三角函数专题(知识归纳、记忆技巧、典型真题题剖析).介绍

三角函数专题（知识归纳/记忆技巧/典型真题题剖析）
一、三角函数的概念
(1) 角的概念：终边相同角的集合：所有与
α
终边相同的角,连同
α
在内,可构成集合
{}0
|360
,k k Z ββα=⋅+∈或{}|2,k k Z ββπα=+∈
(2) 象限角：第一象限角的集合|22,2
x k x k k Z πππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩
⎭
第二象限角的集合|22,2
x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩
⎭
第三象限角的集合|22,2
x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<-∈⎨
⎬⎩
⎭
第四象限角的集合|22,2
x k x k k Z πππ⎧
⎫-<<∈⎨⎬
⎩
⎭
(3) 轴线角：终边在x 轴上角的集合{}|,k k Z ααπ=∈,终边在y 轴上角的集合|,2
k k Z πααπ⎧
⎫=+∈⎨⎬
⎩
⎭
,终边在坐标轴上角的集合|,2
k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩
⎭
(4) 角度、弧度的换算关系：（1）3602rad π=,1180rad π
=
,1801rad π⎛⎫= ⎪⎝
⎭
（2）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为l ,圆心角为()rad α,半径为r ,则l r α=⋅,扇形的面积
211
22
S lr r α==⋅
3、三角函数定义： 若(),P x y 是角θ终边上任意异于O 的一点,O 为坐标原点,OP r =,则
sin ,cos ,tan ,cot y x y x r r x y
θθθθ=
=== 4、三角函数在各象限的符号规律：口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.
sin α cos α tan α（cot α）
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=
（2）商的关系：sin cos tan ,cot .cos sin αααααα
== （3）平方关系：22
sin 1cos αα+=
2、诱导公式
x
函数 sin x cos x
tan x cot x α-
sin α-
cos α
tan α-
cot α-
+ + ——+ + + + ———
—
2π
α±
cos α
sin α cot α
tan α
πα±
sin α
cos α-
tan α±
cot α±
32
π
α± cos α-
sin α±
cot α tan α
2πα±
sin α±
cos α
tan α cot α±
注意：（1）诱导公式可概括为2
k π
α⋅±的各三角函数值的化简公式。

（2）记忆规律：奇变偶不变,符号看象限。

其中的奇、偶是指
2
π
的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化,若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数,若是偶数倍,则函数名称不变；符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。

在运用诱导公式过程中注意两点：一是函数名称是否改变,二是正负号的确定原则。

3、注意常见方法的运用：
（1）sin cos ,(0,),1,02
a a π
αααπα+=∈>∈若则（，）；（特殊地,若
13
sin cos 2
αα++=
,则sin cos αα、分别取132
2
、；若7sin cos ,5αα+=34sin cos 55
αα则、分别取、；
再由其它条件确定唯一结果。

）1,2
a π
α==若则；01,2
a π
απ<<∈
若则（,）.(特殊地,若312sin cos ,23
πααα--=
则取)。

a 取负
值也可讨论。

（2）22
sin cos ,sin cos sin cos sin cos a a αααααααα+=+=⋅-可运用（）求得与的值。

（3）若()tan 0,a a α=≠可求 ①
()3sin 4cos 3tan 434
3103sin cos 3tan 131
a a a αααααα+++==-≠---
②2222
222
2sin 3sin 2tan 6tan 6sin 3sin 2sin cos tan 11a a
a ααααααααα++++===+++ ③2222221sin cos tan 11sin 2cos sin 2cos 2tan 121
a a αααααααα+++===++++
三、两角和与差的三角函数
1、两角和与差的三角函数公式：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±,cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=,tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=。

1、 二倍角公式 2
2tan sin 22sin cos 1tan θ
θθθθ
==
+； 22
2
2
2
2
1tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan θ
θθθθθθ
-=-=-=-=+；22tan tan 21tan θθθ=- 注意：熟悉以下公式变形
（1）()()tan tan tan 1tan tan θβθβθβ+=+-（2）2
21cos 21cos 2sin ;cos 22
θθ
θθ-+=
= （3）221cos 2cos
,1cos 2sin
2
2
θ
θ
θθ+=-= （4）2
1sin sin
cos 22θ
θθ⎛⎫
±=± ⎪⎝
⎭
（5）注意“凑角”运用：()2
2
44θβ
θβ
ππθθββθ+-⎛
⎫=+-=
+
=+- ⎪⎝
⎭,求值时,特别注意角的范围及
符号。

例如：已知()3312sin ,sin ,45413ππθβπθββ⎛⎫⎛⎫∈+=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，，则cos ?4πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
（6）辅助角公式的运用：()22sin cos sin a b a b θθθϕ+=
++,其中tan b
a
ϕ=
.如： sin 3cos 2sin ,3sin cos 2sin ,36ππθθθθθθ⎛⎫⎛
⎫+
=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin cos 2sin 4πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪
⎝
⎭ 等。

（7）几种常用变换思想：①变不同角为同角 ②变不同函数为同名函数 ③见高次降幂
四、三角函数的图象及性质 表（1）
函数 sin y x =
cos y x = tan y x =
图
象
定义域 R R
|,2x x k k Z ππ⎧⎫
≠+∈⎨
⎬⎩⎭
值
域
[1,1]-
[1,1]-
R 奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数 有界性 sin 1x ≤
cos 1x ≤
无界函数
最小正
周期
2π
2π
π
2,222()32,222()
k k k Z k k k Z ππππππππ⎡
⎤-+⎢⎥
⎣
⎦∈⎡
⎤++⎢⎥
⎣
⎦∈增区间减区间
[][]2,2()
2,2()
k k k Z k k k Z ππππππ-∈+∈增区间减区间
,22()
k k k Z ππππ⎛
⎫-+ ⎪
⎝
⎭∈增区间 o
π 32
π
2π
y
o o
2
ππ
32
π y
x
2
π
2
π
x
π 32
π
x
y
2π 单 调 区 间
对称轴 ()2
x k k Z π
π=+
∈
()x k k Z π=∈
无对称轴
对称 中
心
()(),0k k Z π∈
(),02k k Z ππ⎛⎫+∈
⎪⎝⎭ (),02k k Z π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()()max min 22
1;22
1
x k k Z y x k k Z y π
ππ
π=+∈==-∈=-时，
时，
()()()max min 21;
211
x k k Z y x k k Z y ππ=∈==+∈=-时，时，
表（2）(0,0)A ω>>
函数
()sin y A x ωϕ=+ ()cos y A x ωϕ=+ ()tan y A x ωϕ=+
定义域 R R
22|,2k x x k Z ππϕω+-⎧⎫
≠
∈⎨⎬⎩⎭
值
域
[,]A A - [,]A A -
R
奇偶性 ()k k Z ϕπ=∈时是奇函数,
()2
k k Z π
ϕπ=+
∈时是偶
函数。

()
2
k k Z π
ϕπ=+
∈时是
奇函数,()k k Z ϕπ=∈时是偶函数。

()k k Z ϕπ=∈时是奇函数
有界性 ()sin A x A ωϕ+≤ ()cos A x A ωϕ+≤
无界函数
最小正
周期
2πω 2πω πω
4242,22()42432,()22k k k Z k k k Z ππϕππϕωωππϕππϕωω--+-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
∈+-+-⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
增区间减区间
()22,
()22,k k k Z k k k Z ππϕπϕωωπϕππϕωω---⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
∈-+-⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦增区间减区间 2222,22()
k k k Z ππϕππϕωω--+-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
∈增区间 对称轴
22()2k x k Z ππϕ
ω
+-=
∈
()k x k Z πϕω
-=∈
无对称轴
对称 中
心
(),0k k Z πϕω-⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭ ()22,02k k Z ππϕω+-⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
()2,02k k Z πϕω-⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
无最值
最值 单 调 区 间
()()max min 422;
422k x k Z y A k x k Z A ππϕ
ω
ππϕ
ω
+-=∈=--=
∈=-时，时，y
()()max min 2;(2)k x k Z y A k x k Z A πϕωππϕω-=
∈=+-=
∈=-时，时，y
注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求sin ,0,42ππθθ⎛
⎫
⎛⎫+
∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
上的取值范围。

（2）注意求单调区间时的整体意识。

如：求sin 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调增区间,在[]0,2π上的单调增区间。

而sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭求单调增区间时,先化成sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的形式,再求sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的单调递
减区间。

（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时sin cos y x y x ==、在对称轴处取最值。

五、图象变换：函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的图象可由sin y x =的图象做如下变换得到 1、先相位变换 周期变换 振幅变换
sin y x = ()sin y x ϕ=+：把sin y x =图象上所有的点向左（0ϕ>） 或向右（0ϕ<）
平移ϕ个单位。

()sin y x ωϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）或缩
短（1ω>）到原来的
1
ω
倍,纵坐标不变。

()sin y A x ωϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。

2、先周期变换 相位变换 振幅变换
sin y x =
sin y x ω=：把s i n y x =图象上各点的横坐标伸长
（01ω<<）或缩短（1ω>）到原来的
1
ω
倍,纵坐标不变。

()sin y x ωϕ=+：
把s i n y x ω=图象上所有的点向左（0ϕ>）或向右（0ϕ<）平移ϕ
ω
个单位.
()sin y A x ωϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短
（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。

无最值
最值
3、 注意：（1）要会画()sin y A x ωϕ=+在一个周期的图象：（即五点作图法：设30,,,,2,2
2
t x ππωϕππ=+=求
相应的x 值和对应的y 值,描点作图）如2sin 26y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
,在[]0,π上的图象的画法。

（2）注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。

②要先使函数名称相同再变换。

如：为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
的图象,只需将函数sin 2y x =的图象向 平移 个单位。

（3）2T πω
=,1
f T =（频率）。

注意()sin y A x ωϕ=+、()cos y A x ωϕ=+相邻两对称轴间的距离为2T πω=。

（4）已知图象求解析式时注意：看振幅求A ,看周期求ω,看特殊点求ϕ（通常是最大值或最小值时的位置） （5）已知变换求解析式时,注意只能对自变量x 进行变换。

方法技巧归纳：
1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。

诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于奇偶关系的函数而言的
2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正
3. 在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取
4.求三角函数值域的常用方法：
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法： （1）将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域；（2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域； （3）换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性 5. 三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数sin y x =,
cos y x =,tan y x =的图象与性质,并挖掘：
⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
sin y x =的对称轴是
2
x k π
π=+
()k Z ∈,对称中心是(,0)k π()k Z ∈；
cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈,对称中心是(,0)2k π
π+()k Z ∈
tan y x =的对称中心是(
,0)()2k k Z π
∈注意加了绝对值后的情况变化.
⑷写单调区间注意0ω>.
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图,并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时初相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式
1
x ϕ
ω
=-
.
（三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩
s i n y x =的图象
ϕϕϕ<−−−−−−−→
向左(>0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ϕ=+的图象
()
ωωω
−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1
到原来的纵坐标不变
得sin()y x ωϕ=+的图象
()
A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象
(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象
(01)(1)
1
()
ωωω
<<>−−−−−−−−−→
横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得
sin()
y A x ω=的图象
(0)(0)ϕϕϕ
ω
><−−−−−−−→向左或向右平移
个单位
得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ωϕ=++的图象．
三角函数常用结论总结
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：
（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角
1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，
合＿＿＿弧度。

（答：25-；5
36π
-）
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于
y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z .
（5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .
（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：
,2
k k Z
π
απ=+
∈；α
终边在坐标轴上的角可表示为：
,2k k Z
πα=∈.如α的终边与6π
的终边关于直线x y =对称，则α＝
____________。

（答：
Z
k k ∈+
,3
2ππ）
4、α与2α
的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α
是第_____象限角（答：一、三）
5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2
11
||22S lR R
α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长
是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22
cm ）
6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与
原点的距离是220r x y =
+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，
cot x y α=(0)y ≠，
sec r
x α=
()0x ≠，
()csc 0r
y y α=
≠。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

如（1）已知角α的终
边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

（答：7
13-
）；
（2）设α是第三、四象限角，
m m --=
432sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)
23
）；
（3）若0
|cos |cos sin |sin |=+αα
αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号（答：负）
7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

如（1）若
8
π
θ-
<<，则s i n ,c o s θθθ的大小关系为_____(答：
t a n s i n θθθ<
<)；（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ （答：sin tan ααα<<）；
（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______（答：2(2,2]()3
3k k k Z π
π
ππ-
+
∈）
8.特殊角的三角函数值：
30°
45°
60°
0° 90° 180° 270° 15° 75°
sin α
21
22 23 0
1
－1
624- 62
4+
y
T
A x
α B S
O M P
cos α
23 22
21
1 0 －1 0
624+
62
4-
tan α
33
1
3
0 0
2-3
2+3
cot α
3
1 33
0 0
2+3 2-3
9. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,
（3）商数关系：
sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα=
=
同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。

在运用
平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，
再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

如（1）函数
sin tan cos cot y αα
αα+=
+的值的符号为____（答：
大于0）；（2）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12
=-成立的x 的取值范围是____（答：
[0,
]
4
π
],43[ππ）；（3）已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θt a n ＝____（答：125
-
）；
（4）已知11tan tan -=-αα，则ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2
++ααα＝_________（答：35
-；
513）；（5）已知a = 200sin ，则
160tan 等于 A 、21a a -- B 、21a a - C 、
a a 21-- D 、a a 2
1-（答：B ）；（6）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin
f 的值为______（答：－1）。

10.三角函数诱导公式（2k
πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限
（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。

如（1）
97cos
tan()sin 2146ππ
π+-+的
值为________（答：23
23-）；（2）已知54)540sin(-=+α ，则
=-)270cos(
α______，若α为第
二象限角，则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα
________。

（答：54-；1003-）
11、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数
cos y x =图象的作图方法：五点法：先
取横坐标分别为0，3,,
,22
2π
π
ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲
线在一个周期内的图象。

12、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-，对s
i n y x =，当
()
22
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最大值1；当
()
322
x k k Z π
π=+
∈时，y
取最小值－1；对
cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，
y 取最小值－1。

如（1）若函数
sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21
-
，则=a __，=b ＿（答：1,12a b ==或1b =-）；（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]
2,2[π
π-∈x ）的值域是____（答：[－1, 2]）；
（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：7；－5）；（4）
函数2()2cos sin()3sin 3f x x x x
π
=+-sin cos x x +的最小值是_____，此时x ＝__________（答：2；()
12
k k Z π
π+
∈）；（5）己知
21
cos sin =
βα，求αβcos sin =t 的变化范围（答：1[0,]
2）；（6）若
αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最大、最小值（答：1max =y ，222min -=y ）。

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2
π；②()sin()f x A x ωϕ=+和
()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是
2||T πω=。

如(1)若3sin
)(x
x f π=，则
(1)(2)(3)f f f f
++++＝___（答：0）；(2) 函数
4()cos f x x =2sin cos x x - 4sin x -的最小正周期为____（答：π）；(3) 设函数
)
52
sin(
2)(π
π
+
=x x f ，若对任意R x ∈都有
)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为____（答：2）
（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是
()(),0k k Z π∈，对称轴是直线
()
2
x k k Z π
π=+
∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是
直线
()
x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图
象与x 轴的交点）。

如（1）函数522y sin x π⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数
31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；（3）函数
)c o s (si n c o s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：128k (
,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ
=+∈）；（4）已知3f (x )sin(x )cos(x )θθ=+++为偶函数，
求θ的值。

（答：
6
k (k Z )
π
θπ=+
∈）
（5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦单
调递减；
cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。

特别提醒，别忘了k Z ∈！ 13、形如sin()y A x ωϕ=+的函数：
（1）几个物理量：A ―振幅；
1
f T =
―频率（周期的倒数）；x ωϕ+―相位；ϕ―初相；
（2）函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周
期确定；ϕ
由
||)
2
π
ϕ<
的
图象上的特殊点确定，如()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，
图象如图所示，则()f x ＝_____（答：15()2sin()
23f x x π
=+）；
（3）函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,
,22
2π
π
ππ求
出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =
的图象纵坐标不变，
横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得
()
sin y x ϕ=+的图象；②函数
()
sin y x ϕ=+图
象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
ω，得到函数
()
sin y x ωϕ=+的图象；③函数
()
sin y x ωϕ=+图
象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()
y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。

要特别
注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移|
|ϕ
ω个单位，如（1）函
数2sin(2)14y x π=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？（答：2sin(2)1
4y x π
=--向上平移1个单位得
2sin(2)
4y x π=-的图象，再向左平移8π
个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1
2即得sin y x =的图象）；(2) 要得到函数
cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin
2x y =的图象向___平移____个单位（答：左；2π）；（3）将函数
72sin(2)13y x π
=-
+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，
求出a ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量
(,1)
6
a π
=-
-）；（4）若函数
()[]()
cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是
（答：[1,2)）
（5）研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通
过诱导公式先将
ω化正。

如（1）函数
23
y s i n (
x
)
π
=-+的递减区间是______（答：
51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）；（2）
1
234x y log cos()π=+的递减区间是_______（答：
336644[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）；（3）设函数
)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线
32π=
x 对称，它的周期是π，则A 、
)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]
123ππ上是减函数 C 、
)0,125(
)(π
是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A （答：C ）；（4）对于函数
()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=
成轴对称；
③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π
个单位，即得到函数
2cos 2y x =的图像。

其中正确结论是_______（答：②④）；（5）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图象与直
线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为3π
，那么此函数的周期是_______（答：π）
14、正切函数tan y x =的图象和性质：
（1）定义域：
{|,}
2
x x k k Z π
π≠
+∈。

遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线
y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。

绝对值
或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。

如x
y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但
sin y x
=
cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ
=-+=-+，|tan |y x =的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π⎛⎫
⎪⎝
⎭()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数
的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈
⎪⎝⎭内都是增函数。

但要注意在整个定义域上不
具有单调性。

如下图：
15、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα
=±=±−−−→=
()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβ
αβαβαβααα
αααβααβααβα
αα
αα
=±=−−−→=-↓=-=-±±=
⇒-↓=
- 如（1）下列
各式中，值为12的是 A 、1515sin cos B 、
22
1212cos sin ππ
- C 、22251225tan .tan .- D 、130
2cos + （答：C ）；（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、
充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件（答：C ）；（3）
已知
35sin()cos cos()sin αβααβα---=
，那么2cos β的值为____（答：725）；（4）13
10
80sin sin -
的值是______（答：4）；(5)已知0tan110a =，求0
tan50的值（用a 表示）甲求得的结果是313a a -+，乙
求得的结果是2
12a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）
16. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22
αβ
αβ++=⋅
，
(
)(
)
2
22αβ
β
ααβ+=-
--等），如（1）已知
2tan()5αβ+=，1
tan()44πβ-=，那么
tan()
4π
α+
的值是_____（答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且
1
29cos()βα-=-
，22
3sin(
)α
β-=
，求cos()αβ+的值（答：490729）；（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-
，则y 与x 的函数关系为______（答：2343
1(1)
555y x x x =--+<<）
(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值s i n 50(13t a n 10)+
（答：1）；（2）已知
s i n c o s 21,t a n ()1c o s 23αααβα=-=-
-，求
tan(2)βα-的值（答：18） (3)公式变形使用（tan tan αβ
±()()
tan 1tan tan αβαβ=±。

如（1）已知A 、B 为锐角，且满足
tan tan tan tan 1A B A B =++，则c o s
(A B +＝_____（答：2
2-
）；(2)设ABC ∆中，
33tan A tan B tan Atan B ++=，
3
4sin Acos A =
，则此三角形是____三角形（答：等边） (4)三角函数次数的降升(降幂公式：
21cos 2cos 2αα+=
，21cos 2sin 2α
α-=
与升幂公式：
21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。

如(1)若
32
(,)
αππ∈，化简111122222cos α++为_____
（答：
sin
2α
）；（2）函数
2
553f (x )sin xcos x cos x =- 532(x R )+
∈的单调递增区间为___________（答：51212[k ,k ](k Z )ππ
ππ-+∈）
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

如（1）tan (cos sin )ααα-
sin tan cot csc αααα++
+（答：sin α）；（2）求证：
2
1tan 1sin 2
12sin 1tan
22αα
α
α
++=--；（3）化简：
4221
2cos 2cos 2
2tan()sin ()
44x x x x ππ
-+
-+
（答：1
cos 22x
）
(6)常值变换主要指“1”的变换（
221sin cos x x =+22
sec tan tan cot x x x x =-=⋅ tan sin 42
ππ===
等），如已知tan 2α=，求22
sin sin cos 3cos αααα+-（答：3
5）.
(7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”，如（1）若 sin cos x x t ±=，
则sin cos x x = __（答：212t -±)，特别提醒：这里[2,2]t ∈-；（2）若
1(0,),sin cos 2απαα∈+=
，求tan α的值。

（答：47
3+-
）；（3）已知
2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42ππα<<，试用k 表示sin cos αα-的值（答：1k -）。

17、辅助角公式中辅助角的确定：
()
22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的
符号确定，θ角的值由
tan b
a θ=
确定)在求最值、化简时起着重要作用。

如
（1）若方程sin 3cos x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；
（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______(答：32-
)；
（3）如果
()()sin 2cos()
f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=
(答：－2)；
（4）求值：=︒+︒-︒20sin 6420cos 1
20sin 322
2________(答：32)
（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得0
115213115cos 2
22<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角
（2010湖南文数）7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则A.a ＞b B.a ＜b
C. a ＝b
D.a 与b 的大小关系不能确定
【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。

（2010浙江理数）（9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是 （A ）
[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4
解析：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合可知答案选A ，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题
（2010浙江理数）（4）设
02x π
＜＜
，则“2sin 1x x ＜
”是“sin 1x x ＜”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件
解析：因为0＜x ＜2π
，所以sinx ＜1，故xsin 2x ＜xsinx ，结合xsin 2x 与xsinx 的取值范围相同，可知答案选
B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题
（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数
sin(2)
3
y x π=-
的图像，只需把函数
sin(2)
6
y x π
=+
的图像
（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π
个长度单位 （D ）向右平移2π
个长度单位【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.
【解析】
sin(2)6y x π
=+
=
sin 2()
12x π
+
，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将sin(2)6y x π
=+的
图像向右平移4π个长度单位得到
sin(2)
3y x π=-的图像，故选B.
（2010陕西文数）3.函数f (x )=2sin x cos x 是
[C]
(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数
（D ）最小正周期为π的偶函数
解析：本题考查三角函数的性质
f (x )=2sin x cos x=sin2x ，周期为π的奇函数 （2010辽宁文数）（6）设0ω>,函数
sin()2
3
y x π
ω=+
+的图像向右平移43π
个单位后与原图像重合，则
ω的最小值是
（A ）23（B ） 43 （C ） 32（D ） 3解析：选C.由已知，周期
243
,.
32T ππωω==∴= （2010辽宁理数）（5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π
)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的
最小值是
（A ）23 (B)43 (C)3
2 (D)
3 【答案】C 【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三
角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。

【解析】将
y=sin(ωx+3
π
)+2
的图像向右平移3
4π
个单位后为
4s i n [
()]233y x ππω=-++4s i n ()2
33x πωπω=+-+，所以有43ωπ
=2k π,即32k ω=，又因为0ω>，所以k ≥1,故
32k ω=
≥3
2，所以选C
（2010全国卷2文数）（3）已知
2sin 3α=
，则cos(2)x α-= （A ）53-
（B ）19-（C ）19（D ）5
3
【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ sina=2/3，∴
21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-
（2010江西理数）7.E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）
A. 1627
B. 23
C. 3
3 D. 34【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。

解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得
4cos 5ECF ∠=
，解得3
tan 4ECF ∠=
解法2：坐标化。

约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C （0,3）利用向量的夹角公式得
4cos 5ECF ∠=
，解得3
tan 4ECF ∠=。

（2010重庆文数）（6）下列函数中，周期为π，且在[,]
42ππ
上为减函数的是
（A ）sin(2)2y x π=+（B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+（D ）
cos()
2y x π
=+
解析：C 、D 中函数周期为2π，所以错误
当
[,]
42x ππ
∈时，32,22x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，函数sin(2)2y x π=+为减函数而函数cos(2)2y x π=+为增函数，
所以选A
（2010重庆理数） （6）已知函数
()sin (0,)
2
y x π
ωϕωϕ=+><
的部分图象如题（6）图所示，则
A.ω=1 ϕ= 6π
B. ω=1 ϕ=- 6π
C. ω=2 ϕ= 6π
D. ω=2 ϕ= -6π
解析：2=∴=ϖπT 由五点作图法知
23
2π
ϕπ
=
+⨯
，ϕ= -6π
（2010浙江理数）（11）函数2()sin(2)22sin 4f x x x
π
=--的最小正周期是__________________ .
解析：()242sin 22-⎪⎭⎫
⎝⎛+=
πx x f 故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属
中档题
（2010全国卷2理数）（13）已知a 是第二象限的角，
4
tan(2)3a π+=-
，则tan a = ．【答案】12-
【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.
【解析】由
4tan(2)3a π+=-
得4
tan 23a =-
，又22t a n 4t a n 21t a n 3a αα==--，解得
1
t a n t a n
22
αα=-=或
，又a 是第二象限的角，所以
1tan 2α=-
.
（2010全国卷2文数）（13）已知α是第二象限的角,tan α=1/2，则cos α=__________
【解析】
255-
：本题考查了同角三角函数的基础知识 ∵1tan 2α=-，∴25
cos 5α=-
（2010重庆文数）（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧
所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则2
3231
1cos cos sin sin 3
333ααααα
α
++-=____________ .
解析：
23
23
123
1
1
cos
cos
sin
sin
cos
3
3
3
3
3
ααααααααα++++-=又1232αααπ++=，所以
123
1cos 3
2ααα++=-
（2010浙江文数）（12）函数
2()sin (2)
4f x x π
=-的最小正周期是。

答案：2π
（2010山东文数）（15） 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，
2b =,sin cos 2B B +=,
则角A 的大小为 .答案：
（2010北京文数）（10）在ABC ∆中。

若1b =，3c =，
23c π
∠=
，则a= 。

答案：1 （2010北京理数）（10）在△ABC 中，若b = 1， c =3，
23C π
∠=
，则a = 。

答案 1
11．1．解：由A+C=2B 及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，13
sin sin 60A =
，即1s i n 2A =．由a b <知，60A B <=，则30A =，[来源:高考资源网]
180180306090C A B =--=--=，sin sin 901C ==
（2010广东文数）
（2010福建文数）16.观察下列等式：K^S*5U.C#O
① cos2a=22
cos a -1; ② cos4a=84
cos a - 82
cos a + 1;
③ cos6a=326
cos a - 484
cos a + 182
cos a - 1;
④ cos8a=1288
cos a - 2566
cos a + 1604
cos a - 322
cos a + 1;
⑤ cos10a= m 10
cos a - 12808
cos a + 11206
cos a + n 4
cos a + p 2
cos a - 1． 可以推测，m – n + p = ．【答案】962
【解析】因为
122,=382,=5322,=7
1282,=所以92512m ==；观察可得400n =-， 50p =，所以m – n + p =962。

【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。

（2010全国卷1文数）(14)已知α
为第二象限的角，
3
sin 5a =
,则tan 2α= .14.24
7-
【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析】因为
α为第二象限的角,又
3sin 5α=
, 所以4c o s 5α=-，sin 3
tan cos 4ααα==-
,所
22tan 24
tan(2)1tan 7ααα=
=-
-
（2010全国卷1理数）(14)已知α为第三象限的角，
3
cos2
5
α=-
,则
tan(2)
4
π
α
+=
. （2010山东理数）
1. （2010福建理数）14．已知函数
f(x)=3sin(x-)(>0)
6
π
ωω
和
g(x)=2cos(2x+)+1
ϕ
的图象的对称轴完全相同。

若
x[0,]
2
π
∈
，则
f(x)的取值范围是。

【答案】
3
[-,3]
2
【解析】由题意知，2
ω=，因为
x[0,]
2
π
∈
，所以
5
2x-[-,]
666
πππ
∈
，由三角函数图象知：
f(x)的最小值为
3
3sin(-)=-
62
π
，最大值为
3sin=3
2
π
，所以
f(x)的取值范围是
3
[-,3]
2。

2.（2010江苏卷）10、定义在区间
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
π
,
上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P 作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。

[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。

线段P1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=
2
3。

线段P1P2的长为
2
3
3.（2010江苏卷）13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，
6cos
b a
C
a b
+=
，则
t a n t a n
t a n t a n
C C
A B
+
=____▲_____。

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。

一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：
1cos 3C =
，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，2
tan 22C =，
1tan tan 2
tan
2
A B C
==
=，tan tan tan tan C C
A B +
= 4。

（方法二）226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，
2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++= 2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B +++=⋅=⋅=⋅
（2010上海文数）19.（本题满分12分）已知
02x π
<<
，化简：
2lg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)
22x x x x x π
⋅+-+--+.
解析：原式=lg(sinx +cosx)+lg(cosx +sinx)-lg(sinx +cosx)2=0．
（2010湖南文数）16. （本小题满分12分）
已知函数
2
()sin 22sin f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期。

(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

（2010浙江理数）（18）(本题满分l4
分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边
分别为a,b,c ，已知
1
cos 24C =-
(I)求sinC 的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。

（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=14-
，及0＜C ＜π所以sinC=10
4.
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a c
sin A sin C =
，得c=4
由cos2C=2cos2C-1=14-
，J 及0＜C ＜π得cosC=±6
4由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC ，得
b2±6b-12=0解得 b=6或26 所以 b=6 b=6。