崇文区2005-2006学年度第二学期高三统一练习(二

崇文区2005－2006学年度第二学期高三统一练习（二）
数学（理工农医类）
2006.5
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第一卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知A x x B x x x a =<=-⋅-≤{|}{|()()}120，，若a ≤1，则A B =（ ） A. {|}x x ≤2 B. {|}x x ≤1 C. {|}x x ≥2
D. {|}x x ≥1
（2）将抛物线y x x =++244的图象按向量a 平移，使其顶点与坐标原点重合，则
a=（ ） A. （2，0） B. （－2，0） C. （0，－2） D. （0，2） （3）若sin sin 200ααα><且，则是（ ） A. 第二象限角 B. 第一或第二象限角 C. 第三象限角
D. 第三或第四象限角
（4）双曲线tx y 2210--=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则双曲线的离
心率为（ ） A.
5
B.
52
C.
32
D.
3
（5）用平面α截半径为R 的球，如果球心到截面的距离为
R
2
，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为（ ） A.
13
B.
34 C. 316
D. 43
（6）已知()2160122660246x a a x a x a x a a a a +=+++++++…，则的值为
（ ） A. 31
2
6-
B. 312
6+
C. 322
6+
D. 322
6-
（7）从1到100这100个整数中，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为（ ）
A.
4999
B.
5099 C. 12 D. 51
100
（8）a 、b 是任意实数，记||||||a b a b b +--、、1中的最大值为M ，则（ ）
A. M ≥0
B. 01
2≤≤M
C. M ≥1
D. M ≥1
2
第二卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）抛物线y x =-32的准线方程是________________。

（10）在数列{}a n 中，a a a n n 121110=--=+，，则此数列的前2006项之和为
________________。

（11）设函数f x x x ()log ()log =+-2122，则f(x)的定义域是________________；f(x)的最小值是________________。

（12）如图，用红、黄、绿、橙、蓝五种颜色给图中三个方格涂色，每格涂一种颜色，相邻格涂不同颜色，则共有________________种涂色方案。

（13）已知函数f x x x x f f x ()log ()()
[()]=>≤⎧⎨⎩=30201
9，则________________。

（14）若正实数a,b,c 成等差数列，函数f x ax bx c ()=++2的图象与x 轴有两个交点，则x x 12⋅的符号是________________（填正或负），其取值范围是________________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题共13分） 已知函数f x x x x x ()sin sin cos cos =++2223。

（I ）求函数f(x)图像的对称中心的坐标；
（II ）求函数f(x)的最大值，并求函数f(x)取得最大值时x 的集合； （III ）求函数f(x)的增区间。

（16）（本小题共14分）
已知正四棱柱ABCD A B C D -1111中，底面边长为22，侧棱长为4，点E 、F 分别
是棱AB 、BC 中点，EF 与BD 相交于G 。

（I ）求异面直线D E 1和DC 所成的角； （II ）求证：平面B EF BDD B 111⊥平面；
（III ）求点D B EF 11到平面的距离。

（17）（本小题共13分） 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的小球共10个，其中白球5个，红球3个，黄球2个。

现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次，取出黄球则不再取球。

求： （I ）最多取两次就结束的概率；
（II ）若取到3次，正好取到2个红球的概率； （III ）取球次数的分布列和数学期望。

（18）（本小题共14分）
已知椭圆x a y b
a b e 2222103
2+=>>=（）的离心率，过A （a ，0），B （0，－b ）
两点的直线到原点的距离是45
5。

（I ）求椭圆的方程；
（II ）已知直线y kx k =+≠10（）交椭圆于不同的两点E ，F ，且E 、F 都在以B 为
圆心的圆上，求k 的值。

（19）（本小题共12分） 已知函数f x x x x R ()()=
--++∈1113
2
2，。

（I ）证明：若x ≠2，则有|()()|||f x f x -<-22；
（II ）若数列{}()a f a a a a a n n n n n 满足，并且，证明：=-=≤≤+211311。

（20）（本小题共14分）
已知函数f(x)的定义域为R ，对任意实数m 、n 都有f m n f m f n ()()()+=⋅，且当x>0
时，0<f(x)<1。

（I ）证明：f(0)=1，且x<0时，f(x)>1； （II ）证明f(x)在R 上单调递减；
（III ）设A={(,)|()()()}x y f x f y f 2
2
1⋅>，B x y f ax y a R =-+=∈{(,)|()}21，，
若A B =∅，试确定a 的取值范围。

崇文区2005－2006学年度第二学期高三统一练习（二）
数学（理工农医类）试卷参考答案及评分标准
2006.5
一、选择题 （1）A
（2）A （3）C （4）B （5）C （6）B （7）A （8）D
二、填空题 （9）y =112
（10）－1001 （11）{|}x x >02， （12）80
（13）
1
4
（14）正，（0，743-） ()743++∞，
三、解答题 （15）解：
（I ）f x x x x ()(cos )sin (cos )=
-+++121223
212
=++=+
+s i n c o s s i n ()222
224
2
x x x π
令2428
x k x k k Z +
==
-∈π
πππ
得（）
∴函数f(x)图象对称中心的坐标是()k k Z ππ
28
2-∈，（）………………7分
（）当即（）时，函数取得最大值时的集合是，…………分
II x k x k k Z y f x x x x k k Z 24
22
8
22
8
10+
=+
=+
∈=+∴=+
∈π
ππ
ππ
ππ
max (){|}
（）由得（）
函数的单调增区间是，（）…………分
III k x k k x k k Z f x k k k Z 22
4
22
388
38813ππ
π
ππ
ππππ
ππππ
-
≤+
≤+
-
≤≤+∈∴-+∈()[] （16）解：
（I ）连结AD 1
∵是正四棱柱平面平面平面又平面ABCD A B C D A ABCD
ADD A ABCD AB AD AB ADD A AB AD -∴⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥1111111111
A
由已知，而∠∵与所成的角就是与所成的角，即∠直线与所成的角为………………分
AD DD AD AD DD AE AED AD AE DC AB
D E DC D E AB D EA D E DC ==∴=+=+==∴===∴∴224
22426
2
26
2
2323511212
22111111()tan //arctan
（）连结，由已知，，又，且平面∵平面平面平面………………分II AC EF AC AC BD EF BD
BB EF BD BB B EF BDD B EF EFB EFB BDD B //⊥∴⊥⊥=∴⊥⊂∴⊥11111
1119
（）连，作⊥，为垂足由于平面平面，为交线
平面的长是点到平面的距离在△中，∠III B G D H B G H EFB BDD B B G D H B EF
D H D EFB Rt D B H D H D B D B H
1111111111111111111⊥∴⊥=⋅sin
D B A B D B H B GB D H D B EF 111111111122224417
16171617
171617
17
14==⋅===
∴==
∴sin sin ∠∠点到平面的距离为
……………………分
（17）解：
（I ）设取球次数为ξ1，则
P C C P C C C C P ()ξξ12110118
11012110111
5
24515425
154259
25
4===
==⨯=⨯=
=+=（）所以最多取两次的概率………………分
（II ）由题意知可以如下取球：白红红、红白红、红红白、红红黄四种情况，所以恰有两次取到红球的概率为 P =
⨯⨯⨯+⨯⨯=51031031033103102101531000
8………………分 （III ）设取球次数为ξ
则P()ξ==
=12101
5
P P ()()()ξξ==⨯=
==⨯⨯+=
28102104
25381081021081016
25
则分布列为：
取球次数的数学期望为E ξ=⨯+⨯+⨯=1522532525
………………13分
（18）解：（I ）
c a a b c a b AB x a y
b
d ab a b b x y =-=∴=-==+=
∴=∴+=322145
5
2
164
1622222
22
，∵原点到直线：的距离所求椭圆方程为………………分
（）把代入中消去，整理得
设，，，，的中点是，，则，II y kx x y y k x kx E x y F x y EF M x y x x x k k y kx k =++=++-==
+=-+=+=+1164
1148120
241411
1422
22334400034200
2()()()()
k y x k
x ky k k k k k
k k k BM =+=-
∴++=-++++=∴=
∴=±000022
22120
414142001
8
2
414即又≠，……………………分
κ （19）证明：（I ）
欲证|()()|||f x f x -<-22
只需证明|
()|||x x x --++-<-1113
2
222
只需证明只需证明只需证明只需证明|()[()]|||
|()
[()]
|||[()]
||[()][()]
x x x x x x x x x x --+<---+<-<-+-<-++-+2211222111
2211211112
22222
只需证明只需证明而是恒成立的
所以………………分
||[()]||||()||()|||()()|||x x x x x x x x f x f x -+<-++-+-+
<-+-+
<-+-+-<-111111211
2
011211
2
011211
2
226222222
（）由上式有所以有即而即…II f x f x a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n |()()|||||||||||
||||||||||||||
||||||-<---<---+<----<--<--<--<-<<-=+++++-2222224222422222222211111111
∴-≤≤≤||a a n n 211312，有……………………分
（20）（I ）证明：令m=1，n=0，代入f m n f m f n ()()()+=中
得f f f f f f ()()()()()()1010110+=⋅=，即
1011
110010001
0>∴0<<∴==<-><-<==-+=+=f f f f f x x f x m x n x m n f m n f m f n ()()()()()()()()()由，得当时，，故得令，，则，代入中
得，又故，即由得，故………………………………分f x f x f f f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()
()()
()-==⋅-==
-<-<->>001
11
01
1115
（）证明：设，则，且，II x x x x f x x f x f x f x f x x x f x f x x f x f x f x f x x 1221211212111211112100101<-><-<>-=-+-=--=--()()()()()()
()()()()[()]
x x f x x f x x f x f x x f x f x f x R 212121*********
1010->∴-<∴--<∴--<>∴()()()[()]()()
()即在上单调递减……………………分
（）又由（）的结论，是上的减函数
，，若III A x y f x f y f f x y f II f x R x y B x y f ax y a R f ax y A B =>∴+>∴+<=-+=∈=∴-+==∅
{(,)|()()()}
()()
(){(,)|()}()222222111
210120
∴+<-+=⎧⎨⎩
-+=+≥≤-≤≤∴-≤≤方程组无解
即直线和单位圆的内部无公共点
只需，即，即的取值范围是………………分
x y ax y ax y a a a a a 22221
2020211333
3314||。