高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (4)

学年第一学期阶段性考试 高二数学（文科）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知命题2015log ,:2=∈∀x R x p ，则p ⌝为( )
A ．2015log ,2=∉∀x R x
B ．2015log ,2≠∈∀x R x
C ．2015log ,020=∈∃x R x
D ．2015log ,020≠∈∃x R x
2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5
袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )
A ．5,10,15,20,25
B ．2,4,8,16,32
C ．5,6,7,8,9
D ．6,16,26,36,46 3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．23
4．双曲线12
2
2
=-y x 的渐近线方程为（ ） A. 02=±y x B. 02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x
5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等； ③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差． 以上说法正确的是（ ） A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
6．用秦九韶算法求多项式7234)(2
3
4
++++=x x x x x f 的值，则)2(f 的值为( ) A ．98 B ．105 C ．112 D ．119 7．运行如右图的程序后，输出的结果为（ ） A ．
6053 B ．54 C ．65 D ．7
6 8．已知椭圆
22
1164
x y +=过点)1,2(-P 作弦且弦被P 平分，则此弦 所在的直线方程为（ ）
7 90 1 3
8 90 1 2
8
9
甲乙END
S PRINT WEND i i i i S S i WHILE S i 1))1(/(160
1
+=+*+=<==
A ．032=--y x
B ．012=--y x
C ．042=--y x
D ．042=+-y x
9．已知)(x g 为函数)0(1232)(2
3
≠--=a ax ax ax x f 的导函数，则它们的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知倾斜角为︒
45的直线l 过抛物线x y 42
=的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，则OAB ∆（其
中O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．2
B ．22
C ．23
D ．8
11．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：
①()()x
f x a
g x =⋅(0,a >1)a ≠且；②()0g x ≠；③)(')()()('x g x f x g x f ⋅<⋅． 若(1)(1)5
(1)(1)2
f f
g g -+=-，则实数a 的值为 ( )
A ．
21 B ．2 C ．45 D ．2或2
1 12．如图，直线m x =与抛物线y x 42
=交于点A ，与
圆4)1(2
2=+-x y 的实线部分（即在抛物线开口内 的圆弧）交于点B ，F 为抛物线的焦点，则ABF ∆的 周长的取值范围是( ) A ．()4,2 B ．()6,4 C ．[]4,2 D ． []6,4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．将十进制数)10(2016化为八进制数为 . 14．已知变量x 与y 的取值如下表：
x 2
3 5 6
y 7
a -8 a +9 12
从散点图可以看出y 对x 呈现线性相关关系，则y 与x 的线性回归直线方程a bx y
+=ˆ必经过的定点为 ．
15．已知P 为圆4)2(:2
2
=++y x M 上的动点，)0,2(N ，线段PN 的垂直平分线与直线PM 的交点为Q ，点Q 的轨迹方程为 ．
16．已知函数x
xe x f =)(，现有下列五种说法：
①函数)(x f 为奇函数；
②函数)(x f 的减区间为()-1∞，
,增区间为()1+∞，；
频率
组距50 55 60 65 70 75 80体重（kg)
O
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01③函数)(x f 的图象在0x =处的切线的斜率为1； ④函数)(x f 的最小值为1e
-
. 其中说法正确的序号是_______________（请写出所有正确说法的序号）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
设命题p ：12>-x ；
命题q ：0)1()12(2
≥+++-a a x a x .
若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重()kg 数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[)65,60的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求体重在[)6560，
内的频率，并补全频率分布直方图；
（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取
6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各
组应分别抽取多少人？
（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．
19. （本小题满分12分）
（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的[]3,1-∈t ，若输
出的s 的取值范围记为集合A ，求集合A ；
（2）命题p ：A a ∈，其中集合A 为第（1）题中的s 的取值范围；
命题q ：函数a x ax x x f +++=23
3
1)(有极值； 若q p ∧为真命题，求实数a 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知双曲线C ：)00(122
22>>=-，b a b
y a x .
（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；
（2）在区间[]61，
内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C:)0(122
22>>=+b a b
y a x 的中心在坐标原点O ，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶
点与两个焦点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若斜率为k 的直线l 经过点)0,4(M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2
1
>⋅OB OA ，求k 的取值范围．
22. （本小题满分12分）
已知函数)(2ln )(2
R a x x
a x a x f ∈++-=． （1）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；
（2）当0>a 时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值记为)(a g ，请写出)(a g 的函数表达式.
高二数学（文科）试卷参考答案
一、ＤＤＣＤ ＢＢＣＤ ＡＢＡＢ
二、13．)8(3740 14．()9,4 15．)0(13
2
2
<=-x y x 16．③④ 三、
17．解：由p ：12>-x 解得1<x 或3>x .……………………………… 3分
由q ：0)1()12(2
≥+++-a a x a x 得[]0)1()(≥+--a x a x ，
解得a x ≤或1+≥a x .……………………………… 6分
∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件. …………………… 8分 ∴⎩⎨
⎧≤+≥3
11
a a ，则21≤≤a .
∴实数a 的取值范围是[]21，
.……………………………… 10分 18．解：（1）体重在[)65,60内的频率2.05)01.002.003.007.003.0(1=⨯++++-=
04.05
2
.0==组距频率 补全的频率分布直方图如图所示. ……………4分 （2）设男生总人数为n ，
由
2.0200
=n
，可得1000=n 体重超过kg 65的总人数为
30010005)01.002.003.0(=⨯⨯++
在[)70,65的人数为1501000503.0=⨯⨯，应抽取的人
数为3300
150
6=⨯
， 在[)70,65的人数为1001000502.0=⨯⨯，应抽取的人数为2300
100
6=⨯， 在[)80,75的人数为501000501.0=⨯⨯，应抽取的人数为1300
50
6=⨯
. 所以在[)70,65 ，[)75,70，[]80,75三段人数分别为3，2，1.…………………… 8分 （3）中位数为60kg 平均数为
(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)…
12分
19．解：（1）由程序框图可知，当11<≤-t 时，t s 2=，则[)2,2-∈s . 当31≤≤t 时，()322
+--=t s
组距kg)
O
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
∵该函数的对称轴为2=t ，
∴该函数在[]21，
上单调递增，在[]3,2上单调递减. ∴2,3min max ==s s ∴[]3,2∈s
综上知，[]3,2-∈s ，集合[]3,2-=A ……………………………… 4分 （１）函数a x ax x x f +++=
23
3
1)(有极值,且12)(2'++=ax x x f ， 0)('=x f 有两个不相等的实数根，即04)2(2>-=∆a 解得1-<a 或1>a
即命题p ：1-<a 或1>a .……………………………… 8分
q p ∧为真命题，
则⎩⎨
⎧≤≤->-<3
21
1a a 或a ，解得3112≤<-<≤-a 或a ；
∴实数a 的取值范围是[)(]2,113--⋃，.……………………………… 12分
20．解：双曲线的离心率222
21a
b a
c a c e +===． 因为5
e <
a b a
b 20422
<<∴<∴．……………………………… 2分 (1) 因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，
所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个． 故双曲线C 的离心率小于5的概率为
4
3
1612)(==
A P ．…………………………… 7分
(2) ∵[][]6,1,6,1∈∈b a
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，
21422
1
55=⨯⨯-⨯=阴影S ，
由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为25
21
=P ．……………………………… 12分
21．解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，
32,22222=-=∴==∴c a b a c
∴椭圆C 的标准方程为13
42
2=+y x .……………………………… 4分 (2) 设直线l 的方程为)4(-=x k y ,设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
联立⎩⎨
⎧=+-=12
43)
4(2
2y x x k y ，消去y 可得（0126432)43(2
222=-+-+k x k x k
∵直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，∴0>∆
由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k 解得4
12
<k 设),(11y x A ,),(22y x B
则34322221+=+k k x x ,3
412
642221+-=k k x x ……………………………… 7分
211643324431264)1(16)(4)1()4()4(2
2
22222
2
21221221212121>
++-+-+=++-+=--+=+=⋅k k k k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x OB OA
解得196272
>k ∴4
1196272<<k
所以k 的取值范围是2
1
1433143321<<-<<-k 或k .……………………………… 12分
22．解：（1）∵)(2ln )(2R a x x a x a x f ∈++-=，∴12)(22'
+--=x
a x a x f 当1=a 时，12
1)(,2ln )(2'+--=++
-=x
x x f x x x x f 2)1(,3)1('-===f k f
曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(23--=-x y 即
052=-+y x .……………………………… 3分
（2）2
22222'
)
)(2(212)(x a x a x x a ax x x a x a x f +-=--=+--=
0,0>>x a ,由0)('>x f 得a x 2>，由0)('<x f 得a x 20<<
)(x f ∴在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．……………………………… 5分
①当2
1
0120≤
<≤<a 即a 时，)(x f 在[]e ,1上为增函数． 12)1()(2+==∴a f a g 在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．…………… 7分
②当2
2121e
a e 即a <<<<时，)(x f 在[]a 2,1上为减函数，在(]e a ,2上为增函数． a a a a f a g 3)2ln()2()(+-==∴……………………………… 9分
③当2
2e
a e 即a ≥
≥时，)(x f 在[]e ,1上为减函数． e e
a a e f a g ++-==∴2
2)()(……………………………… 11分
综上所述，⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧≥++-<<+-≤<+=)2(2)
221(3)2ln()210(12)(22
e a e e a a e a a a a a a a g ……………………………… 12分。