线的焦点在轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率A. B. C. D.7、不等式的解集为A. B. C. D.8、在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为A.B. C.D.9、设函数,则使得的自变量的取值范围为A. B.C. D.10、将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名,则不同的分配方案共有A.12种B.24种C.36种D.48种三、计算题(每空?分,共?分)11、解方程12、某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?13、设椭圆的两个焦点是与,且椭圆上存在点P,使得直线PF2与直线PF2垂直.(1)求实数m的取值范围;(2)设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q. 若,求直线PF2的方程.14、如图,直三棱柱ABC―A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB =,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M.(Ⅰ)求证CD⊥平面BDM;(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.15、已知数列的前项和满足.(Ⅰ)写出数列的前三项;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对任意的整数,有 .参考答案一、填空题1、2、二、选择题3、C4、B5、A6、C7、D8、B9、A10、C三、计算题11、解:(无解).所以12、解:设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m ,则蔬菜的种植面积所以当答:当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为648m2.13、解:(1)由题设有设点P的坐标为(),由,得,化简得①将①与联立,解得由所以m的取值范围是.(2)准线L的方程为设点Q的坐标为,则②将代入②,化简得由题设,得,无解. 将代入②,化简得由题设,得解得m=2.从而得到PF2的方程14、本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法一:(Ⅰ)如图,连结CA1、AC1、CM,则CA1=.∵CB=CA1=,∴△CBA1为等腰三角形,又知D为其底边A1B的中点,∴CD⊥A1B.∵A1C1=1,C1B1=,∴A1B1=,又BB1=1,∴A1B=2.∵△A1CB为直角三角形,D为A1B的中点,∴CD =A1B=1,CD=CC1.又DM =AC1=,DM=C1M,∴△CDM≌△CC1M, ∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,所以CD⊥平面BDM. (Ⅱ)设F、G分别为BC、BD的中点,连结B1G、FG、B1F,则FG∥CD,FG =CD.∴FG =,FG⊥BD.由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D =A1B=1,所以△BB1D是边长为1的正三角形,于是B1G⊥BD,B1G =∴∠B1GF是所求二面角的平面角.又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=∴cos B1GF ==.即所求二面角的大小为π-arccos解法二:如图,以C为原点建立坐标系.(Ⅱ)B (,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D (,,),M (,1,0),=(,,),=(,-1,-1),=(0,,-),则・=0,・=0,∴CD⊥A1B,CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,所以CD⊥平面BDM.(Ⅱ)设BD中点为G,连结B1G,则G(,,),=(-,,), =(-,-,),∴・=0.∴BD⊥B1G. 又CD⊥BD,∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角. cosθ==-.所以所求二面角的大小等于π-arccos.15、(Ⅰ)解:由由由(Ⅱ)解:当时,有……所以经验证a1也满足上式,所以(Ⅲ)证明:由通项公式得当且n为奇数时,当为偶数时,当为奇数时,所以对任意整数m>4,有。
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2004年高考试题全国卷Ⅲ 理工类数学试题(人教版旧教材)第I 卷(A )一、选择题: ⑴设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈,(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈,则M N 中元素的个数为( ) A.1 B.2C.3D.4⑵函数sin 2xy =的最小正周期是( ) A.2πB.πC.2πD.4π ⑶设数列{}n a 是等差数列,26,a =- 86a =,S n 是数列{}n a 的前n 项和,则( )A.S 4<S 5B.S 4=S 5C.S 6<S 5D.S 6=S 5⑷圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是( )A.20x -=B.40x -=C.40x +=D.20x +=⑸函数y =( )C.[-2,-1) (1,2]D.(-2,-1) (1,2)⑹设复数z 的幅角的主值为23π2z =( )A. 2--B. 2i -C.2+D. 2i⑺设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则双曲线的离心率e =( )A. 5B. C.D. 54⑻不等式113x <+<的解集为( )A.()0,2B.()()2,02,4-C.()4,0-D.()()4,20,2--⑼正三棱柱的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱柱的体积为( )A.B.C. 3D. ⑽在ABC ∆中,3,4AB BC AC ===,则边AC 上的高为( )A.B. C. 32D.⑾设函数2(1)1()41x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为( )A.(-∞,-2] [0,10]B.(-∞,-2] [0,1]C.(-∞,-2] [1,10]D.[-2,0] [1,10]⑿4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( ) A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48 种第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. ⒀用平面α截半径为R 的球,如果球心到截面的距离为2R,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为________⒁函数sin y x x =在区间[0,2π]的最小值为__________C⒂已知函数y =f (x )是奇函数,当x ≥0时, f (x )=3x -1,设f (x )的反函数是y =g (x ),则g (-8)=___⒃设P 为曲线y 2=4(x -1)上的一个动点,则点P 到点(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为_________三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤⒄(本小题满分12分)已知α为锐角,且tg α=12,求sin 2cos sin sin 2cos 2ααααα-的值. ⒅(本小题满分12分)解方程4x +|1-2x |=11.⒆(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为 800m 2的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 l m 宽的通道,沿前侧内墙保留3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?⒇(本小题满分12分)三棱锥P-ABC 中,侧面P AC 与底面ABC 垂直,P A =PB =(1)求证 AB ⊥BC ;(II)如果AB=BC=AC 与侧面P AC 所成角的大小.(21) (本小题满分12分)设椭圆2211xy m +=+的两个焦点是 F 1(-c ,0), F 2(c ,0)(c >0),且椭圆上存在点P ,使得直线 PF 1与直线PF 2垂直.(I)求实数 m 的取值范围.(II)设l 是相应于焦点 F 2的准线,直线PF 2与l 相交于点Q.若22||2||QF PF =,求直线PF 2的方程.(22)(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =2a n +(-1)n ,n ≥1.⑴写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3; ⑵求数列{a n }的通项公式; ⑶证明:对任意的整数m >4,有4511178m a a a +++< .C2004年高考试题全国卷3 理工类数学试题(人教版旧教材)(内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区)参考答案一、选择题:1.B2.C3.B4.D5.A6.A7.C 8.D9.C 10.B 11.C 12.C二、填空题:13、3:16 14、1 . 15、-3 16三、解答题:17.解:∵12tgα=,α为锐角∴cosα=∴2sin2cos sin sin(2cos1)1sin2cos22sin cos cos22cosααααααααααα--===.18.解:当x≤0时, 有:4x+1-2x=11 化简得:(2x)2-2x-10=0解之得:122x+=122x=舍去).又∵x≤0得2x≤1, 故122x+=.当x<0时, 有:4x-1+2x=11化简得:(2x)2+2x-12=0解之得:2x=3或2x= -4(舍去)∴2x=3 x=log23综上可得原方程的解为x=log23.19.解:设温室的长为xm,则宽为800mx,由已知得蔬菜的种植面积S为:8001600(2)(4)80048S x xx x=--=--+4008084()648xx=-+≤(当且仅当400xx=即x=20时,取“=”). 故:当温室的长为20m, 宽为40m时,蔬菜的种植面积最大,最大面积为648m2.20.⑴证明:取AC中点O, 连结PO、BO.∵P A=PC∴PO⊥AC又∵侧面P AC⊥底面ABC∴PO⊥底面ABC又P A=PB=PC∴AO=BO=CO∴△ABC为直角三角形∴AB⑵解:取BC的中点为M,连结OM,PM,所以有OM=12∴PO==由⑴有PO⊥平面ABC,OM⊥BC,由三垂线定理得PM⊥BC ∴平面POM⊥平面PBC,又∵∴△POM是等腰直角三角形,取PM的中点N,连结ON, NC则ON⊥PM, 又∵平面POM⊥平面PBC, 且交线是PM, ∴ON⊥平面PBC∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角.122ON PM OC====∴1sin2ONONCOC∠==∴6ONCπ∠=. 故AC与平面PBC所成的角为6π.21.解:⑴∵直线PF1⊥直线PF2∴以O 为圆心以c 为半径的圆:x 2+y 2=c 2与椭圆:2211xy m +=+有交点.即2222211x y c x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪+⎩有解 又∵c 2=a 2-b 2=m +1-1=m >0 ∴222101m x a m m-≤=<=+ ∴1m ≥ ⑵设P (x,y ), 直线PF 2方程为:y =k (x -c )∵直线l的方程为:2a x c ==Q 的坐标为∵22||2||QF PF = ∴点P 分有向线段2QF所成比为3∵F 2∴P) ∵点P 在椭圆上21+=∴k =直线PF 2的方程为:y=x).22.解:⑴当n =1时,有:S 1=a 1=2a 1+(-1) a 1=1;当n =2时,有:S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0;当n =3时,有:S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2;综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2; ⑵由已知得:1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得:1122(1)n n n a a --=+-可化为:1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以112(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列. 故121(1)233n n n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333n n n nn a --=--=--数列{n a }的通项公式为:22[2(1)]3n nn a -=--.⑶由已知得:232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+--23111111[]2391533632(1)m m -=++++++-- 11111[1]2351121=+++++ 11111[1]2351020<+++++ 511(1)1452[]12312m --=+-514221[]23552m -=+-51311131041057()1552151201208m -=-<=<=.故4511178m a a a +++< ( m >4).。