四川省南平中学2019届高三入学分班考试

四川省南山中学 2019届高三入学测试数学试题（理科）一、选择题（每个5分，共60分）1．若集合{|31},{|12},M x R x N x x M N =∈-<<=∈-≤≤Z 则=（ ）A ．{0}B ．{—1，0}C ．{—1，0，1}D ．{—2，—1，0，1，2} 2．在复平面内，复数1iz i=+所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知命题p 、q ，“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．曲线()y f x =在以点(2,3)P -为切点的切线方程为240,(2)x y f '++=则等于（ ）A ．12-B ．2C ．3D ．—35．事项一：某社区有500位住户，其中高、中、低收入的家庭分别为50户、300户、150户。

为了解社会购买力的某项指标，欲从中抽取一个容量为100户的样本，事项二：为参加某项社区活动，将从10个工作人员中抽出3人。

对以上要做的两个事项，考虑采用的抽样方法为：①随机抽样法；②系统抽样法；③分层抽样法。

按事项的前后顺序，应采用的正确方法为 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③① D ．③② 6．函数lg y x =-的定义域为（ ）A ．{|1}x x >B ．{|1}x x ≥C ．{|1}{0}x x >D ．{|1}{0}x x ≥7．已知函数223(1)()121(1)x x x f x x ax x ⎧+->⎪=-⎨⎪+≤⎩，在点1x =处连续，则a 的值是 （ ）A ．52 B ．32C ．2D ．38．x π→=（ ）A ．2π- B．-C ．2π D．9．定义在R 上的函数0.3121()(2)()0,(log 3),(()),(ln 3)3f x x f x a f b f c f '+<===满足又，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．若方程240x ax -+=在[1，4]上有实数解，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[4，5]B ．[3，5]C ．[3，4]D ．[4，6]11．设非空集合{|2135},{|()A x a x a B x y A AB =+≤≤-==⊆则 的一个充分不必要条件是（ ）A ．19a ≤≤B ．69a <<C ．9a ≤D ．69a ≤≤12．设二次函数21()()8f x x x c c =++>的图象与x 轴的左右两个交点的横坐标分别为1221,,x x x x -则的取值范围为（ ）A ．（0，1）B．(0,2C ．1(,)22D．2二、填空题（每个4分，共16分）13．若1()nx x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 。

（用数字作答）14．标准正态总体的函数表达式是22(),(,)x f x e x =∈-∞+∞，则()f x 的单调减区间是 。

15．为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如下左 图），已知图中从左到右的前3个小组的频率比为1：2： 3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 。

16．以下四个命题：①如果两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面内无数条直线；②设m 、n 为两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若//αβ，,//,m n m n αβ⊥⊥则，③“直线a b ⊥”的充分而不必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④若点P 到一个三角形三条边的距离相等，则点P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的内心。

其中正确的命题序号为 。

三、解答题（共74分） 17．（本小题满分12分）已知合集2,()lg(32)I R f x x x ==+-函数的定义域为M ，{|||1,}N x x a a =-≤∈Z ，若18．（本小题满分12分）已知()f x 是奇函数，且在定义域（—1，1）内可导并满足()0,f x '<解关于m 的不等式2(1)(1)0.f m f m -+->19．（本小题满分12分） 某公司在“2019年上海世博会知识宣传”活动中进行抽奖活动，抽奖规则是：在一个盒子中装有8张大小相同的精美卡片，其中2张印有“世博会欢迎您”字样，2张印有“世博会会徽”图案，4张印有“海宝”（世博会吉祥物）图案，现从盒子里无放回的摸取卡片，找出印有“海宝”图案的卡片表示中奖且停止摸卡。

（Ⅰ）求最多摸两次中奖的概率；（Ⅱ）用ξ表示摸卡的次数，求ξ的分布列和数学期望。

20．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*11,().n n a S n a n N ==∈（1）求1234,,,S S S S 的值；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法加以证明。

21．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC 1=4，E 在BB 1上，且EB 1=1，D 、F 分别为CC 1、A 1C 1的中点。

（1）求证：B 1D ⊥平面ABD ；（2）求异面直线BD 与EF 所成的角； （3）求点F 到平面ABD 的距离。

22．（本题满分14分）设函数22()2,()ln 2f x ax g x a x x =+=-+，其中,0.a R x ∈>（Ⅰ）若2a =，求曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程；（Ⅱ）是否存在负数a ，使()()f x g x ≤对一切正数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

参考答案一、BABA CABB DABB 二、 13．2014．（0，+∞） 15．48 16．①②17．解：由2320x x +->，有13x -<<…………2分 {|13}M x x ∴=-<<…………2分 {|13}U C M x x x ∴=≤-≥或…………4分由||1,11,x a x a -≤-≤-≤有 即11a x a -≤≤+{|11}N x a x a ∴=-≤≤+…………6分 ()I C M N φ⋂=1113a a ∴->-+<且…………9分 即02a << a Z ∈；1a ∴=…………11分{|02}N x x ∴=≤≤{|02}M N x x ∴⋂=≤≤…………12分18．解：()f x 在定义域（-1，1）内可导并满足()0f x '<()f x ∴在（-1，1）内是减函数…………3分22(1)(1)0(1)(1)f m f m f m f m ∴-+->->--由有()f x ∴由是奇函数得2(1)(1)f m f m ->-22111,111,1 1.m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<-⎩…………10分1m ∴<<∴原不等式的解集为…………12分19．解：（1）第一次摸卡中奖的概率为1411812C P C ==…………2分第二次摸卡中奖的概率为114422827C C P A ⋅==…………4分则最多摸两次中奖的概率为121114P P P =+=…………5分 （2）由题意，摸卡次数ξ的取值为：1，2，3，4，5…………7分1212(1);(2)27P P P P ξξ======2144381(3)7A C P A ξ⋅===3144482(4)35A C P A ξ⋅===41441581(5).70A C P P A ξ⋅===则ξ的分布列为：ξ1 2 3 55P12 27 17235 170…………10分1212112345 1.82773570E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分 20．解：（1）111S a == 由题意知，221224,4S a a a a =+=即 得212114,,.333a a S ==∴=同理得，332339,9S a S a a =+=即得32311413,,88362a S S ==⨯=∴= 4434416,16S a S a a =+=即得43411318,15152105a S S ==⨯=∴=……4分 （2）猜想：21n nS n =+…………7分证明：①当1211,111n S ⨯===+时，与已知相符，故结论成立…………8分②假设当n k =时，结论成立，即21k kS k =+…………9分由已知有211(1)k k S k a ++=+21(1)().k k k S S +=+-整理得222112(1)[(1)1](1),2k k k k k k S k S S S k k++++-=+=+即 212(1)22(1)2(1)12(1)12k k k k k S k k k k k ++++∴=⋅==+++++…………11分即当1n k =+时，结论也成立 综上①②知，对*2,1n nn N S n ∈=+…………12分21．解：（1）由条件得114DB DB BB === 222111£¬BD DB BB B D DB ∴+=∴⊥，又AB ⊥面BCC 1B 1，1BA B D ∴⊥1B D ∴⊥面ABD …………3分（2）取B 1C 1的中点G ，连接GE 、GF ，则EG//BD ， GEF ∴∠或其补角为BD 、EF 所成角…………4分 11A B ⊥面BCC 1B 1，GF//A 1B 1FG ∴⊥面BCC 1B 1，FG GE ∴⊥在Rt EGF ∆中，2,tan GE GF GEF ==∴∠=BD ∴与EF 所成角为…………8分（3）设F 到面ABD 的距离为d ，过B 作BH ⊥AC 于H ，则BH ⊥面ACC 1A 111,33F ABD B DAF ABD ADF V V S d S BH --∆∆=∴⋅⋅=⋅⋅1111114424323222d ⎛∴⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅ ⎝d ∴=12分 22．解：（Ⅰ）由题意可知，当2a =时，2()4ln 2g x x x =-+ 则1()8g x x x'=-…………2分 曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线斜率(1)7,(1)6k g g '===又…………3分 曲线在点(1,(1))g 处的切线的方程为67(1)y x -=-即71y x =-…………5分（Ⅱ）设函数22()()()ln (0)h x f x g x ax x a x x =-=+->…………6分 假设存在负数a ，使得()()f x g x ≤对一切正数x 都成立。