高一上学期期末模拟数学检测试卷含答案

高一上学期期末模拟数学检测试卷含答案
一、选择题
1．设集合{0,1,2,3}U =，{0,1,2}A =，则U
A
（ ） A ．{3}
B ．{0,3}
C ．{1,2,3}
D ．{0,1,2,3}
2．函数()f x = ） A ．[0,2)
B ．(2,)+∞
C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[1,)+∞
3．如果已知sin cos 0αα⋅<，sin tan 0αα⋅<，那么角2
α
的终边在（ ） A ．第一或第二象限 B ．第一或第三象限 C ．第二或第四象限
D ．第四或第三象限
4．以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过
点()2,4P ，则tan 4πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．3-
B ．13-
C ．13
D ．3
5．在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知A 为锐角ABC 的内角，满足sin 2cos tan 1A A A -+=，则A ∈（ ） A ．π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．华夏文明五千多年，孕育出璀璨的诗歌篇章，诗歌“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”一句引自王昌龄的《从军行七首（其四）》，楼兰，汉时西域国名．据《汉书》载：汉武帝时，曾使通大宛国，楼兰王阻路，攻截汉朝使臣．汉昭帝元凤四年（公元前77）霍光派傅介子去楼兰，用计斩杀楼兰王．唐时与吐蕃在此交战颇多，王昌龄诗中借用傅介子斩楼兰王典故，表明征战将士誓平边患的决心．那么，“不破楼兰终不还”中，“还”是“破楼兰”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20
f x f x +-≥
的解集为（ ） A ．(],2-∞
B ．(],1-∞
C ．[)1,+∞
D ．[)2,+∞
8．设函数()sin cos (0)f x a x b x ωωω=+>在区间,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调，且
223
6f f f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
==- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，当12x π=时，()f x 取到最大值2，若将函数()f x 的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像()g x ，则不等式()1g x >的解集为（ ）
A ．2,2,62k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
B ．2,2,32k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
C ．2,2,63k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
D ．2,2,33k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
二、填空题
9．对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称
B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称
C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数
D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称 10．使得“a b >”成立的充分不必要条件可以是（ ）
A ．1a b >-
B ．
11
a b
< C D ．10.30.3a b -<
11．下列四个命题：其中不正确命题的是（ ）
A ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0]-∞上单调递增，则()f x 在R 上是增函数
B ．若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >
C ．当a b c >>时，则有bc ac >成立
D ．1y x =+和y 不表示同一个函数
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析
式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩
为有理数
为无理数关于函数()D x 有以下四个命题，其中真命题有（ ）
A ．()D x 既不是奇函数也不是偶函数
B ．()(),r Q D x r D x ∀∈+=
C ．()(),
D 1x R D x ∀∈=
D ．()()()
,,x y R D x y D x D y ∃∈+=+
三、多选题
13．已知集合(){}
lg 4A x y x =∈=-N ，则A 的子集个数为______． 14．设0x 为函数()24x f x x =+-的零点，且23
135212222n n
n T -=++++
(k ，k ＋1)，
k ∈Z ，则k 的值为________．
15．对于函数()f x ，()g x ，设(){}
0m x f x ∈=，(){}
0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得
1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2e x f x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底
数）
16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M 距离水面的高度H (单位：米)与转动时间t (单位：秒)满足函数关系式52sin ,0,6042H t ππϕϕ⎛⎫⎛⎫
=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且0t =时，盛水
筒M 与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M 与水面距离为_______米.
四、解答题
17．已知全集U =R ，集合{}
1264x
A x =≤≤，{}211
B x m x m =-<<+.
（1）当1m =-时，求
()U
A B ；
（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.
18．已知函数()cos()(0,12,0)f x A x A ωϕωϕπ=+><<<<的图象经过点()0,1，且一个最高点的坐标为2,23⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
（1）求函数()f x 的解析式：
（2）设P ，Q 分别为函数()f x 的图象在y 轴右侧且距y 轴最近的最高点和最低点，O 为坐标原点，实数m OP OQ =⋅，若函数()9cos 24cos 3g x m x n x =+-在2,63ππ⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
上的最小值为8-，求实数n 的值.
19．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()1213x
x f x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
．
（1）求()f x 的解析式；
（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22
220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．
20．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1) 经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H (t )=A sin(ωt +φ)+B 其中A >0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H (t )； (2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？
(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.
21．已知函数()()2
20g x ax ax b b =-+>，在[]1,2x ∈时最大值为1和最小值为0.设
()()
g x f x x
=
. （1）求实数a ，b 的值；
（2）若不等式()2410x x
g k -⋅+≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）若关于x 的方程()222log 310log m
f x m x
+--=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围.
22．已知定义在区间()0,∞+上的函数()()4=50f x t x t x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭＞.
（1）若函数()f x 分别在区间()0,2，()2,+∞上单调，试求t 的取值范围；
（2）当=1t 时，在区间[]0,2上是否存在实数a 、b ，是的函数()f x 在区间[],a b 上单调，且()f x 的取值范围为[],ma mb ，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.
【参考答案】
一、选择题 1．A 【解析】 【分析】
根据集合的补集运算，得到答案. 【详解】
因为集合{0,1,2,3}U =，{0,1,2}A =， 所以
3U
A
.
故选：A 【点睛】
本题考查集合的补集运算，属于简单题. 2．C 【分析】
根据解析式建立不等式求解即可. 【详解】
函数()f x = 则210x -≥， 解得12
x ≥
， 所以函数定义域为1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
故选：C 3．B 【分析】
sin cos 0αα⋅<，sin tan 0αα⋅<，则sin 0,cos 0,tan 0ααα><<，可得α在第二象限，进而
得出结论． 【详解】
∵sin cos 0,sin tan 0αααα⋅<⋅<， ∴sin 0,cos 0,tan 0ααα><<， ∴α在第二象限， ∴2k 2,2k k ππαππ+<<+∈Z ．
∴4
2
2
k k παπππ+
<
<+
，
当2,k n n =∈Z 时，2α在第一象限，当21,k n n Z =-∈时，2
α
在第三象限 那么角
2
α
的终边在第一或第三象限． 故选：B ． 4．C 【分析】
根据终边上的点求出tan θ，再应用两角差正切公式求值即可. 【详解】
由题意知：tan 2θ=，而tan tan
2114tan 412131tan tan 4
π
θπθπθ--⎛⎫-=
== ⎪+⨯⎝
⎭+. 故选：C 5．C 【分析】
设设()sin 2cos tan 1f A A A A =-+-，则()f A 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，再利用零点存在定理即
可判断函数()f A 的零点所在的区间，也即是方程sin 2cos tan 1A A A -+=的根所在的区间. 【详解】
因为A 为锐角ABC 的内角，满足sin 2cos tan 1A A A -+=， 设()sin 2cos tan 1f A A A A =-+-，则()f A 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，
()0sin02cos0tan0130f =-+-=-<，
在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
取4x π=
，得
sin 2cos tan 104444f ππππ⎛⎫
=-+-=< ⎪⎝⎭
，
sin 2cos tan 103333f ππππ⎛⎫
=-+-> ⎪⎝⎭
，
因为043f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以()sin 2cos tan 1f A A A A =-+-的零点位于区间ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，
即满足sin 2cos tan 1A A A -+=的角A ∈ππ,43⎛⎫
⎪⎝⎭
，
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是令()sin 2cos tan 1f A A A A =-+-，根据零点存在定理判断函数的零点所在的区间. 6．A 【分析】
根据语义分析“还”与“破楼兰”互相推出的情况，由此判断属于何种条件. 【详解】
“还”能推出“破楼兰”，所以是充分条件， “破楼兰”不一定能推出“还”，所以是不必要条件， 所以“还”是“破楼兰”的充分不必要条件， 故选：A. 7．B 【分析】
由奇函数性质结合已知单调性得出函数在R 上的单调性，再由奇函数把不等式化为
(2)()f x f x -≥-，然后由单调性可解得不等式． 【详解】
∵()f x 是奇函数，在(,0]-∞上递减，则()f x 在[0,)+∞上递减， ∴()f x 在R 上是减函数，
又由()f x 是奇函数，则不等式()()20f x f x +-≥可化为(2)()f x f x -≥-， ∴2x x -≤-，1x ≤． 故选：B ． 【点睛】
方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性．这类问题常常有两种类型： （1）()f x 为奇函数，确定函数在定义域内单调，不等式为12()()0f x f x +>转化为
12()()f x f x >-，然后由单调性去掉函数符号“f ”，再求解；
（2）()f x 是偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调，不等式为12()()f x f x >，首先转化为
12()()f x f x >，然后由单调性化简．
8．A 【分析】
首先设函数()()2sin f x x ωϕ=+，由条件确定周期和ω的范围，再利用对称性求出对称中心和对称轴，求ω，代入12x π
=求ϕ，利用伸缩变换求()2sin 3g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，最后解不等式.
【详解】
函数的最大值为2，∴()()2sin f x x ωϕ=+，
()f x 在区间,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调，所以2263T πππ≥-=，即23T π≥，
223
π
π
ω
∴≥
，即03ω<≤， 223f f ππ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，712x π∴=
是函数的对称轴， 26f f ππ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,03π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是函数的对称中心，23T π≥
712x π∴=
和,03π⎛⎫
⎪⎝⎭是函数相邻的对称轴和对称中心，
2174123
πππω⨯=-，得2ω=， 当12
x π=
时，()f x 取到最大值2，2212
2
k π
π
ϕπ∴⨯
+=
+，2,3
k k Z πϕπ=
+∈，
当0k =时，3
π
ϕ=
，
()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，根据题意可知()2sin 3g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
()112sin 1sin 332g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫∴>⇔+>⇔+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
5226
3
6k x k π
π
πππ∴
+<+
<
+，解得：2262
k x k ππ
ππ-+<<+，k Z ∈. ()1g x ∴>的解集是2,2,62k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
.
故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是对称性和周期性的灵活应用，关键由条件223
6f f f ππ
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
确定相邻的对称轴和对称中心. 二、填空题
9．ACD 【分析】
四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.
【详解】
对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称， 将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象， 故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确； 对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，
得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数， 不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.； 对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称， 则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；
对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，
()()()()312,422,
f f f f +-=+-=，
()f x 的图象关于（1，1）对称，正确. 故选：ACD. 10．CD 【分析】
因为判断的是充分不必要条件，所以所选的条件可以推出a b >，且a b >无法推出所选的条件，由此逐项判断即可. 【详解】
A ．因为1a b >-不能推出a b >，但a b >可以推出1a b >-，所以1a b >-是a b >成立的必要不充分条件，故不满足；
B ．因为
11a b <不能推出a b >（例如：1,1a b =-=），且a b >也不能推出11
a b
<（例如：1,1a b ==-），
所以
11
a b
<是a b >成立的既不充分也不必要条件，故不满足；
C >0a b >≥能推出a b >，且a b >1,1a b ==-），
a b >成立的充分不必要条件，故满足；
D ．因为函数0.3x y =在R 上单调递减，所以10.30.3a b -<可以推出1a b ->，即1a b >+， 所以10.30.3a b -<可以推出a b >，且a b >不一定能推出10.30.3a b -<（例如：1,1a b ==）， 所以10.30.3a b -<是a b >成立的充分不必要条件，故满足， 故选：CD. 【点睛】
结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；
（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）若p 是q 的既不充分也不必要条件，则p 对应集合与q 对应集合互不包含. 11．D 【分析】
结合单调性的概念，二次函数的图象，不等式的性质和函数的定义判断各选项，错误选项可举反例说明． 【详解】
A 不正确，如1
,0
(),0x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩满足题意，但在R 上不是增函数；
B 不正确，若0a <且280b a -<，()f x 的图象与x 轴也没有交点；
C 不正确，若5,2,0a b c ===满足a b c >>，但bc ac =；
D
正确，1y x +，值域为[0,)+∞，1y x =+值域是R ，不是同一函数． 故选：D ． 12．BCD 【分析】
根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、B 、C
，举特例根据x
x =判断D 即可得到答案. 【详解】
对于A ，当x 为有理数时，则x -为有理数，则()()1D x D x -==． 当x 为无理数时，则x -为无理数，则()()0D x D x -==． 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，∴函数为偶函数，
若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112D x D x +-=+=， 所以()D x 不是奇函数，所以A 不是真命题；
对于B ，r Q ∀∈，当x 是有理数时， x r +是有理数，()()1D x r D x +==， 当x 是无理数时， x r +是无理数，()()0D x r D x +==，所以B 是真命题； 对于C ，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1D D x D ==，
若自变量x 是无理数，则[]()(0)1D D x D ==，所以C 是真命题；
对于D ，
当x =
y =
x y += 则()0,()()000D x y D x D y +=+=+=，满足()()()D x y D x D y +=+，所以D 是真命题. 故选：BCD.
【点睛】
本题考查了特殊函数的性质及求函数的值，关键点是理解函数的定义和性质去做判断，考查了逻辑推理，数学运算.
三、多选题
13．16
【分析】
求出集合A ，确定集合A 的元素个数，利用集合的子集个数可求得集合A 的子集个数.
【详解】
(){}
{}{}lg 440,1,2,3A x y x x x =∈=-=∈<=N N ，则A 的子集个数为4216=． 故答案为：16.
【点睛】
本题考查集合子集个数的求解，同时也考查了对数函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
14．1
【解析】
【分析】
利用零点的存在性定理，验证使得()()10f k f k ⋅+<，即可求得k 的值.
【详解】
()()()03,11,22f f f =-=-=，故()()120f f ⋅<，根据零点的存在性定理可知()01,2x ∈，故1k =.
【点睛】
本小题主要考查零点的存在性定理.零点的存在性定理的含义是：若函数在区间(),a b 上满足()()0f a f b ⋅<，则函数在区间(),a b 上有零点.另外要注意的是，零点的存在性定理，是零点存在的充分条件，而不是必要条件，也就是说如果()()0f a f b ⋅>，在区间(),a b 上也可能存在零点.
15．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【分析】
先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果
【详解】
由()()13log 2e x f x x -=+-，令()0
f x =
所以1x =，又已知函数()()13log 2e x f x x -=+-
与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”
据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则
()0g x =在02x <<有解 即1224x x
a +-=在02x <<有解， 令()1224x x
h x +-=， 又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
所以2
222111222t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭ 当112
t =时max 12y = 当11t
=时0y = 所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【点睛】
本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.
16．25
【分析】
根据0t =时，盛水筒到水面的距离，由函数关系式，求出ϕ，再将100t =代入函数关系式，即可得出结果.
【详解】
因为筒车上一盛水简M 距离水面的高度H (单位：米)与转动时间t (单位：秒)满足函数关系式52sin ,0,6042H t ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且0t =时，盛水筒M 与水面距离为2.25米， 所以52sin 2.254ϕ+=，则1sin 2
ϕ=， 又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6π=ϕ，则52sin 6064H t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因此当100t =时，1005552sin 2sin 0.2560646441H πππ⎛⎫=++=-+== ⎪⎝⎭
，
即当筒车转动100秒后，盛水筒M 与水面距离为0.25米.
故答案为：0.25
四、解答题
17．（1）{3x x ≤-或}6x >；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【分析】
（1）当1m =-时，求出集合B ，利用交集和补集的定义可求得集合
()U A B ； （2）分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，根据B A ⊆可得出关于实数m 的不等式（组），综合可得出实数m 的取值范围.
【详解】
（1）当1m =-时，{}{}21130B x m x m x x =-<<+=-<<，
{}
{}126406x A x x x =≤≤=≤≤，{}36A B x x ∴⋃=-<≤， 因此，(){3U A B x x ⋃=≤-或}6x >；
（2）当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥，这时B A ⊆；
当B ≠∅时，有21121016m m m m -<+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩
，解得122m ≤<. 综上，m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
易错点点睛：在利用集合的包含关系求参数，要注意以下两点：
（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；
（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．
18．（1）()2cos 2
3f x x
ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2） 【分析】
（1）由最高点坐标求得A ，坐标(0,1)代入解析式可求得ϕ，由最高点坐标可求得ω，得解析式；
（2）由三角函数性质求得,P Q 点坐标同，由数量积的坐标表示求得m ，()g x 化为关于cos x 的二次函数，换元后由二次函数性质求最小值，再根据最小值为8-求得n ．
【详解】
解析（1）由函数图象最高点的纵坐标为2知2A =，
将点()0,1代入函数的解析式中，得1cos 2
ϕ=， 0ϕπ<<，故3πϕ=. 将点2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
代人() f x 的解析式中，得2cos 133πω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 所以2233
k πωπ-+=，k ∈Z ， 即32k π
ωπ=-+，k ∈Z ，又由 1 2 ω<<，从而 2π
ω=， 所以()2cos 2
3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）23x k πππ+=，k ∈Z ，则取1k =得4,23Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；取2k =得10,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.所以410422339
m OP OQ =⋅=⨯-⨯=， 于是2()4cos 24cos 38cos 4cos 7g x x n x x n x =+-=+-. 当2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，设 cos t x =，则1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
， 于是2()()847g x h t t nt ==+-，1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
. 当142n -≤-，即2n ≥时，()h t 单调递增，由182h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得32n =，矛盾； 当1124n -<-<，即42n -<<时，由 84n h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，得 n = 当14n -≥，即 4n ≤-时，()h t 单调递减，由(1)8h =-，得94
n =-，矛盾． 所以实数n
的值为
19．（1）()()()()121,030,0131,02x
x x x x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩
（2）（﹣∞，﹣13）． 【分析】
（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213x
x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，根据奇函数的性质即可求解x ＜0的解析式，可得f （x ）的解析式；
（2）从条件可知()f x 单调递减，由单调性和奇偶性脱去“f ”，转化为求解二次不等式恒成立的问题，从而求解实数k 的取值范围．
【详解】
解：（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，
当x ＞0时，()1213x
x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，当x ＜0时，﹣x ＞0， 则()11213132x x x x f x --⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∵f （x ）是奇函数， ∴()1312x x f x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即()1312x x f x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． ∴f （x ）的解析式为： ()()()()121,030,0131,02x
x x x x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩
． （2）当x ＞0时，()1213x
x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
单调递减，且()()100f x f <-<=，则()f x 在R 上单调递减，若不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，
即f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）
∴t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2，
即3t 2﹣2t ＞k ，
可得3（t ﹣13）2﹣13
＞k 对任意的t ∈R ． ∴k ＜﹣13
． 故得实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣13）． 【点睛】
思路点睛：对于已知函数大小关系解不等式的问题，常应用函数的奇偶性和单调性去掉外层函数，构造内层函数的不等关系，解不等式即可.
20．(1)()40cos
50(030)15H t t t π=-+≤≤;(2)答案见解析;(3)h 的最大值为40米 【分析】
(1)设()sin()H t A t B ωϕ=++,根据最高点和最低点可得A 与B ,由周期求ϕ值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t ;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h 关于t 的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值.
【详解】
(1)由题意可设()sin()(0,0,0)H t A t B A B ωϕω=++>>≥,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,
9010
A B A B +=⎧⎨-+=⎩,得40,50A B ==. 又函数周期为30,23015
ππω==, ()40sin()5015H t t π
ϕ=++(030t ≤≤), 又0t =时,()10H t =,所以1040sin(0)5015πϕ=⨯++,即sin 1ϕ=-,ϕ可取2
π-, 所以()40sin()5040cos 50(030)15215
H t t t t πππ=-+=-+≤≤ (2) ()40cos 503015H t t π
=-+=,1cos 152
t π
=解得5t =, 所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米;
(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036
,游客甲,乙中间相隔5个座舱, 则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了t (530t ≤≤)分钟,则游客乙在摩天轮上坐了5t -分钟,所以高度差为:
40cos
50[40cos (5)50]1515140[cos cos (5)]40[cos ]151********cos()153
h t t t t t t t πππ
π
ππππ=-+---+=---=-=-+ 当153t π
π
π+=即10t =时,h 取得最大值40.
【点睛】
本题考查利用三角函数的性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答.
21．（1）1a b ==；（2）12k ≤
；（3）12
m >-. 【分析】
（1）就0a =、0a <、0a >分类讨论后可求,a b 的值.
（2）令2x t =，则原不等式等价于222110t t kt -+-+≥在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离后可求k 的取值范围.
（3）令2log 0s x =>，则原方程等价于()231210s m s m -+++=在()0,s ∈+∞有两个不同
的实数解，利用根分布可求m 的取值范围.
【详解】
解：（1）∵函数()()220g x ax ax b b =-+>，在[]1,2x ∈时最大值为1和最小值为0.
∴（i ）当0a =时，()g x b =不符合题意；
（ii ）当0a >时，由题意得()g x 对称轴为1x =，()g x 在[]1,2x ∈单调增，
∴()()1021g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，∴1a b ==； （ⅲ）当0a <时，由题意得()g x 对称轴为1x =，()g x 在[]1,2x ∈单调减，
∴()()1120g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，∴1a =-，0b =，不符合题意， 综上：1a b ==；
（2）当[]1,1x ∈-，令12,22x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
， ∴()210g t k t -⋅+≥在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， ∴222110t t kt -+-+≥在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 即211221k t t ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 又当2t =时，2
11221t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最小值为12，∴12k ≤； （3）令2log 0s x =>，
∴当0s >时，方程2log s x =有两个根；当0s <时，方程2log s x =没有根.
∵关于x 的方程()222log 310log m f x m x +
--=有四个不同的实数解， ∴关于s 的方程()2310m f s m s
+--=在()0,s ∈+∞有两个不同的实数解， ∴()231210s m s m -+++=在()0,s ∈+∞有两个不同的实数解，
∴()()()2914210310210m m m m ⎧∆=+-⋅+>⎪+>⎨⎪+>⎩
，∴12m >-. 综上：关于x 的方程()222log 310log m f x m x +
--=有四个不同的实数解时，12
m >-. 【点睛】
方法点睛：对于指数不等式的恒成立问题或对数方程的有解问题，我们可以通过换元把它们转化为一元二次不等式的恒成立问题（可用参变分离来求参数的取值范围）或一元二次方程的解的问题（可用根分布来处理）.
22．（1）54t ≥，（2）见解析. 【分析】 （1）因为0x >，由对勾函数得，函数4y x x =+
在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，令4
()()50g x t x x =+-，(0)t >结合题意可得所以()0min g x ，解得t 的取值范围．
（2）当1t =时，4()|5|f x x x
=+-，作出()f x 图象，分两种情况当(1,2)x ∈时，当(0,1)x ∈时，()f x 的值域，进而求得m 的取值范围．
【详解】
解：（1）(0,)x ∈+∞时，
4424x x x x
+≥⋅=，当2x =时取最小值4， 且在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，
要使函数4()()5f x t x x
=+-分别在(0.2),(2,)+∞上单调， 则4()()50,g x t x x
=+-≥ 即min ()450,g x t =-≥
54
t ∴≥； （2）当1t =时，4
()|5|f x x x =+-，
作出()f x 图象如下：
令()0,f x =
解得1x =或4
x =
①当(1,2)x ∈时，4()5(),f x x x
=-+ 44()5(),()5()f a a f b b a b
∴=-+=-+， 由()()f a f b m a b ==得，4455b a b ab a ab a b
--=--即54()0ab a b -+=， 4,54a b a ∴=
- 由(1,2)b ∈ 解得443
a <<， 由(1,2),a ∈
423
a ∴<<， 由245()4541(2)3
a f a a m a a a a a --===-+-<<， 可得19,216
m <≤ ②当(4,)x ∈+∞时，4()5,f x x x =+
- 44()5(),()5()f a a f b b a b
∴=-+=-+， 由()()f a f b m a b ==得，4455,b a ab b ab a a b
+-=+- 整理得：
()54a b ab +=, 即1154
a b +=， 4,4,a b ≥≥
11111442a b ∴+≤+=与1154
a b +=矛盾，即实数,a b 不存在； ③当(0,1)x ∈时，4()5f x x x
=+-， 由(),()f a mb f b ma ==可得5a b +=，与,(0,1)a b ∈矛盾，即实数,a b 不存在；
④当(2,4)x ∈时，4()5()f x x x
=-+， 由(),()f a mb f b ma ==可得5a b +=，
再由(),f a mb =得254a a m ab
--= 把5b a =-代入得2
415m a a =-- 24,a <<且b a >，
可得522
a <<， 19(,)335
m ∴∈ 综上所述：存在实数,(1,2)a b ∈，使得函数()f x 在区间[,]a b 上单调，且()f x 的取值范围为
[,]ma mb ，此时m 的范围为19,216⎛⎫ ⎪⎝⎭
；或,(2,4)a b ∈， 使得函数()f x 在区间[,]a b 上单调，且()f x 的取值范围为[,]ma mb ，
此时m 的范围为19,325⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查双勾函数的图象及性质，考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想，综合性较强．。