五种方法搞定变力做功问题

五种方法搞定变力做功

一.微元法思想。

当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以

将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。

例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的

质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做的功。

思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；

但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直

线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做

的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1 把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一

段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功

二、平均值法 当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。如：弹簧的弹力做功问题。

例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运

动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则

小物块运动到x 0处时的动能为 （ ）

A ．0

B ．

021x F m C ．04x F m π

D ．2

04x π

【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的

面积表示功，由图象知半圆形的面积为

04m F x π．C 答案正确．

图2

F x 0 F

x F • O x 0 图2－甲 图2乙

三.功能关系法。

功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。

例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经

过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系

一定是：

A ．E K

B -E KA =E K

C -E KB B ．E KB -E KA

C ．E KB -E KA >E KC -E KB

D ．

E KC <2E KB

【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.

四.应用公式Pt W =求解。 当机车以恒定功率工作时，在时间内，牵引力做的功Pt W =。

例 4.质量为m 的机车，以恒定功率从静止开始启动，所受阻力是车重的k 倍，机车经过时间t 速度达到最大值m v 。求机车在这段时间内牵引力所做的功。

解析：机车以恒定功率启动，从静止开始到最大速度的过程中，所受阻力不变，但牵引力是变力，因此，机车的牵引力做功不能直接用公式αcos FS W =来求解，但可用公式Pt W =来计算。

根据题意，机车所受阻力kmg f =。且当机车速度达到最大值时，f F =牵。

所以机车的功率为：max max max kmgv fv v F P ===牵。

根据Pt W =，机车在这段时间内牵引力所做的功为：

t kmgv Pt W m ==牵。

五.S F -图象法。

在S F -图像中，图线与坐标轴围成的面积在数值上表示力F 在相应的位移上对物体做的功。这一点对变力做功问题也同样适用。

例5.如图4所示，一个劲度系数为的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴

图4

线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为1x 过程中拉力所做的功。如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由1x 增大到2x 的过程中，拉力又做了多少功？

解析：在拉弹簧的过程中，拉力大小始终等于弹簧弹力的大小，根据胡克定律可知，拉力kx F =。

作出x F -关系图象，如图5所示，由图可知1AOx ∆的面积在数值上等于把弹簧拉伸了1x 过程中拉力所做的功。

即: 211112121kx x kx W ==。 梯形B x Ax 21的面积在数值上等于弹簧伸

长量由1x 增大到2x 过程中拉力所做的功。

即: )(2

1))((21212212212x x k x x kx kx W -=-+=。 以上所列举的方法只是物理学中常见的方法，跟多的还是要带着学生进一步的思考和训练，才能掌握好变力做功的情况

图5