2017届广州市高三(二模)数学(理)

2017届广州市高三第二次调研考试试题（二）
数学（理科） 2017.4
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}11A x x =-<，110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭
，则A B =∩（ ） A ．{}12x x ≤< B ．{}02x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<
2、若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2-
D ．3-
4、从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复
数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）
A ．15
B ．25
C ．12
D ．35
5、函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19 C ．19- D ．79
- 7、已知点()4,4A 在抛物线22y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线
准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（ ）
A ．2120x y +-=
B ．2120x y +-=
C ．240x y --=
D ．240x y -+=
8、在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，
M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的 截面，则这个截面的面积为（ ）
A ．352
B ．358
C ．92
D ．98 9、已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点， 则ab 的最大值为（ ）
A ．15
B ．9
C ．1
D ．53
- 10、已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点， 则ω的取值范围为（ ）
A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．[)4,6ππ 11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥
的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．83
B ．163
C ．323
D ．16 12、定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足()22f m m -+()220f n n -≥，
则当1n ≤32≤时，m n
的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13、已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，→
→→+=AB m OA OP 2，若点P 在y 轴上，
则实数m = ．
14、《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》
共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二； 五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知 它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品
15、设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++，则08a a += ．
16、在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，
4sin 5
A =，则对角线AC 的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+
（*N n ∈）.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18、如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ， 23EB FD a ==.
（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；
（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.
19、某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，
且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施 方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4， 第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计 第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量 是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的 第二个月的销量是促销前销量的倍数.
（Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；
（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案
第二个月的利润更大.
20、已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线 的离心率互为倒数.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且433
MN =
，记直线MN 在y 轴上的截距为m ， 求m 的最大值.
21、已知函数()ln x f x ax b x
=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；
（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4
f x ≤+，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22、选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为 23cos ,2sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；
（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB ∆的面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆的最大面积.
23、选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613
c +≥； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD
二、填空题
13．23
14．23 15．2590- 16．27 三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =.
因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =.
因为()2135213n n S a a a a -=++++，
所以213S a =，即1213a a a +=.
因为22a =，所以11a =.
因为等比数列{}n a 的公比为21
2a q a ==， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.
（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =，
所以()
111n n a q S q -==-122112
n n -=--. 因为n n b nS =，所以()21n n b n =-=2n n n ⋅-.
所以123n T b b b =+++1n n b b -++
(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-()123n ++++.
设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯.
则2341n +
所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n ++
+=()1122n n +-+. 因为123+++()12
n n n ++=， 所以()112n n T n +=-()122
n n ++-. 所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-
. 18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，
因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.
因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
所以AC FD ⊥.
因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .
因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥.
所以B ，D ，F ，E 四点共面.
因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥.
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.
可以求得31,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2F a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0C a ，31,,322E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. 所以()0,,0AB a =，313,,222AF a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
.
设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =， 则0,n AB ⎧⋅=⎪⎨即0,313
ay =⎧⎪⎨
不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =. 因为31,,322CE a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以cos ,n CE
n CE n CE ⋅==368
. 所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为
368.
19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4， 因为()1 1.68P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 1.92P ξ==0.60.50.30⨯=， ()1 2.1P ξ==0.40.50.20⨯=，()1 2.4P ξ==0.40.50.20⨯=. 所以1ξ的分布列为
依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4， 因为()2 1.68P ξ==0.70.60.42⨯=，()2 1.8P ξ==0.30.60.18⨯=， ()2 2.24P ξ==0.70.40.28⨯=，()2 2.4P
ξ
=
=0.30.40.12⨯=. 所以2ξ的分布列为
所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5， 2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.
因为12EQ EQ >，
所以实施方案1，第二个月的利润更大.
20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()
6,0±，离心率为305. 因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数， 所以6a =，且22306
a b a -=，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2
216
x y +=. （Ⅱ）因为4323
MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2
216
x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()2
2122416km k ∆=-+()2124m -=()22160k m +->， 所以221+6m k <.
设()11,M x y ，()22,N x y ， 根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()2122
6116m x x k -=+.
因为433MN =，即()222222*********m km k k k -⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭433=. 整理得()422
21839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.
所以22
1875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253
m =满足2216m k <+，符合题意. 故m 的最大值为153
. 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪.
因为()ln x f x ax b x =-+，所以()2ln 1ln x f x a x
-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .
（Ⅱ）由()1e 4f x ≤+，即e ln x ax x -+1e 4
≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x ≥
-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x
=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x -=()()
22ln 2ln 24ln x x x x x x +-. 令()ln 2p x x x =-，
所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11p x x x '=-10x x -=<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.
所以()()e p x p <ln e 2e 0=-<.
所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.
所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e
=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22
1124
x y +=. 将直线20x y --=代入22
1124
x y +=中消去y 得，230x x -=. 解得0x =或3x =.
所以点()0,2A -，()3,1B ， 所以()()223012AB =-++=32.
（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入22
1124
x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()2
264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±. 将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.
易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB 的面积最大.
且点()3,1P -到直线l 的距离为22312
11d ---=+32=.
PAB 的最大面积为192
S AB d =⨯⨯=. 23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，
所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613
c +≥，
即证明22213
a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++
()2
a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2
a b c ≥++. 因为1a b c ++=，所以22213
a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613
c +≥. （Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，
则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,
11,,2131,.2
x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ 此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32
a ≤-. 当12a =时，1223
x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,2
11,,2
31,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩
此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52
a ≥.
综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
∪.。