全等三角形总复习

专题总复习（一）全等三角形、轴对称
一、复习目标：
1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.
2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.
3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.
二、重难点分析：
1、全等三角形的性质与判定；
2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.
三、知识点梳理：
知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
知识点二：全等三角形的性质.
（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.
知识点三：判定两个三角形全等的方法.
（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）
知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.
①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.
②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.
③有公共边的，公共边一定是对应边.
④有公共角的，公共角一定是对应角.
⑤有对顶角的，对顶角是对应角.
⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.
知识点五：找全等三角形的方法.
（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.
（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.
（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.
知识点六：角平分线的性质及判定.
（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.
（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.
知识点七：证明线段相等的方法.（重点）
（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）
（2）证明两个三角形全等，则对应边相等
（3）借助中间线段相等.
知识点八：证明角相等的方法.（重点）
（1）对顶角相等；
（2）同角或等角的余角（或补角）相等；
（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；
（4）角平分线的定义；
（5）垂直的定义；
（6）全等三角形的对应角相等；
（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.
知识点九：全等三角形中几个重要的结论.
（1）全等三角形对应角的平分线相等；
（2）全等三角形对应边上的中线相等；
（3）全等三角形对应边上的高相等.
知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）
（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；
（2）引平行线构造全等三角形；
（3）作垂直线段（或高）；
（4）取长补短法（截取法）.
四、例题精讲：
考点一：考查全等三角形的性质定理及判定定理.
O
D
C
B
A
E
F N
B
M
120°
A
E
D
C
B A
C
C
类型1 下列三角形全等的判定中，只适用于直角三角形的是（ ）
A 、SSS
B 、SAS
C 、ASA
D 、HL
类型2 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A 、一锐角和一直角边对应用相等
B 、两直角边对应相等
C 、两锐角对应相等
D 、斜边、直角边对应相等.
类型3 如图，AC 和BD 相交于点O ，BO =DO ，AO =CO ，则图中的全等三角形共有多少对（ ）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
考点二：考查全等三角形与垂直平分线的应用.
类型1 在ABC ∆中，AB cm BC A AC AB ，，，6120=︒=∠=的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于
E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于
F ，求证：NC MN BM ==.
类型2 如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，BD 平分ABC ∠，AD BC BD ==，DE AB ⊥. （1）求A ∠的度数； （2）求证：AE BE =.
考点三：全等三角形与等边三角形的综合运用.
类型1 已知ABC ∆和DEB ∆为等边三角形，点B D A 、、在同一直线上，如图1所示. （1）求证：AE DC =；
E
F
D
C B A
Q
A
E
B
C
P
A
B
C
F E D
（2）若AE BN CD BM ⊥⊥，，垂足分别为N M 、，
如图2，求证：BMN ∆是等边三角形.
类型 2 如图所示，ABC ∆是边长为1的等边三角形，︒=∠=120BDC CD BD ，，F E 、分别在
AC AB 、上，且︒=∠60EDF ，求AEF ∆的周长.
类型3 如图所示，ABC ∆是等边三角形，AD BQ CD AE ⊥=，于点Q BE 交AD 于点P ， （1）求PBQ ∠的度数；
（2）请判断PQ 与PB 的数量关系，并说明理由； （3）若31PQ PE ==，，求AD 的长.
类型4 如图所示，ABC ∆为等边三角形，D 为BC 边上的一点，且AC DF AB DE ⊥⊥，，若A
B C ∆的高为32，求DF DE +的值.
D
A
C
B
E A
B D
C F
G
E
C
A
D
B
C
A
E
D G
A
B
C
考点四：角平分线与全等三角形的综合运用.
类型1 在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD CE ⊥于E ，求证：ACE B ECB ∠=∠+∠.
类型2 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，B C ∠=∠2，求证：CD AC AB +=.
类型3 如图所示，//AB CD ，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，求证：BC AB CD =+.
类型4 如图所示，在ABC ∆中，︒=∠60C ，BE AF ,分别为ABC CAB ∠∠,的角平分线，AF 交BC 于点E ，BE 交AC 于点F ，BE AF ,相交于点G ，求证：GF GE =.
考点五：等腰三角形与全等三角形的综合运用.
类型 1 如图所示，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，点,D E 分别在AB 和AC 的延长线上，且
BD CE =，DE 交BC 于点G ，求证：DG GE =.
A
B 2
1
C
D
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
C
B
D
A
E
类型2 如图所示，在ABC ∆中，CD BD =，21∠=∠，求证：AD 平分BAC ∠.
类型3 如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，D 为BC 中点，AD CE ⊥于E ，交AB 于F ，连接DF ，求证：BDF ADC ∠=∠.
类型4 如图所示，已知AB CE AC BD AC AB ⊥⊥=，，，垂足分别为E D 、，CE BD ,相交于点F ， 求证：CD BE =.
类型5 已知ADE ABC ∆∆、是两个腰互不相等的等腰直角三角形，
，，AE AD AC AB ==︒=∠=∠90DAE BAC ，连结DC .
（1）求证：CD BE =；（2）求证：CD BE ⊥.
A
B C
D A
D
C
E B
D
C A
考点六：考查中线与全等三角形的综合运用.
类型1 如图所示，AD 是ABC ∆的中线，求证：AC AB AD +<2
类型2 如图所示，CE CB 、分别是ABC ∆，ADC ∆的中线，且AB AC =，求证：2CD CE =.
类型3 已知如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，CD 是ABC Rt ∆的中线，求证：CD BD AD ==.
考点七：考查全等三角形关于“质点运动”问题（通常与一次函数相结合）（难点）
类型1 已知直线AB 的函数解析式为8+-=x y ，且与x 轴、y 轴分别交于B A 、两点，点O 到直线AB 的距离为24，动点Q 从点B 开始在线段BA 上向点A 移动，同时动点P 从点A 开始向线段
AO 上向点O 移动，两点速度均以1个单位长度的速度移动，设点Q 、P 移动时间为t s .
（1）求出B A 、两点的坐标.
（2）当t 为何值时，APQ ∆与OBQ ∆全等
.
α
A
D
B O
C
110°E C
F N
B
M
120°
A
（3）是否存在AOQ ∆与OBQ ∆全等？若存在，试求出此时t 的取值 范围及线段OQ 所在直线的函数解析式；若不存在，请说明理由.
考点八：旋转与全等三角形、等腰三角形、等边三角形的综合运用.
类型1：如图所示，点O 是等边ABC ∆内一点，a BOC AOB =∠︒=∠，110，将BOC ∆绕点C 按顺时针方向旋转︒60得ADC ∆，连接OD . （1）求证：COD ∆是等边三角形；
（2）当︒=150a 时，试AOD ∆判断的形状，并说明理由； （3）探究：当a 为多少度时，AOD ∆是等腰三角形？
五、练习巩固.
1、如上图若︒=∠105A ，NF ME 、分别为AC AB 、的垂直平分线，求MAN ∠的度数.
2、如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠36A ，BD 平分ABC ∠，AB DE ⊥，
A
B
D
C F A
B
E
C
A B
C
D
M
C
E
D
B A
（1）图中有多少个等腰三角形，请写出来. （2）求证：AD BC BD ==；
（3）若BDC ∆的周长为24cm ，14=AB cm ，求ABC ∆的周长.
3、如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，CD AC AB +=，求证：B C ∠=∠2
4、如图所示，在ABC ∆中，BD DC =，ED DF ⊥，求证：BE CF EF +>.
5、如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠45B ，AD 平分BAC ∠，求证：CD AC AB +=
6、如图所示，90B C ∠=∠=︒，M 为BC 的中点，AM 平分DAB ∠，求证：DM 平分ADC ∠.
(4)
(3)
(2)
(1)
F
E
(C )D (A )B
E
D C
(A )B
E D
(A )B
A
B
D
E
F
A
E F F
E
D
C
B
A
E C
D
B
A
7、如图(1)所示，ABC ∆沿着DE 对折，使点A 刚好落在点B 上，如图(2)所示，将图(2)再沿着
()BF AF 对折（图(3)所示），使点C 刚好落在点D 上，得到图(4).请问：
(1) ABC ∆中A ∠的度数为__________；(2)根据上述的折叠，图(1)中，有_______个等腰三角形.
8、如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，AC DF AB DE ⊥⊥，，228cm S ABC =∆，
，cm AB 20=cm AC 8=，求DE 的长.
9、如图所示，已知AB CE AD BD ⊥=，垂足为E ，CE BD ,相交于点F ， 求证：CDF ∆为等腰三角形.
10、如图所示，在ABC ∆中，CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线.求证：AE AC 2=.
图1D
F
A
C
E
G
图2
D
B
C
A
11、如图所示，已知在ABC ∆中，cm BC cm AC AB 810===，，点D 为AB 的中点，
（1）如果点P 在线段BC 上以s cm /3的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动.
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BPD ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与
CQP ∆全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿
ABC ∆三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上相遇？
12、如图1所示，ABC ∆和DEB ∆为等边三角形，E B A 、、在同一条直线上，连接CE AD 、分别交BD BC 、于点F G 、，连结GF . （1）求证：CE AD =.
（2）求证：BGF ∆是等边三角形.
（3）将BDE ∆绕点B 按顺时针方向旋转︒90，其他条件不 变的情况下，在图2中补出符合要求的条件，并判断第（1） （2）两小题的结论是否成立？
F
E
D
C
B
A
M N N
M A
B
C
D E F
3
2
1
M
A
B
C
D E
F 3
2
1D
E
C
B
A
M M A
B
C
E
D
D
E
C B A
13、如图①所示，在ABC Rt ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D E 、是直线AC 上的两动点，且
AD CE =，AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，直线BD 交直线NE 于点F .
(1)试探究EDF ∠与DEF ∠的大小关系；
(2)如图②所示，若D E 、运动到如图位置，其他条件不变，图①中的EDF ∠与DEF ∠的大小关系还成立吗？若成立，请证明出来，若不存在，试说明理由.
(3)如图③所示，当DE 运动到如图的位置，此时的EDF ∠与DEF ∠的大小关系又是如何？请证明你的结论.
课前练习
1、如图所示，已知两个等边ABC ∆、CDE ∆有公共的顶点C .
(1)如图①，当D 在AC 上，E 在BC 上时，AD 与BE 之间的数量关系为______________. (2)如图②，当B C D 、、共线时，连接AD BE 、交于点M ，连接CM ，线段BM 、AM 、CM 之间有何数量关系？试说明理由.
(3)如图③，当B C D 、、不共线时，线段BM 、AM 、CM 之间有又何数量关系？不要求证明.
2
1
B
E
C D
A
N
M
M
N
A
D
C E
B
2、如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，
(1)如图①，若M 为BC 的中点，AM MN ⊥，CN 平分DCE ∠并交MN 于点N .求证：AM MN = (2)如图②，若M 为BC 边上的一点，其它条件不变，AM MN =还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.。