2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修2_2
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2.1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合 情 推 理
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材P70～P77的内容，回答下列问题． (1)哥德巴赫提出猜想的过程：
(1)哥德巴赫提出猜想的过程：
3＋7＝10,3＋17＝20,13＋17＝30⇒10＝3＋7,20＝3＋17,30＝
13＋17
偶数＝奇质数＋奇质数
x f4(x)＝f3(f3(x))＝1－14－×41x－x4x＝1－x8x，
x f5(x)＝f4(f4(x))＝1－18－ ×18－xx8x＝1－x16x， ∴根据前几项可以猜想fn(x)＝1－2xn－1x.
[答案] (1)1＋12＋13＋…＋2n－1 1>n2 (2)f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和； (2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
[针对训练] 1．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式： x＋1x≥2， x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3， x＋2x73 ＝x3＋x3＋x3＋2x73 ≥4， …… 归纳得：x＋xan≥n＋1(n∈N *)，则a＝________.
(2)23<23＋＋11，23<23＋＋22，23<23＋＋33，…
由此猜想：
2 3
<
2＋m 3＋m
(m为正实数)．上述推理是归纳推理还是
类比推理？
提示：归纳推理． (3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于
同一平面的两个平面平行．此推理是归纳推理还是类比推理？
提示：类比推理．
探究点一 归纳推理在数、式中的应用 [典例精析] (1)已知下列各式： 1>12， 1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …， 请你归纳出一般性结论：______________.
等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．
则第n个正方形数是
()
A．n(n－1)
B．n(n＋1)
C．n2
D．(n＋1)2
解析：观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个
正方形数应为n2. 答案：C
探究点三 类比推理 [典例精析] 三角形与四面体有下列共同的性质： (1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四 面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上 的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这 个三角形上各点连线所形成的图形．
1 三角形的面积为S＝ 2 (a＋b＋c)r(r为三角形 内切圆的半径)
四面体的体积为V＝
1 3
(S1＋S2＋S3＋
S4)r(S1、S2、S3、S4为四面体四个面的
面积，r为四面体内切球的半径)
[类题通法] (1)类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相
似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性 质，从而得出一个明确的命题(猜想)．
其他偶数
是否也有类似规律
6＝3＋3,8＝3＋5,10＝5＋
5，…，1 000＝29＋971,1 002＝139＋863，…
任
何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．
[思考] 哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？
提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个 奇质数之和，而且没有出现反例．于是，提出猜想——“任何 一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填
写下表：
三角形
四面体
三角形两边之和大于第三边
三角形的中位线等于第三边的 一半并且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于 一点，且这个点是三角形内切 圆的圆心
1
三角形的面积S＝2 (a＋b＋c)r(r
为三角形内切圆的半径)
[解] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形 的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位 线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三 角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：
(2)观察教材P71～P72的几个实例： ①鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯； ②人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜 水艇； ③科学家们把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球 类似的特征，从而科学家猜想：火星上也可能有生命存在； ④由于球和圆在形状上和概念上都有类似的地方，即都具有 完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因 此我们推测对于圆的特征，球也可能具有． [思考] 以上四个推理还是归纳推理吗？它们有什么共同特点？ 提示：以上四个推理不是归纳推理．它们的共同特点是两类事物
由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某些已知特征， 推出另一类对象也具有 这些特征 的推理称为类比推理． (2)类比推理的特征 类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．
3．合情推理
(1)含义： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析 、 比较、联想 ，再进行归纳ห้องสมุดไป่ตู้类比，然后提出猜想的推理，我们
示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分 别为角A，B，C的对边，类比上述定理， 写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2， S3，S分别为△PAB，△PBC，△PAC，△ABC 的面积，α，β，γ分别为侧面PAB，侧面 PBC，侧面PAC与底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四 面体P-ABC中，S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ.
(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观 察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．
(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数 之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推 公式，再求通项公式．
[针对训练] 2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数
解析：当n＝1时，a＝1， 当n＝2时，a＝4＝22， 当n＝3时，a＝27＝33， … ∴当分母指数取n时，a＝nn.
答案：nn
探究点二 归纳推理在几何中的应用 [典例精析] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个 图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 ( )
A．26
B．31
把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程：
从具体问 题出发
观察、分析、
比较、联想
归纳、类比 提出猜想
三、综合迁移·深化思维 (1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不 一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推 测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜 测性，不一定可靠．
(2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有： ①平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有：
②实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质． ③实数满足的运算律与向量满足的运算律． ④等差数列与等比数列的定义及性质． ⑤圆锥曲线的定义及性质．
[针对训练] 3．如图所示， 在△ABC中，射影定理可表
间的推理．
二、归纳总结·核心必记 1．归纳推理 (1)归纳推理的定义
由某类事物的 部分对象 具有某些特征，推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理，或者由 个别事实 概括出 一般结论 的推理，称为归纳推理．
(2)归纳推理的特征 归纳推理是 由部分到整体 、 由个别到一般 的推理．
2．类比推理 (1)类比推理的定义
三角形
四面体
三角形两边之和大于第 四面体任意三个面的面积之和大于第四
三边
个面的面积
三角形的中位线等于第 四面体的中截面的面积等于第四个面面
三边的一半并且平行于 第三边
积的
1 4
，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分 线交于一点，且这个点 是三角形内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点， 且这个点是四面体的内切球的球心
[类题通法] 1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的
变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论．
2．数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和．
(2)已知 f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，
且 n∈N *)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N *)的表
达式为________． [解析] (1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大
1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为
C．32
D．36
[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6 为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的 正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.
[答案] B
[类题通法] 利用归纳推理解决几何问题的两个策略
1 2
，
2 2
，
3 2
，
4 2
，…，从
而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋2n－1 1>n2.
(2)∵f(x)＝1－x x，∴f1(x)＝1－x x.
x 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝1－1－1－xx x＝1－x2x，
x f3(x)＝f2(f2(x))＝1－12－×21x－x2x＝1－x4x，
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材P70～P77的内容，回答下列问题． (1)哥德巴赫提出猜想的过程：
(1)哥德巴赫提出猜想的过程：
3＋7＝10,3＋17＝20,13＋17＝30⇒10＝3＋7,20＝3＋17,30＝
13＋17
偶数＝奇质数＋奇质数
x f4(x)＝f3(f3(x))＝1－14－×41x－x4x＝1－x8x，
x f5(x)＝f4(f4(x))＝1－18－ ×18－xx8x＝1－x16x， ∴根据前几项可以猜想fn(x)＝1－2xn－1x.
[答案] (1)1＋12＋13＋…＋2n－1 1>n2 (2)f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和； (2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
[针对训练] 1．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式： x＋1x≥2， x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3， x＋2x73 ＝x3＋x3＋x3＋2x73 ≥4， …… 归纳得：x＋xan≥n＋1(n∈N *)，则a＝________.
(2)23<23＋＋11，23<23＋＋22，23<23＋＋33，…
由此猜想：
2 3
<
2＋m 3＋m
(m为正实数)．上述推理是归纳推理还是
类比推理？
提示：归纳推理． (3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于
同一平面的两个平面平行．此推理是归纳推理还是类比推理？
提示：类比推理．
探究点一 归纳推理在数、式中的应用 [典例精析] (1)已知下列各式： 1>12， 1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …， 请你归纳出一般性结论：______________.
等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．
则第n个正方形数是
()
A．n(n－1)
B．n(n＋1)
C．n2
D．(n＋1)2
解析：观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个
正方形数应为n2. 答案：C
探究点三 类比推理 [典例精析] 三角形与四面体有下列共同的性质： (1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四 面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上 的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这 个三角形上各点连线所形成的图形．
1 三角形的面积为S＝ 2 (a＋b＋c)r(r为三角形 内切圆的半径)
四面体的体积为V＝
1 3
(S1＋S2＋S3＋
S4)r(S1、S2、S3、S4为四面体四个面的
面积，r为四面体内切球的半径)
[类题通法] (1)类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相
似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性 质，从而得出一个明确的命题(猜想)．
其他偶数
是否也有类似规律
6＝3＋3,8＝3＋5,10＝5＋
5，…，1 000＝29＋971,1 002＝139＋863，…
任
何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．
[思考] 哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？
提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个 奇质数之和，而且没有出现反例．于是，提出猜想——“任何 一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填
写下表：
三角形
四面体
三角形两边之和大于第三边
三角形的中位线等于第三边的 一半并且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于 一点，且这个点是三角形内切 圆的圆心
1
三角形的面积S＝2 (a＋b＋c)r(r
为三角形内切圆的半径)
[解] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形 的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位 线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三 角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：
(2)观察教材P71～P72的几个实例： ①鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯； ②人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜 水艇； ③科学家们把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球 类似的特征，从而科学家猜想：火星上也可能有生命存在； ④由于球和圆在形状上和概念上都有类似的地方，即都具有 完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因 此我们推测对于圆的特征，球也可能具有． [思考] 以上四个推理还是归纳推理吗？它们有什么共同特点？ 提示：以上四个推理不是归纳推理．它们的共同特点是两类事物
由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某些已知特征， 推出另一类对象也具有 这些特征 的推理称为类比推理． (2)类比推理的特征 类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．
3．合情推理
(1)含义： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析 、 比较、联想 ，再进行归纳ห้องสมุดไป่ตู้类比，然后提出猜想的推理，我们
示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分 别为角A，B，C的对边，类比上述定理， 写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2， S3，S分别为△PAB，△PBC，△PAC，△ABC 的面积，α，β，γ分别为侧面PAB，侧面 PBC，侧面PAC与底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四 面体P-ABC中，S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ.
(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观 察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．
(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数 之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推 公式，再求通项公式．
[针对训练] 2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数
解析：当n＝1时，a＝1， 当n＝2时，a＝4＝22， 当n＝3时，a＝27＝33， … ∴当分母指数取n时，a＝nn.
答案：nn
探究点二 归纳推理在几何中的应用 [典例精析] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个 图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 ( )
A．26
B．31
把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程：
从具体问 题出发
观察、分析、
比较、联想
归纳、类比 提出猜想
三、综合迁移·深化思维 (1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不 一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推 测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜 测性，不一定可靠．
(2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有： ①平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有：
②实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质． ③实数满足的运算律与向量满足的运算律． ④等差数列与等比数列的定义及性质． ⑤圆锥曲线的定义及性质．
[针对训练] 3．如图所示， 在△ABC中，射影定理可表
间的推理．
二、归纳总结·核心必记 1．归纳推理 (1)归纳推理的定义
由某类事物的 部分对象 具有某些特征，推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理，或者由 个别事实 概括出 一般结论 的推理，称为归纳推理．
(2)归纳推理的特征 归纳推理是 由部分到整体 、 由个别到一般 的推理．
2．类比推理 (1)类比推理的定义
三角形
四面体
三角形两边之和大于第 四面体任意三个面的面积之和大于第四
三边
个面的面积
三角形的中位线等于第 四面体的中截面的面积等于第四个面面
三边的一半并且平行于 第三边
积的
1 4
，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分 线交于一点，且这个点 是三角形内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点， 且这个点是四面体的内切球的球心
[类题通法] 1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的
变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论．
2．数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和．
(2)已知 f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，
且 n∈N *)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N *)的表
达式为________． [解析] (1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大
1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为
C．32
D．36
[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6 为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的 正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.
[答案] B
[类题通法] 利用归纳推理解决几何问题的两个策略
1 2
，
2 2
，
3 2
，
4 2
，…，从
而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋2n－1 1>n2.
(2)∵f(x)＝1－x x，∴f1(x)＝1－x x.
x 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝1－1－1－xx x＝1－x2x，
x f3(x)＝f2(f2(x))＝1－12－×21x－x2x＝1－x4x，