北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2023届高三零模数学试题 (2)
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一、单选题
二、多选题
1. 已知
，，则
（ ）
A ．2
B
．C
．
D
．
2.
记
为等差数列
的前项和，若
，，则
的公差为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
3. 已知
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则
（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4. 已知
，则
（ ）
A
．B
．C
．D
．
5. 已知圆锥的顶点为点，高是底面半径的
倍，点，
是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为
（ ）
A
．B
．C
．D
．
6. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为2，球的表面积为，则此正四棱柱的底面边长为（ ）
A ．1
B
．
C ．2
D
．
7. 如图，一个由四根细铁杆
、
、
、
组成的支架（
、
、
、
按照逆时针排布），若
，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（
）
A
．
B
．
C ．2
D
．
8.
的值为（ ）
A
．
B
．C
．D
．
9. 已知
，
，
，
，则（ ）
A
．B
．C
．D
．
10. 设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，
若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）
A ．该正方体的棱长为2B
．该正方体的体对角线长为C
．空心球的内球半径为
D
．空心球的外球表面积为
北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2023届高三零模数学试题 (2)
北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2023届高三零模数学试题 (2)
三、填空题
四、解答题
11. 投掷一枚均匀的骰子8次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断一定出现点数6的是（ ）
A ．第25百分位数为2，极差为4
B ．平均数为，第75
百分位数为C ．平均数为3，方差为3D ．众数为4
，平均数为
12.
，
和
是方程
的两个根，则下列结论正确的是（ ）
A
．B
．C
．
D
．
13.
已知向量
满足，则
__________．
14. 若
，内角的对边分别为
，则三角形
的形状为________．
15. 数组2.7､3.1､2.5､4.8､2.9､3.6的中位数为___________.
16. （1
）已知：
及，（，，．求
；（结果用，表示）
（2）已知
，
．猜想
的表达式并用数学归纳法证明你的结论．
17. 设函数，
，
(1)若函数有两个零点，求b 的取值范围；
(2)若函数
没有极值点，求
的最大值．
18. 已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1（a ，b R ），e =2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g (x )=f ′(x )，若g (x )是（0，2）上的单调函数，求a 的取值范围；（2）若f （2）=0，函数f (x )在（0，2）上有零点，求a 的取值范围．
19. 已知三棱锥
（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于
的正方形，和均为正三角形，
在三棱锥
中：
(1)证明：平面平面；
(2)若点M 在棱
上运动，当直线
与平面
所成的角最大时，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
20.
已知数列
的前
项和满足：（为常数，且）．
（1）设
，若数列为等比数列，求的值；
（2）在满足条件（1）的情形下，设
，数列
的前项和为
，若不等式
对任意的
恒成立，求实数的取值范围．
21. 在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在
国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与
时间（单位：年）的数据，列表如下：
12345
2.4 2.7 4.1 6.47.9
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式：
参考数据：，
（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．