2017-2018学年人教A版高中数学必修1课件：第1章专题研究

思考题5 求下列函数的值域. 2x2－6x＋5 2x2＋2x＋5 (1)y＝ 2 ； (2)y＝ 2 . 2x －6x＋6 x ＋x＋1
【答案】
1 (1) ，1 3
(2)(2，6]
2 例6 求函数y＝x＋ x (0＜x＜1)的值域.
【解析】 设0＜x1＜x2＜1， 2 2 则y1－y2＝x1＋x －x2－x 1 2 x1x2（x1－x2）＋2（x2－x1） ＝ x1x2 （x1－x2）（x1x2－2） ＝ ＞0. x1x2 2 ∴y＝x＋ 在(0，1)上为减函数. x ∴y∈(3，＋∞).
(3)配方，得y＝(x＋2)2－6， 因为x∈[－6，－3]，所以当 x＝－3时，ymin＝－5 ； 当x＝－6时，ymax＝10. 故函数的值域是[－5，10].(图③) (4)配方，得y＝(x＋2)2－6， 因为x∈[0，2]，所以当x＝0时，ymin＝－2； 当x＝2时， ymax＝10.故函数的值域是[－2，10].(图④)
【答案】 (1)[0，＋∞) (2){－2，0，2} (3){－1，1}
探究1 观1|的值域为________； (2)y＝(x－1)2＋2的值域为__________； 1 (3)y＝ ＋1的值域为__________. x－2
【答案】 (1)[0，＋∞) (2)[2，＋∞) (3){y∈R|y≠1}
【答案】
7 (1) ，＋∞ 2
11 (2)－∞， 2
(3)[－1，＋∞)
x＋1 例4 求函数y＝ 的值域. x＋2
x＋1 x＋2－1 1 【解析】 y＝ ＝ ＝1－ . x＋2 x＋2 x＋2 因为x∈R且x≠－2，所以y≠1. 所以值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
探究4 分离常数法：通过观察函数式的结构，把y＝ f(x)改 写成y＝a＋ g(x)的形式.其中a为常数，g(x)为另一函数式.
5－x 思考题4 求函数y＝ 的值域. 2x＋5
5 15 －（x＋ ）＋ 2 2 1 15 【解析】 y＝ ＝－ ＋ ， 5 2 4x＋10 2（x＋ ） 2
1 ∴值域y|y≠－2.
思考题2 (1)函数y＝x4＋ x2＋1的值域是____________；y ＝x4－x2＋1的值域是__________. (2)求下列函数的值域. ①y＝ －x2＋4x－1 ； ②y＝2－ 4x－x2 (0≤x≤4).
【解析】 (2)①y＝ －（x－2）2＋3 ，∴值域为[0， 3]； ②y＝2－ －（x－2）2＋4 ，∵x∈[0，4]，∴值域为[0，2]. 【答案】
【讲评】 上述四个题目相同但所给的区间不同，最后得 到的值域也不同，主要是由于二次函数在不同区间上的单调性 不同而产生的，因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针 对哪一个区间上的值域和此时图像是什么样子.
探究2 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方 法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配 方法.
【解析】
(1)配方，得y＝(x＋2)2－6，由于x∈ R，
故当x＝－2时， ymin＝－6，无最大值. 所以值域是[－6，＋∞).(图①) (2)配方，得y＝(x＋2)2－6，
因为x∈[－5，0]，所以当x＝－2时， ymin＝－6； 当x＝－5时， ymax＝3.故函数的值域是[－6，3].(图②)
例2 求下列函数的值域. (1)y＝x2＋4x－2， x∈R； (2)y＝x2＋4x－2， x∈[－5，0]； (3)y＝x2＋4x－2， x∈[－6，－3]； (4)y＝x2＋4x－2， x∈[0，2].
【思路】 这些函数都是二次函数且解析式都相同，但是各自 函数的定义域都是不同的，应该通过“配方”借助于函数的图像而 求其值域.
【讲评】 此种解法主要是将含根号化为无根号形式，但 同时一定要注意换元时的同范围性.
探究3 换元法：运用代数换元，将所给函数化成值域容易 确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y＝(ax＋b)± cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解.
思考题3 求下列函数的值域. (1)y＝2x－3＋ 4x－13 ； (2)y＝2x－1－ 13－4x； (3)y＝(x－2)2＋2|x－2|－1.
3 (1)[1，＋∞)； ，＋∞ 4
(2)①[0， 3]
②[0，2]
例3 求函数y＝x－ 1－2x的值域.
【思路】 此题是由x和 1－2x共同来决定y的范围的. 【解析】 令t＝ 1－2x(换元)， 12 1 则有x＝－ 2t ＋2(t≥0). 12 1 1 所以y＝－ 2t －t＋2＝－2(t＋1)2＋1. 1 因为t≥0，所以t＝0时，ymax＝ . 2 1 所以函数的值域是(－∞，2].
探究5 判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x， y) ＝0，通过方程有实根，即判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域. 形如 a1x2＋b1x＋c1 y＝ (a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法 2 a2x ＋b2x＋c2 求解. 注意事项：①函数定义域应为R(或有有限个断点)； ②分子、分母没有公因式.
x2－2x＋3 例5 求函数y＝ 2 的值域. x ＋2x－3
【解析】 将解析式改写成关于x的一元二次方程 (y－1)x2＋(2y＋2)x－(3y＋3)＝0. 1 当y≠1时，Δ≥0，2y2＋ y－1≥0⇒ y≥ 2或y≤－1. 3 当y＝1时， x＝ 在其定义域内， 2 1 所以值域为(－∞，－1]∪[ ，＋∞). 2
专题研究 函数的值域
专 题 研 究
例1 (1)y＝x2，y＝ |x|， y＝ x的值域都是______； 2 （x＞0）， （x＝0），的值域为________； (2)y＝0 －2 （x＜0）
1 (3)y＝ －1
（x为有理数）， 的值域为________. （x为无理数）