直线和平面的位置关系

(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
直线和平面
在日常生活中，我们可以观察到直线与平面 的位置关系共有三种。
即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给
出下面的定义。
定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么称这条直线和这个平面平行。
直线l与平面平行， 记作l //,即l
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影A
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
在PAO中，
P
sin PAO PO 8 1 PAO 30
PA 16 2
A
同理 : sin PBO PO 8 PB 10
O
B
PBO 538
三垂线定理及逆定理
P oa
A α
预习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
m
P
n
求证：与三角形的两条边同时垂直的直线 必与第三条边垂直。
假设aAC, aBC.求证aAB a
A
C B
实际上，这为证明“线线垂直”提供了一种方法
如图,PA 园O所在平面,AB
P
是园O的直径,C是园周上一点,那
末,图中有几个直角三角形?
分析:问题的焦点是三角
形PBC是不是直角三角形?
A
O
B
过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P
Q
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线
P 点P到平面的斜线段
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言 2°定理的关键找“平面”这个参照学。
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即
例 如图，P 是平面外一点， 过P分别作 平面的垂线PO、 斜线PA、 PB,O是垂足，A、B
是斜足.PO 8, PA 16, PB 10. 求直线PA、 PB 分别和平面所成的角的度数（ 精确到分）。
解 因为PA、PB 在平面内的射影分别是OA、OB,
所以PA. PB和平面所成的角分别是PAO、 PBO
进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和 这个平面内的直线所成的一切角中的最小角
小结 1、斜线在平面内的射影
（1）点在平面内的射影
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
同的任意一条直
AOB线（,过记点为A）引是ACa与所成的角
直直=线线00和和0垂C因所平平0.直为以面 面OA垂平9BD直行0垂0A：或足C所在，为成 平的面角内是直角
最小角AB定/AO理AC/AO
a 00900
A
B
O
C
D
斜线和即sin平面sin所A成OC的. 角，是这条斜线和这个平面
内经过因斜此足的AO直C 线所成的一切角中的最小角
又 AE CE E,
BD平面ACE,
AC 平面ACE, BDAC
C
小结
直接法
判定定理 如果一条直
线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
直线与平面 垂直的判定
定义法
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线
分别为A' , B' .
AA' , BB ' ,
A l B
AA' // BB'. 设经过直线 AA '和BB '
的平面为 , = A' B '.
l //, l //A'B' .
A’
B’
AA' = BB' . 即直线l上各点到平面的距离相 等 .
1、斜线在平面内的射影
（1）点在平面内的射影
a
无数个
a∥
没有
a=A
一个
a
一个
一、直线和平面平行
1、直线和平面平行的判定 直线 和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线 和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行。
如 图 已 知l , m ,
l
且l//m.
求 证： l //
m α
如 图 已 知l , m ,
且l//m.
例1。已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、
AD的中点
A
求证：EF∥平面BCD 证明：连接BD，在△ ABD中，
E
F
B
D
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF ∥ BD
又∵EF 平面BCD，
C
∩
BD 平面BCD
∴EF ∥平面BCD
3。 两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同
一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点
求证：MN ∥面BCE
A
F
分析：连接AE,CE
D
由M、N是中点知： M
MN ∥ CE
B
N E
所以： MN ∥面BCE C
2、直线和平面平行的性质
直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个 平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线就和交线平行。
已知 : 直线 l、m， 平面、 ;l // ,l , m.
设a与b不平行，b O. 过O点作b // a.
a // b, a , b .
设a与b不平行，b O. 过O点作b // a.
例2 已知一条直线l 和一个平面平行. 求证: 直线 l 上各点到平面的距离相等(如图).
证明: 过直线l上任意两点A, B
分别引平面的垂线AA' , BB ', 垂足
求证 : l // m. 证明: 如图所示,因为l //,
所以l和没有公共点.
l
m
P
又因为m ,
所以l和m没有公共点, 而l和m在同一个平面内,
因此, l // m.
例3：
长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P BB（1 异于B、B1）
PA BA1 M , PC BC1 N ,
求证：MN // 平面ABCD
过一点能作几条与已知直线垂直的直线？
m
M
O
a A
b
c
d
所作的垂线是在同一平面内吗？是
直线m与此平面给我们什么形象？直线垂直平面的形象
直线和平面垂直的定义
如果一条直线（ l）和一个平面（）内的任何
一条直线都垂直， 则说这条直线（l ）和这个平面
（）互相垂直,记为 l .直线 l 叫平面的垂线，平 面叫直线 l 的垂面， 垂线和垂面的交点叫做垂线足
P
提示
D O
AO=CO，PA=PC，
POAC。
同理PO BD，
CHale Waihona Puke 又AC BD=O， PO 平面ABCD。
A
B
在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
求证：对角线AC BD。
A
提示
E B
取B D的中点E, 连接A E, CE ,
AB AD, AEBD,
D
BC DC, CEBD,
定义2 如果一条直线和一个平面有且只有一个公 共点。那么称这条直线和这个平面相交。
直线l与平面相交于Q， 记作 l Q
直线和平面
直线与平面的位置关系
位置关系
直线在平面内
直线与平面
平行 直
线直 不线 在与 平平 面面 内相
交
直线与 平面斜
交
直线与 平面垂
直
图示
a α
a α
a α
a α
表示方法 公共点个数
AC 面ABCD
D1
C1
A1
M D
B1
P N C
A
B
MN // 面ABCD
课件 y
x o
直线与平面有那些位置关系？
c a
O
b
a/ / b c =O
直线a与平面 相交，a与平面 内的直线有几种位置关系？
a
c
ob
d
a与c是异面直线
ab
如果平面内的直线d 平行于b，那么d与a 垂直
若直线d不在平面 内，上述结论还成立吗？仍成立
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
三垂线定理
对三垂线定理的说明： 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理。
三垂线逆定理
PA平面ABC BC 平面ABC
ACBC PABC PA AC
A
C
BC平面PAC PC 平面PAC
BCPC
PBC是直角三角形
故共有四个直角三角形
故共有四个直角三角形
如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点， O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。
求证：PO平面ABCD
或垂足（Q）。
l
Q
1、直线和平面垂直的判定
直线 与l平面 相交，但不和平面垂直， 叫做直线 与平l面 斜交，称直线 是平面l 的斜线， 交点为斜足。
直线与平面垂直的判定定理
如果直线 l和平面 内的两条相交直线
m,n都垂直，那么直线l垂直平面。 l
即：
m ,n
lm, ln
,
m
n
P
l
线不在多，重在相交
MN 面ABCD MN // 面ABCD
AC 面ABCD
C1
B1 P
N C
B
证法2
利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
PBM∽AA1 M
PM MA
PB AA1
PBN∽ CC1 N
PN NC
PB CC1
PM PN CC1 AA1 AC // MN
MA NC MN 面ABCD
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这 条斜线的射影垂直。
PA⊥α
aα
①
PA⊥a
PO⊥a
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
P a
Ao α
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
是PO在平面α内的射
影. 如果a α, a⊥AO，
思考a与PO的位置关 系如何？
答：a⊥PO
为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直。
PA⊥α aα
①
PA⊥a
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P a
Ao α
D1
C1
A1
B1
M D
P N
C
A
B
例3：证 明
连结AC、A1C1 长方体中A1 A//C1C A1C1 // AC
AC 面A1C1 A1C1 面A1C1
D1 A1
M D
AC // 面A1C1B A
AC 面ACP
A1B PA PC BC1
M N
面ACP
面A1C1B
MN
AC // MN
Q
斜足
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P
斜线段在平面内的射影
P
Q
斜线在平面内的射影
2、直线和平面所成的角
平面证的明一：条设直斜线线和它在这个平面内的射影所成 的锐O角D，是叫内做与a这不条斜线和这个平面所成的角.
此直线垂直于这个平面
唯一性公理一
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直
m A
唯一性公理二
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
m
A
B
2、直线和平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个两面，那么这两
条直线互相平行。
a b b
已知: a ,b ,
求证: a // b
o
证明：反证法.
l
求 证： l //
m
P
证明 : 用反证法。
假设直线l不平行于平面 ,因为l ,则l P.
因为l // m,所以l、m可以确定一个平面 ， 设该平面为 .
因为m ,所以 m.
由P l得P .因为P ， 所以P ， 即P m.
因此l m P， 这与l // m矛盾. 所以l //.
第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
证明：∵ P 是平面ABC 外一点
P
PA⊥平面ABC