宜昌市第一中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合测试卷(提高培优)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ）
A ．53m
B ．52m
C ．()5352m -
D ．()535m - 3．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为125
i =小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ，在此测得放杆顶端点A 的仰角为39°，则旗杆的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈）
A ．12.9
B ．22.2
C ．24.9
D ．63.1
4．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8m ，坡面上的影长为4m ．已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为2m 且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为4m ，则树的高度为（ ）
A ．10m
B ．12m
C ．()63m +
D ．()423m - 5．下列说法中，正确的有（ ）个
①a 为锐角，则1sina cosa +>；
②314172︒+︒=︒cos cos cos ﹔
③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔
④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；
⑤1302
=
=︒sinA ； ⑥当Rt ABC ∆的三边长扩大为2倍时，则sinA 的值也相应扩大2倍． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ． F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75︒；③BE+DF=EF ；④正方形对角线AC=1+3，其中正确的序号是（ ）
A ．①②④
B ．①②
C ．②③④
D ．①③④ 7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值
是（ ）
A ．2
B 25
C 5
D ．12
8．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=35°，则直角边AC 的长是（ ）
A ．m·sin35°
B ．cos35m ︒
C ．sin 35m ︒
D ．m·cos35° 9．已知二次函数y ＝ax 2＋6ax ＋c （a ＜0），设抛物线与x 轴的交点为A （﹣7，0）和B ，与y 轴的交点为C ，若∠ACO ＝∠CBO ，则tan ∠CAB 的值为（ ）
A ．142
B ．22
C ．73
D ．77
10．如图，半径为5的O 中， OA BC ⊥，30ADC ∠=︒，则BC 的长为（ ）
A ．52
B ．53
C ．522
D ．532
11．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）
A ．26
B 26
C ．2613
D 13 12．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以
tan15°()()
12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A ．21+
B ．2﹣1
C ．2
D ．12
13．如图，等边ABC 边长为a ，点O 是ABC 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE 形状不变；②ODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
14．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．
若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．2.8
D ．2.5
二、填空题
15．如图，在扇形OAB 中，2OB =，点C 是OB 的中点，CD OB ⊥于点C ，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为______．
16．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为______km．
17．已知AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝3，则∠BAC＝_______．
18．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
19．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米(结果保留根号)．
20．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．
21．如图，在ABC 中,已知90,4,8C AC BC ∠=︒==，将ABC 绕着点C 逆时针旋转到''A B C 处，此时线段''A B 与BC 的交点D 为BC 的中点，那么'B D 的长度为_________．
22．如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是________．
23．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．
24．如图，已知直线l ：y ＝33
x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为_____．
25．如图，已知2AB a =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的
同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ．点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为_______．
26．如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B ＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是_______．
三、解答题
27．如图，以ABC ∆的一边BC 为直径的O ，交AB 于点D ，连结CD ，OD ，已知 1902
A DOC ∠+∠=︒．
（1）判断AC 是否为O 的切线？请说明理由．
（2）①若60A ∠=︒，1AD =，求
O 的半径．
②若DOC α∠=︒，AC m =，OB r =，请用含r 、α的代数式表示m ． 28．小明的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在
眼睛点A 处测得汽车前端F 的俯角为α，且tanα＝
13
，若直线AF 与地面l 1相交于点B ，点A 到地面l 1的垂线段AC 的长度为1．6米，假设眼睛A 处的水平线l 2与地面l 1平行． （1）求BC 的长度； （2）假如障碍物上的点M 正好位于线段BC 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN 为此长方形前端的边），MN ⊥l 1，若小强的爸爸将汽车沿直线l 1后退0．6米，通过汽车的前端F 1点恰好看见障碍物的顶部N 点（点D 为点A 的对应点，点F 1为点F 的对应点），求障碍物的高度．
29．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50cm AB =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A ，A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ，设AF ∥MN ．
（1）求A 的半径长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，64CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（精确到1cm ，参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.39︒≈，tan64 2.1︒≈）
30．计算：
（1）()2222cos30sin 45cos 601tan 60tan 45-+︒+-︒︒︒︒
（2）23260x x --=
（3）2(1)5(1)140x x -+--=
【参考答案】
一、选择题
1．C
2．D
3．C
4．C
5．B
6．A
7．D
8．D
9．D
10．B
11．B
12．B
13．A
14．C
二、填空题
15．【分析】连接DO则OD=OB=2先由得出∠OCD=90°然后在Rt△COD中求出cos∠COD=得到∠COD=60°再根据扇形面积公式计算三角形面积公式即可【详解】连接DO则
OD=OB=2∵∴∠OC
16．【分析】BE⊥AC于点E根据题意计算可得解直角三角形ABE可得BE=AE=30根据平行线性质计算可得解直角三角形CEB可得AE+CE的值即是AC两港之间的距离【详解】解：设过A点正北方向直线为AD过
17．75°或15°【分析】分两种情形求高的位置然后再根据三角函数的定义求出∠BAD∠CAD 的度数最后再相加或相减即可求出∠BAC的度数【详解】解：如图所示：①tan∠BAD＝＝1∴∠BAD＝45°tan
18．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC所以tan∠AED=tan∠ABC=故答案为：
【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数
19．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH表示出AHBH的长然后计算出AB的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C
20．2+【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出
OC==BC=OB﹣OC=2﹣在Rt△ABC中根据tan∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA过点A 作AC⊥OB于点
21．【分析】根据题意先考虑多种情况①与D重合=AB；②与D不重合过点C作CE于点E利用的余弦值求出由等腰三角形三线合一得求出再用减去得到【详解】①如图与D重合②如图与D不重合过点C作CE于点E∵旋转∴在
22．【分析】由题意可知要求出答案首先需要构造出直角三角形连接AB设小正方形的边长为1可以求出OAOBAB的长度由勾股定理的逆定理可得是直角三角形再根据三角函数的定义可以求出答案【详解】连接AB如图所示：
23．1【分析】过点E作EM⊥AF于M交BD于N根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN的长再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN据此可得当AF∥BD时线段AF的
24．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l：y＝x∴l与x轴的夹角为30°∵AB∥x轴∴∠ABO＝30°∵OA＝1∴AB＝
∵A1B⊥l∴∠ABA1＝6
25．【分析】连接PMPN根据菱形的性质求出
∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x则PB=2a －x然后利用锐角三角函数求出PM和P
26．（3）【分析】如图作B′H⊥y轴于H解直角三角形求出B′HOH即可【详解】如图作B′H⊥y轴于H由题意：OA′=A′B′=2∠B′A′H=60°∴∠A′B′H=30°∴AH′=A′B′=1B′H=∴
三、解答题
27．
28．
29．
30．
【参考解析】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】 根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02
A -
=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】 解：2
1cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝
⎭， 1cos 02
A ∴-=，1tan 0
B -=，则1cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，
则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．D
解析：D
【分析】
由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．
【详解】
解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°，
∴BD=BC=5，
设AC=x m ，则AB=（x +5）m ，
在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD ， 则535x +=， 解得：535x =-，
即AC 的长度是()535m -；
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．C
解析：C
【分析】
通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．
【详解】
解：过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，
在Rt △BCF 中，
由斜坡BC 的坡度i=
125，得，BF FC =125
， 又BC=65，
设BF=12x ，FC=5x ，由勾股定理得，（12x ）2+（5x ）2=652，
∴x=5，
∴BF=60，FC=25，
又∵DC=115，
∴DF=DC-FC=115-25=90=EG ，
在Rt △AEG 中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，
∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），
故选：C ．
【点睛】
本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
延长AC 交BF 延长线于D 点，则BD 即为AB 的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【详解】
延长AC 交BF 延长线于D 点，作CE ⊥BD 于E ，
则∠CFE=30°，
在Rt △CFE 中，∠CFE=30°，CF=4m ，
∴CE=2（m ），EF=4cos30°3m ），
在Rt △CED 中，
∵同一时刻，一根长为2m 、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为4m ，CE=2（m ），则CE ：DE=2：4=1：2，AB ：BD=1：2，
∴DE=4（m ），
∴3m ），
在Rt △ABD 中，AB=
12BD=1233m ）， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB 的影长． 5．B
解析：B
【分析】
①根据三角函数的定义判断；
②函数值不是简单度数相加；
③至少已知一条边能解直角三角形；
④根据坡度的性质即可判定④对；
⑤只能说∠A=30°；
⑥角度数不变，函数值就不变．
【详解】
①在Rt △ACB 中，设c 为斜边，∠α的对边、邻边分别为a ，b ，那么sinα+cosα=1a b c
+>，所以①对；
②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加；
③不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形；
④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对；
⑤也不对，sinA=
1302
=︒，是明显错误； ⑥不对，角度数不变，函数值就不变．
综上，①④正确，共2个，
故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数．学生学这一部分知识时要细心去理解文字所表达的意思．关键是熟练掌握有关定义和性质．
6．A
解析：A
【分析】
根据三角形的全等的判定和性质可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC ⊥EF ，然后分别求得AG 与CG 的长，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD= BC=DC ，
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE=AF ，
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
AB AD AE AF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE=DF ，AE=AF ，
∵BC=DC ，
∴BC-BE=CD-DF ，
∴CE=CF ，故①正确；
∵CE=CF ，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=180°-60°-45°=75°，故②正确；
如图，连接AC ，交EF 于G 点，
∵AE=AF ，CE=CF ，
∴AC ⊥EF ，且AC 平分EF ，
∵∠CAF≠∠DAF ，
∴DF≠FG ，
∴BE+DF≠EF ，故③错误；
∵△AEF 是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD=45°，AC ⊥EF ，
∴EG=FG=1，
∴AG=AE•sin60°3232=⨯=，CG=112EF =， ∴AC=AG+CG=31+；故④正确．
综上，①②④正确
故选：A ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质以及解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
7．D
解析：D 【分析】
连接AC ，根据网格图不难得出=90CAB ∠︒，求出AC 、BC 的长度即可求出ABC ∠的正切值．
【详解】
连接AC ，
由网格图可得：=90CAB ∠︒，
由勾股定理可得：AC 2AB =2
∴tan ABC ∠=212
22AC AB ==．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查网格图中锐角三角函数值的求解，根据网格图构造直角三角形是解题关键． 8．D
解析：D
【分析】
根据Rt △ABC 中cos35AC AB AC m ︒=
=，即可得到AC 的长. 【详解】
在Rt △ABC 中， AB=m ，∠A=35°，cos35AC AB AC m ︒=
=， ∴AC=cos35m ⋅︒，
故选：D.
【点睛】
此题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握各三角函数对应边的比值是解题的关键. 9．D
解析：D
【分析】
根据根和系数的关系，求出点B （1，0），利用tan ∠ACO ＝tan ∠CBO ，求出OC ＝7±，进而求解．
【详解】
解：如图所示，
∵A （﹣7，0），则OA ＝7，
设点B 的横坐标为b ，
根据根和系数的关系，则﹣7＋b ＝﹣
6a a ＝﹣6， 解得b ＝1，
∴ 点B （1，0），则OB ＝1，
∵∠ACO ＝∠CBO ，
∴tan ∠ACO ＝tan ∠CBO ，
∴AO OC OC OB =，即71
OC OC =，解得OC ＝7
tan∠CAB＝OC
OA
＝
7
7
，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点、三角函数公式，利用根和系数的关系求出点B的坐标，是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
连接OC，设BC与OA交于点E，根据圆周角定理即可求出∠AOC，然后根据垂径定理可得BC=2CE，利用锐角三角函数求出CE，即可求出结论．
【详解】
解：连接OC，设BC与OA交于点E
∵30
ADC
∠=︒
∴∠AOC=2∠ADC=60°
∵OA BC
⊥
∴BC=2CE，
在Rt△OCE中，CE=OC·sin∠5
3 2
∴BC=53
故选B．
【点睛】
此题考查的是圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数，掌握圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角
△ABD中根据三角函数的意义求解．
【详解】
解：如图，作BD ⊥AC 于D ，
由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+=，
∵1113213222
ABC S AC BD BD =⋅=⨯⋅=⨯⨯， ∴22
BD =， ∴2
262sin 2613
BD BAC AB ∠===． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值.
【详解】
解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()
1+2x ， ()
22.5==211+2AC x C tan ta D x n D =∠=-︒
故选：B.
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
13．A
解析：A
【分析】
连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和
OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE
=4
OE 2，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC
2即可判断②和③；求出BDE 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．
【详解】
解：连接OB 、OC
∵ABC 是等边三角形，点O 是ABC 的内心，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=
12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120°
∵120FOG ∠=︒
∴∠=FOG ∠BOC
∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE
∴∠BOD=∠COE
在△ODB 和△OEC 中
BOD COE BO CO
OBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ODB ≌△OEC
∴OD=OE
∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，
∴ODE 形状不变，故①正确；
过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形
∴∠ODE=∠OED=12
（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=
12OE ，EH= OE·cos ∠
∴DE=2EH=3OE
∴S △ODE =12DE·OH=34
OE 2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小，
过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值
∴BE′=12BC=12
a 在Rt △OBE′中 OE′=BE′·tan ∠OBE′=12a 33 ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC ∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =
1223 ∵23=1423 ∴S △ODE ≤14
S 四边形ODBE 即ODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；
∵△ODB ≌△OEC
∴DB=EC
∴
BDE 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE ∴DE 最小时BDE 的周长最小 ∵3OE
∴OE 最小时，DE 最小
而OE 的最小值为3
∴DE
6a =12a ∴BDE 的周长的最小值为a ＋12
a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确，
故选A ．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．
14．C
解析：C
【分析】
连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝
60°，AE ＝AD ＝DE ＝△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中
点，BF ＝CF EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．
【详解】
如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC ＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2
∵BC ＝
AB ＝2
由勾股定理可得：
AC 4
∴sin ∠ACB ＝
24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12
∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°
∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝
∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,
∴△EAC 是直角三角形，
由勾股定理可得：
EC ＝22AE AC +＝()22234+＝27
∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°
∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°
∴∠EAB ＝∠EDC
∵EA ＝ED ，AB ＝DC
∴△EAB ≌△EDC
∴EB ＝EC ＝27
即△EBC 是等腰三角形
∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，
∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．
设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，
∵F 是BC 中点
∴BF ＝CF ＝3，EF ⊥BC
在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：
EF ＝22EB BF -＝
()()22273-＝5 ∴OF ＝EF －OE ＝5－R
在Rt △OBF 中，22
2BF OF OB 即()()22
235R R +-= 解得：R ＝2.8
∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．
故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．
二、填空题
15．【分析】连接DO 则OD=OB=2先由得出∠OCD=90°然后在Rt △COD 中求出cos ∠COD=得到∠COD=60°再根据扇形面积公式计算三角形面积公式即可【详解】连接DO 则OD=OB=2∵∴∠OC 解析：2332
π- 【分析】
连接DO ，则OD=OB=2．先由CD OB ⊥，得出∠OCD =90°，然后在Rt △COD 中求出cos ∠COD=12
，得到∠COD=60°，再根据扇形面积公式计算、三角形面积公式即可． 【详解】
连接DO ，则OD=OB=2．
∵CD OB ⊥，
∴∠OCD=90°，
∵C 为OB 的中点，
∴CO=1OB 2=12
DO ， ∴cos ∠COD=
CO DO =12
， ∴∠COD=60°， 则2222213OD OC -=-
∴阴影部分的面积26021231336023ππ⨯=-⨯=． 故答案为：233π-
． 【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，解直角三角形，利用三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠COD=60°是解题的关键． 16．【分析】BE ⊥AC 于点E 根据题意计算可得解直角三角形ABE 可得BE=AE=30根据平行线性质计算可得解直角三角形CEB 可得AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离【详解】解：设过A 点正北方向直线为AD 过
解析：30103+
【分析】
BE ⊥AC 于点E ，根据题意计算可得45EAB ∠=︒，解直角三角形ABE ，可得BE=AE=30，根据平行线性质计算可得60C ∠=°，解直角三角形CEB 可得，103CE =，AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离．
【详解】
解：设过A 点正北方向直线为AD ，过B 点正北方向直线为BG ，过B 作BE ⊥AC 于E ，过C 作CF ∥AD ，如图:
∵由题意得：∠CAB =65°﹣20°=45°，∠AEB =∠CEB =90°，AB 2km ．
∴在Rt ABE △中，∠ABE =45°，
∴△ABE 是等腰直角三角形．
∵AB 2km ，
∴AE =BE 2=30（km ）． ∵CF ∥AD ∥BG ，
∴∠ACF =∠CAD =20°，∠BCF =∠CBG =40°，
∴∠ACB =20°+40°=60°， ∵在Rt CBE 中，∠ACB =60°，tan ∠ACB =
BE CE ， ∴CE =tan 603BE ︒=3km ），
∴AC =AE +CE 3km ），
∴A 、C 两港之间的距离为（3km ．
故答案为：（3
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，添加辅助线构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是解题关键．
17．75°或15°【分析】分两种情形求高的位置然后再根据三角函数的定义求出∠BAD ∠CAD 的度数最后再相加或相减即可求出∠BAC 的度数【详解】解：如
图所示：①tan∠BAD＝＝1∴∠BAD＝45°tan
解析：75°或15°
【分析】
分两种情形求高的位置，然后再根据三角函数的定义求出∠BAD、∠CAD的度数，最后再相加或相减即可求出∠BAC的度数．
【详解】
解：如图所示：
①tan∠BAD＝BD
AD
＝1，
∴∠BAD＝45°，
tan∠CAD＝CD
AD
＝
3
3
，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝45°+30°＝75°；
②tan∠BAD＝BD
AD
＝1，
∴∠BAD＝45°，
tan∠CAD＝CD
AD
＝
3
3
，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°．
故∠BAC＝75°或15°．
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，灵活应用三角函数求角和分类讨论思想是解答本题的关键．18．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC所以tan∠AED=tan∠ABC=故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数
解析：1 2
【详解】
解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=
1
2 AC
AB
．
故答案为：1
2
．
【点睛】
本题考查圆周角定理；锐角三角函数．
19．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH 表示出AHBH 的长然后计算出AB 的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C 解析：()120031- 【解析】 【分析】在Rt ACH 和Rt HCB 中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH 、BH 的长，然后计算出AB 的长．
【详解】由于CD//HB ， CAH ACD 45∠∠∴==，B BCD 30∠∠==，
在Rt ACH 中，CAH 45∠∴=，
AH CH 1200∴==米，
在Rt HCB ，CH tan B HB
∠=， CH 12001200HB 12003(tan B tan303
3
∠∴====米)， ()AB HB HA 1200312001200
31∴=-=-=-米， 故答案为()
120031-. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．
20．2+【分析】连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点C 由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB ﹣OC=2﹣在Rt △ABC 中根据tan ∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点
解析：2+3．
【分析】
连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出
OC=22OA AC -=3、BC=OB ﹣OC=2﹣3，在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC 可得答案．
【详解】
如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，
则AC=1，OA=OB=2，
∵在Rt △AOC 中，OC=222221OA AC -=-=3，
∴BC=OB ﹣OC=2﹣3，
∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=
123
AC BC =-=2+3． 故答案是：2+3．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 21．【分析】根据题意先考虑多种情况①与D 重合=AB ；②与D 不重合过点C 作CE 于点E 利用的余弦值求出由等腰三角形三线合一得求出再用减去得到【详解】①如图与D 重合②如图与D 不重合过点C 作CE 于点E ∵旋转∴在 解析：12545,
5
【分析】
根据题意，先考虑多种情况，①A '与D 重合，B D '=AB ；②A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ，利用CA B ''∠的余弦值求出A E '，由等腰三角形三线合一得2A D A E ''=，求出A D '，再用A B ''减去A D '得到B D '．
【详解】
①如图，A '与D 重合，45B D AB '==．
②如图，A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ，
∵旋转，∴4AC A C '==，8BC B C '==，
在Rt A B C ''△中，由勾股定理，22224845A B A C B C ''''=++=
5cos 5
45A C CA B A B '''∠==='， 在Rt A EC '中，5cos 4A E A E CA E A C '''∠=
=='，
∴455A E '=
∵D 是BC 中点
∴4CD CA '== 在等腰三角形ACD '中，由“三线合一”得8525
A D A E ''==， ∴851254555
B D A B A D ''''=-=-=．
故答案是：5125． 【点睛】 本题考查图形的旋转，等腰三角形三线合一，锐角三角函数，关键在于要画出对应的图象进行分类讨论，把情况考虑全面．
22．【分析】由题意可知要求出答案首先需要构造出直角三角形连接AB 设小正方形的边长为1可以求出OAOBAB 的长度由勾股定理的逆定理可得是直角三角形再根据三角函数的定义可以求出答案【详解】连接AB 如图所示： 解析：22
【分析】
由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB ，设小正方形的边长为1，可以求出OA 、OB 、AB 的长度，由勾股定理的逆定理可得ABO 是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.
【详解】
连接AB 如图所示：
设小正方形的边长为1，
∴2
OA=23+1=10，22
BA=3+1=10，222
OB=4+2=20，∴ABO是直角三角形，
∴BA102
sin AOB==
OB2
20
∠=，
故答案为：
2 2
.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案. 23．1【分析】过点E作EM⊥AF于M交BD于N根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN的长再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN据此可得当AF∥BD时线段AF的
解析：1
3
2 +．
【分析】
过点E作EM⊥AF于M，交BD于N，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°
的三角函数值求出EN的长，再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN
3
2
=，据此可
得，当AF∥BD时，线段AF的长为1
3
2 +.
【详解】
如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．
∵AE
2
3
=AC，
∴AE=2，EC=1．
∵AF ∥BD ，
∴∠EAM =∠ACB =60°．
∵EM ⊥AF ，
∴∠AME =90°，
∴∠AEM =30°，
∴AM 12
=AE =1． ∵AF ∥BD ，EM ⊥AF ，
∴EN ⊥BC ，
∴EN =EC •sin60°2
=， ∵∠EMF =∠END =∠FED =90°，
∴∠MEF +∠MFE =90°，∠MEF +∠DEN =90°，
∴∠EFM =∠DEN ．
∵ED =EF ，
∴△EMF ≌△DNE （AAS ），
∴MF =EN 2
=，
∴AF =AM +MF =1．
故答案为：1． 【点评】 本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 24．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l ：y ＝x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝6
解析：（0，256）
【分析】
利用锐角三角函数分别计算得到12,A A 的坐标，利用规律直接得到答案．
【详解】
解：∵l ：y ∴l 与x 轴的夹角为30°
∵AB ∥x 轴
∴∠ABO ＝30°
∵OA ＝1
∴AB ＝3 ∵A 1B ⊥l
∴∠ABA 1＝60°
∴AA 1＝3
∴A 1（0，4）
同理可得A 2（0，16）
…
∴A 4纵坐标为44＝256
∴A 4（0，256）
故答案为：（0，256）．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．
25．【分析】连接PMPN 根据菱形的性质求出
∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x 则PB=2a －x 然后利用锐角三角函数求出PM 和P
解析：32
a 【分析】
连接PM 、PN ，根据菱形的性质求出∠CAP=
12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12
∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x ，则PB=2a －x ，然后利用锐角三角函数求出PM 和PN ，然后利用勾股定理求出MN 2与x 的函数关系式，化为顶点式即可求出MN 2的最小值，从而求出结论．
【详解】
解：连接PM 、PN
∵四边形APCD 和四边形PBFE 为菱形，60DAP ∠=︒
∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM ⊥AC ，PN ⊥EB ，AC 平分∠DAP ，PM 平分∠APC ，PN 平分∠EPB
∴∠CAP=12
∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°
∴∠MPN=∠MPC ＋∠EPN=90°
设AP=x ，则PB=2a －x
∴PM=AP·sin ∠CAP=12x ，PN=PB·cos ∠BPN=32（2a －x ） 在Rt △MON 中
MN 2= PM 2＋PN 2=214x ＋34（2a －x ）2=（x －32a ）2＋34a 2 当x=32a 时，MN 2取最小值，最小为34
a 2 ∴MN 的最小值为
32a 故答案为：
32
a ． 【点睛】 此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．
26．（3）【分析】如图作B′H ⊥y 轴于H 解直角三角形求出B′HOH 即可【详解】如图作B′H ⊥y 轴于H 由题意：
OA′=A′B′=2∠B′A′H=60°∴∠A′B′H=30°∴AH′=A′B′=1B′H=∴
解析：（3-，3）
【分析】
如图，作B′H ⊥y 轴于H ．解直角三角形求出B′H ，OH 即可．
【详解】
如图，作B′H ⊥y 轴于H ，
由题意：OA′=A′B′=2，∠B′A′H=60°，
∴∠A′B′H=30°，
∴AH′=12
A′B′=1，B′H=3- ∴OH=3，
∴B′（3-3），
故答案为：（3-3）．
【点睛】。