人教A版高中必修二试题四川省成都市新都一中高级测试题.doc

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
四川省成都市新都一中高2014级数学测试题
时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论： ①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；②若a ⊥b ，a ⊥c 则b ⊥c ；
③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .
其中正确的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 [答案] B
[解析] b 、c ⊂平面α，a ⊥α满足①②的条件，当b 与c 相交但不垂直时，①、②错；③正确．
2．下列命题中不正确的是( )
A ．若a ⊂α，b ⊂α，l ∩α＝A ，l ∩b ＝
B ，则l ⊂α B ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥b
C ．若a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，则a ∥α
D ．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外 [答案] D
[解析] 当直线与平面相交时，直线与平面有且仅有一个公共点，除公共点外的其它点都在平面外．
3．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )
A ．A
B ∥CD B ．AB 与CD 相交
C ．AB ⊥C
D D ．AB 与CD 所成的角为60° [答案] D
[解析] 正方体的直观图如图，显然AB 与CD 异面，排除A 、B ，CD ∥BE ，△ABE 为正三角形，∴AB 与CD 所成的角为60°.
4．下列命题中错误的是( )
A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么直线l ⊥平面γ
D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β [答案] D
[解析] 当平面α与β垂直时，设交线为l ，则在α内与l 平行的直线与β平行，∴A 真；假设在α内存在直线与β垂直，则由二平面垂直的判定定理知，α⊥β，故B 真；在l 上任取一点P 且P ∉γ，过P 作γ的垂线，垂足为Q ，∵α⊥γ，则Q 必在α与γ的交线l 1上，同理，Q 必在β与γ的交线l 2上，∴Q 是l 1与l 2的交点，∵l 1⊂α，l 2⊂β，∴Q
我以我的荣誉发誓：
决不给予或接受他
人任何形式的帮助！ 姓名：
是α与β的一个公共点，∴Q ∈l ，∴l ⊥γ，∴C 真，易知D 假．
5．下图是一几何体的三视图(单位：cm)，则这个几何体的体积为( ) A ．1cm 3 B ．3cm 3 C ．2cm 3 D ．6cm 3
[答案] B
[解析] 由三视图知，该几何体是一个横放的棱柱，棱柱的高为3，棱
柱的底面是一个等腰三角形，其底为2，高为1，∴体积V ＝(1
2
×2×1)×3＝
3(cm 3)．
6．如图，一个空间几何体的主视图、左视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及一点，那么这个几何体的表面积为( )
A.π2 B ．π C.3π
2 D ．2π [答案] B
[解析] 由三视图知，该几何体是两个同底的圆锥构成的组合体．圆锥的
母线长为1，底半径为1
2，∴表面积S ＝2×(π×1
2
×1)＝π.
7．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →
的值为( )
A ．0 B.3
2
C ．1
D ．无法确定
[答案] A
[解析] 如图，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →
＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →)
＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB →＝0. 8．斜二测画法中，边长为a 的正方形的直观图的面积为( )
A ．a 2 B.22a 2 C.12a 2 D.2
4
a 2
[答案] D
[解析] S ＝a ·(a 2·sin45°)＝2
4
a 2，故选D.
9已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →
垂直，则向量a 为( )
A ．(1,1,1)
B ．(－1，－1，－1)
C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1) [答案] C
[解析] 设a ＝(x ，y ，z )，由条件知AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∵a ⊥AB →，a ⊥AC →
，|a |＝3，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝3
，将选项代入检验知选C.
10．已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，要使n ⊥β，则应增加的条件是( )
A ．m ∥n
B ．n ⊥m
C ．n ∥α
D ．n ⊥α [答案] B
[解析] 根据面面垂直的性质定理知，需增加条件n ⊥m .
11.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝
90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱
锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )
A ．平面ABD ⊥平面ABC
B ．平面AD
C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC
D ．平面ADC ⊥平面ABC [答案] D
[解析] 在平面图形中CD ⊥BD ，折起后仍有CD ⊥BD ，由于平面ABD ⊥平面BCD ，故CD ⊥平面ABD ，CD ⊥AB .又AB ⊥AD ，故AB ⊥平面ADC .所以平面ABC ⊥平面ADC .
12．球O 的球面上有四点S 、A 、B 、C ，其中O 、A 、B 、C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S －ABC 的体积的最大值为( )
A ．1 B.13 C. 3 D.3
3
[答案] D
[解析] ∵O 、A 、B 、C 四点共面，∴△ABC 的外接圆为球大圆，∵△ABC 边长为2，
∴球半径OA ＝23×(32×2)＝233，设AB 的中点为E ，则OE ＝13×(32×2)＝3
3，棱锥S －ABC
的底面积S ＝34
×22
＝3为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值，
又平面SAB ⊥平面ABC ，∴S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，又SO ＝23
3为定值，
∴S 到平面ABC 的距离的最大值为
233
2
－
33
2
＝1，∴V ＝13×3×1＝3
3
.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为 2 14．(2011～2012·南通市调研)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．
[答案] ①③
⎭
⎪⎬⎪⎫
⎭
⎪⎬⎪
⎫[解析] l ⊥α α∥β⇒l ⊥β
m ⊂β⇒l ⊥m ，故①真；
⎭⎪⎬⎪⎫
⎭⎬⎫l ⊥αα⊥β⇒l ∥β或l ⊂β m ⊂β⇒/ l ∥m ，故②假；
⎭⎪⎬⎪
⎫ ⎭⎬⎫l ⊥αl ∥m ⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，故③真；
⎭⎪⎬⎪
⎫ ⎭⎬⎫l ⊥αl ⊥m ⇒m ∥α或m ⊂α m ⊂β
⇒/ α∥β，故④假．
15．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ，若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1
的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为________．
[答案] 6
3
[解析] 解法一：以A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，
设AB ＝1，则AD ＝AA 1＝2，∴F (1,2,1)，E (0,1,2)，∴EF →
＝(1,1，－1)，平面ABB 1A 1
的一个法向量n ＝(0,1,0)，则cos 〈n ，EF →
〉＝n ·EF →
|n |·|EF →|
＝33，
设EF 与平面ABB 1A 1所成角为θ，则sin θ＝3
3
，
∴cos θ＝6
3
.
解法二：取BB 1的中点M ，取FM 的中点N ，则EA 1綊FN ，∴四边形A 1EFN 为平行四边形，∴A 1N ∥EF ，∵EA 1⊥平面ABB 1A 1，∴MN ⊥平面ABB 1A 1，∴∠NA 1M
为直线EF 与平面ABB 1A 1所成的角，在Rt △A 1MN 中，A 1M ＝2，MN ＝1，∴A 1N ＝3，
∴cos ∠NA 1M ＝A 1M A 1N ＝6
3
，
∴直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为6
3
.
16．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定主(正)视图方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左(侧)
视图的面积为2
2
.若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值
为________．
[答案] 3
[解析] 取AB 中点F ，∵AE ＝BE ＝3，∴EF ⊥AB ，∵平面ABCD ⊥平面
ABE ，∴EF ⊥平面ABCD ，易求EF ＝2，左视图的面积S ＝12AD ·EF ＝22AD ＝2
2
，
∴AD ＝1，
∴∠AED ＝∠BEC ＝30°，∠DEC ＝60°，将四棱锥E －ABCD 的侧面AED 、DEC 、CEB 展开铺平如图，则
AB 2＝AE 2＋BE 2
－2AE ·BE ·cos120°
＝3＋3－2×3×(－1
2
)＝9，∴AB ＝3，∴AM ＋MN ＋BN 的最小值为3.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程
或演算步骤
17．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．
(1)求证：BE ∥平面PAD ；
(2)若AP ＝2AB ，求证：BE ⊥平面PCD .
[解析] (1)取PD 的中点F ，连结AF ，FE ， 又∵E 是PC 的中点，
∴在△PDC 中，EF ∥DC ，且EF ＝DC
2
，
由条件知AB ∥DC ，且AB ＝DC
2
，∴EF 綊AB ，
∴四边形ABEF 为平行四边形，∴BE ∥AF ，
又AF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴BE ∥平面PAD . (2)由(1)FE ∥DC ，BE ∥AF ， 又∵DC ⊥AD ，DC ⊥PA ，∴DC ⊥平面PAD ，∴DC ⊥AF ，DC ⊥PD ，∴EF ⊥AF ， 在Rt △PAD 中，∵AD ＝AP ，F 为PD 的中点，∴AF ⊥PD ， 又AF ⊥EF 且PD ∩EF ＝F ，∴AF ⊥平面PDC ， 又BE ∥AF ，∴BE ⊥平面PDC .
18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，BC ＝1
2
AD ，PA ＝PD ，Q 为AD 的中点．
(1)求证：AD ⊥平面PBQ ；
(2)若点M 在棱PC 上，设PM ＝tMC ，试确定t 的值，使得PA ∥平面BMQ .
[解析] (1)证明：AD ∥BC ，BC ＝1
2
AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行
四边形，∴CD ∥BQ .
∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD . ∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD .
∵PQ ∩BQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PBQ .
(2)解：当t ＝1时，PA ∥平面BMQ ， 连接AC ，交BQ 于N ，连接MN .
∵BC 綊1
2
AD ，
∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点． ∵点M 是线段PC 的中点，∴MN ∥PA .
∵MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ，∴PA ∥平面BMQ .
19．如图，已知四棱锥P －ABCD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°.
(1)证明：∠PBC ＝90°；
(2)若PB ＝3，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
[解析] (1)取AD 中点O ，连OP 、OB ，由已知得：OP ⊥AD ，OB ⊥AD ，又
OP ∩OB ＝O ，∴AD ⊥平面POB ，
∵BC ∥AD ，∴BC ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ， ∴BC ⊥PB ，即∠PBC ＝90°.
(2)如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，由PO ＝BO ＝3，PB ＝3，得∠POB ＝120°，∴∠POz
＝30°，∴P (0，－32，32)，则AB →＝(－1，3，0)，BC →＝(－1,0,0)，PB →
＝(0，332
，
－3
2
)，设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
－x ＝0332y －32z ＝0
，取z ＝3，则n ＝(0,1，3)， 设直线AB 与平面PBC 所成的角为θ，则
sin θ＝|cos 〈AB →
，n 〉|＝34
.
20．如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面互相垂直，F 为BC 的中点，∠BAC ＝∠ACD ＝90°，AE ∥CD ，DC ＝AC ＝2AE ＝2.
(1)求证：AF ∥平面BDE ；
(2)求二面角B －DE －C 的余弦值．
[解析] (1)取BD 的中点P ，连接EP 、FP ，则PF 綊12DC ，又∵EA 綊1
2
DC ，∴EA 綊
PF ，
∴四边形AFPE 是平行四边形，∴AF ∥EP ，
又∵EP ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .
(2)以CA 、CD 所在直线分别作为x 轴，z 轴，以过C 点和AB 平行的直线作为y 轴，建立如图所示坐标系．
由DC ＝AC ＝2AE ＝2可得：
A (2,0,0)，
B (2,2,0)，E (2,0,1)，D (0,0,2)， 则AB →＝(0,2,0)，BE →＝(0，－2,1)，BD →
＝(－2，－2,2)． ∵平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面ACDE .
∴AB →
＝(0,2,0)是平面CDE 的一个法向量， 设平面BDE 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，
则n ⊥BE →，n ⊥BD →，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BE →＝0n ·BD →＝0
，即⎩⎪⎨⎪⎧
－2y ＋z ＝0－2x －2y ＋2z ＝0，
整理得，⎩
⎪⎨⎪⎧
2y －z ＝0x ＋y －z ＝0，
令y ＝1，得z ＝2，x ＝1，
所以n ＝(1,1,2)是平面CDE 的一个法向量，
则cos 〈AB →
，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝1×22×12＋12＋2
2＝66
. 可知二面角B －DE －C 的平面角θ∈(0，π
2
)，
所以其余弦值为6
6
.
21．一个四棱锥的三视图如图所示． (1)求证：PA ⊥BD ；
(2)在线段PD 上是否存在一点Q ，使二面角Q －AC －D 的
平面角为30°？若存在，求|DQ |
|DP |
的值；若不存在，说明理由．
[解析] (1)由三视图可知P －ABCD 为四棱锥，底面ABCD 为正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO .
因为BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，所以BD ⊥平面PAC ， 即BD ⊥PA .
(2)由三视图可知，BC ＝2，PA ＝22，假设存在这样的点Q ，因为AC ⊥OQ ，
AC ⊥OD ，
所以∠DOQ 为二面角Q －AC －D 的平面角，
在△POD 中，PD ＝22，OD ＝2，则∠PDO ＝60°， 在△DQO 中，∠PDO ＝60°，且∠QOD ＝30°.
所以DP ⊥OQ .所以OD ＝2，QD ＝2
2
.
所以DQ DP ＝14.
22．(本小题满分12分)如图(1)所示，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD (图(2))．
(1)求证：AP ∥平面EFG ；
(2)若点Q 是线段PB 的中点，求证：PC ⊥平面ADQ ；
(3)求三棱锥C －EFG 的体积．
[解析] (1)证明：∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点， ∴EF ∥CD ∥AB .
又EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB . 同理，EG ∥平面PAB ，∴平面EFG ∥平面PAB . 又∵AP ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG .
(2)解：连接DE ，EQ ，
∵E 、Q 分别是PC 、PB 的中点，∴EQ ∥BC ∥AD .
∵平面PDC ⊥平面ABCD ，PD ⊥DC ，∴PD ⊥平面ABCD . ∴PD ⊥AD ，又AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥PC . 在△PDC 中，PD ＝CD ，E 是PC 的中点，
∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ.
(3)V C－EFG＝V G－CEF＝1
3S△CEF·GC＝
1
3×
1
2×1=
1
6。