离散数学样卷十二套(含答案)

一、证明下列各题
1、 （10分）证明蕴涵式：()P P Q Q ∧→⇒
2、（10分）证明：,1111f g f g -⇒-I 为函数为函数。

5、 3、（10分）给定代数结构
,N ⨯和{}0,1,⨯，其中N 是自然数集合，⨯是数的乘法。

设{}:0,1f N →，定义为：
12,,()0
k n n k N f n ⎧=∈=⎨
⎩否则
试证
}01N ⨯≅⨯
，，，。

4、（10分）给定代数结构
,R *，其中R 是实数集合，对R 中任意元a 和b ，*定义如下：a b a b a b *=++⨯ 试证明：,R *是独异点。

二、求下列各题的解：
1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）：
()()P Q P Q ⌝∨⌝→⌝€
2、（15分）
{}010*********R =设，，，，，，，，，，，，试求
（1）、R R *，（2）、{}1R ↑，（3）、{}1
1R -↑，（4）、{}1R ⎡⎤⎣⎦，（5）、
{}11R -⎡⎤⎣⎦
3、（15分给定无向图
,G V E =，如图，试求： F E D
C
A B
（1） 从A 到D 的所有基本链； （2） 从A 到D 的所有简单链；
（3） 长度分别是最小和最大的简单圈； （4） 长度分别是最小和最大的基本圈； （5） 从A 到D 的距离。

4、（15分）给定二部图
12,,G E V =，如图 9v 8v 7v 6v 1V
1v 2v 3v 4v 5v 2V 试求1V 到2V 的最大匹配
一、证明下列各题
1、 （10分）证明蕴涵式：()P Q P P Q →⇒→∧
2、（10分）证明：()()()A B C A B A C ⨯-=⨯-⨯
3
、（10分）给定群
,
G ，则
,
G 为Abel 群
⇔222
()()(,())∀∀∈→=a b a b G a b a b
4、（10分）给定代数结构,S *
，其中S 中元为实数有序对，*定义为 ,,,2a b c d a c b d bd *=+++，试证
,S *
是可交换独异点。

二、求下列各题的解：
1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）： ((()))P P Q Q R ∨⌝→∨⌝→
2、（15分）设{},,,,,,
R a b b c c a =试求(),()r R s R 和()t R 。

3、（15分）给定有向图
,
G E
，如图，试求：
（1）、各结点的出度、入度和度；（2）、从v1到v3的所有简单路和基本路；（3）、所有简单回路和基本回路。

4、（15分）给定树G，试求对应二叉树
1 2
一、证明下列各题
1、 （10分）证明蕴涵式：()P Q Q P Q →→⇒∨
2、（10分）证明：,1111f g f g -⇒-I 为函数为函数。

3、（10分）给定代数结构
,N ⨯和}0,1,⨯，其中N 是自然数集合，⨯是数的乘法。

设{}:0,1f N →，定义为：
12,,()0
k n n k N f n ⎧=∈=⎨
⎩否则
试证
}01N ⨯≅⨯
，，，。

4、（10分）给定代数结构
,S *，其中S 中元为实数有序对，*定义为 ,,,2a b c d a c b d bd *=+++，试证,S *是可交换独异点。

二、求下列各题的解：
1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）： ((()))P P Q Q R ∨⌝→∨⌝→
2、（15分）
{}010*********R =设，，，，，，，，，，，，试求
（1）、R R *，（2）、{}1R ↑，（3）、{}1
1R -↑，（4）、{}1R ⎡⎤⎣⎦，（5）、
{}11R -⎡⎤⎣⎦
3、（15分）给定有向图
,
G E
，如图，试求：
（1）、各结点的出度、入度和度；（2）、从v1到v3的所有简单路和基本路；（3）、所有简单回路和基本回路。

4、（15分）给定树G，试求对应二叉树
1 2
专业:信息与计算科学课程名称:离散数学学分:3试卷编号（D）课程编号:4114600考试方式:闭卷考试时间:120分钟
拟卷人(签字):拟卷日期:审核人(签字)：
得分统计表
题号一二总分
得分
一、第一部分
1（10分）写出下列公式的真值表
A = (pq) r
得分
阅卷人
2（10分）用等值演算法判断下列公式的类型
q(pq)
3（10分）求主析取范式
(pq)r
4（10分）判断下面推理是否正确
若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以明天是5号.
5（10分）用归缪法证明
前提：(pq)r, rs, s, p结论：q
二、第二部分
1（10分）在一阶逻辑中将下面命题符号化
正数都大于负数
2（10分）设偏序集<A,>如下图所示，
求A的极小元、最小元、极大元、最大元.
设B＝{b,c,d}, 求B的下界、上界、下确界、上确界.
3（10分）G=Z12是12阶循环群,写出G的所有子群
4（10分）考虑110的正因子集合S110关于gcd, lcm运算构成的布尔代数.
写出它所有的子布尔代数
5（10分）⑴对权100,81,64,49,36,25,16,9,4,1构造一棵最优二元树，并求权和。

⑵求下图的最小生成树，并求最小权和
专业:信息与计算科学课程名称:离散数学学分:3试卷编号（E）课程编号:4114600考试方式:闭卷考试时间:120分钟拟卷人(签字):拟卷日期:审核人(签字)：
得分统计表
题号一二总分
得分
一、第一部分
1（10分）写出下列公式的真值表
B = (qp) qp
得分
阅卷人
2（10分）用等值演算法判断下列公式的类型
(pq)(qp)
3（10分）求主合取范式
(pq)r
4（10分）判断下面推理是否正确
若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号5（10分）用附加前提证明法构造证明
前提：pq, pr, rs结论：sq
二、第二部分
1（10分）在一阶逻辑中将下面命题符号化
有的无理数大于有的有理数
2（10分）已知偏序集<A,R>的哈斯图如下图所示,
试求出集合A和关系R的表达式.。

3（10分）设G={e, a, b, c}是Klein四元群. 给出G的所有自同构. 4（10分）写出下图中L1，L2，L3的原子。

5（10分）写出下图所示树产生的前缀码
专业:信息与计算科学课程名称:离散数学学分:3试卷编号（F）课程编号:4114600考试方式:闭卷考试时间:120分钟拟卷人(签字):拟卷日期:审核人(签字)：
得分统计表
一、第一部分
1（10分）写出下列公式的真值表
C = (pq) q
2（10分）用等值演算法判断下列公式的类型
((pq)(pq))r)
3（10分）用主析取范式判两个公式是否等值
⑴p(qr) 与(pq)r
⑵p(qr) 与(pq)r
4（10分）证明{}为联结词完备集
5（10分）直接证明法构造证明
前提：(pq)r, rs, s结论：pq
二、第二部分
1（10分）在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1）人都爱美（2）有人用左手写字Array个体域分别为
(a) D=“人类集合”={x | x是人}
(b) D为全总个体域
2（10分）分别画出下列各偏序集的哈斯图，再求出最大元、最小元、极大元和极小元A ＝〔a,b,c,d,e〕≤＝〔<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>∪I A
3（10分）设f：R→R, g：R→R
23
()()2
23
x x
f x
g x x
x
⎧≥
==+
⎨
-<
⎩
求fg, gf. 如果f和g存在反函数, 求出它们的反函数. 4（10分）下图中的L1, L2, L3和L4是否是有补格。

5（10分）用Huffman算法产生最佳前缀码
在通信中，八进制数字出现的频率如下：
0：25% 1：20%
2：15% 3：10%
4：10% 5：10%
6：5% 7：5%
求传输它们的最佳前缀码，并求传输10000个按上述比例出现的八进制数字需要多少个
二进制数字若用等长的（长为3）的码字传输需要多少个二进制数字
专业: 信息与计算科学 课程名称: 离散数学 学分: 3 试卷编号（G ）
课程编号:
411461
考试方式:
闭 卷
考试时间: 100 分钟
拟卷人(签字):
拟卷日期:
审核人(签字)：
．小明学习和体育都好.
2．只有努力才能成功.
3．存在函数连续但不可导（论域为全总个体域）．
4．凡有理数均可表示成分数（论域为全总个体域）.
1．求公式()P Q ∧∧的主析取范式和主合取范式（12分）.
一、将下列命题符号化：（本题共4题,每题5分,满分20分.）
二、计算题：（本题共3小题,满分34分.）
2．设
{}{}1,2,3,(1,2),(2,2),(2,3)A A R ==上的二元关系.求r (R)、s(R)及t(R)（12分）.
3．设{}1,2,3,A =问A 上共有多少个不同的等价关系（10分）.
1.画出集合}1234612A =，，，，，上整除关系的哈斯图，指出最大元、最小元、极
大元和极小元（12分）.
2.设U *＝（s,）是半群，{}s=a,b,c,d ，“*”运算定义如下表（10分）：
(1).证明U 是一个循环含幺半群，并给出它的生成元； (2).把U 中的每个元素均表示成生成元的幂.
三、应用题：（本题共3小题,满分30分.）
3.设(,,)A +⨯是一个代数系统
，{A x x a ==+，a b 、均为有理数，其中+⨯“”、“”为普通加法和普通乘法，问(,,)A +⨯是否为域为什么（8分）
四、证明题：（本题共2小题,满分16分.）
1.给定代数系统(,),(,),(,).U X V Y W Z =•=⨯=*设f 是从U 到V 的同态，h 是从V 到W 的同态.证明:h f o 是从U 到W 的同态.（8分）：
2.构造下列推理的证明（8分）：
前提：(()()),(()()),()x A x B x x B x C x xC x ∀→⌝∀∨⌝∀.
结论：().x A x ∃⌝
专业: 信息与计算科学 课程名称: 离散数学 学分: 3 试卷编号（H ）
课程编号:
4114600
考试方式: 闭 卷
考试时间: 100 分钟
拟卷人(签字):
拟卷日期:
审核人(签字)：
题 号 一 二 三 四 总 分
得 分
小明学习好或体育好.
2．除非努力才能成功.
3．存在函数连续且可导（论域为全总个体域）．
4．有的有理数能被2整除（论域为全总个体域）.
1．化一阶逻辑公式()())()xP x yQ y xR x ∀∨∃→∀为前束范式（12分）.
得 分
阅卷人 一、将下列命题符号化：（本题共4题,每题5分,满分20分.）
得 分
阅卷人 二、计算题：（本题共3小题,满分34分.）
2．设{}{},,,(,),(,),(,)A a b c A R a b b b b c ==上的二元关系.求r (R)、s(R)及t(R)（12
分）.
3．设{}1,2,3,4,A =问A 上共有多少个不同的等价关系（10分）.
1.画出集合}234912A =，，，，上整除关系的哈斯图，指出极大元和极小元（12分）.
2.设U *＝（s,）是半群，{}s=a,b,c ，“*”运算定义如下表（10分）： (1).证明U 是一个循环含幺半群，并给出它的生成元； (2).把U 中的每个元素均表示成生成元的幂.
三、应用题：（本题共3小题,满分30分.）
3.设(,,)A +⨯是一个代数系统
，{A x x a ==+，a b 、均为有理数，其中+⨯“”、“”为普通加法和普通乘法，问(,,)A +⨯是否为域为什么（8分）
四、证明题：（本题共2小题,满分16分.）
1.设f 、g 分别是两代数系统(,),(,)X Y *o 上的同态，其中(,)Y *可交换，令h 是从X 到
Y 的函数，对x X ∀∈有：()()()h x f x g x =*.证明:h 是从X 到Y 的同态.（8分）：
2.构造下列推理的证明（8分）：
前提：(()),,.P S R Q P R →⌝∧→⌝⌝.
结论：.Q ⌝
专业: 信息与计算科学
课程名称: 离散数学 学分: 3 试卷编号（I ）
课程编号: 4114600
考试方式: 闭 卷
考试时间: 100 分钟
拟卷人(签字):
拟卷日期:
审核人(签字)：
题 号 一 二 三 四 总 分
得 分
只要努力过就不会后悔.
2．我在城在.
3．所有孩子都崇拜某些偶像（论域为全总个体域）．
4．一切房子都不一样大（论域为全总个体域）.
1．求公式R 的主析取范式和主合取范式（12分）.
得 分
阅卷人 一、将下列命题符号化：（本题共4题,每题5分,满分20分.）
得 分
阅卷人 二、计算题：（本题共3小题,满分34分.）
2．设{}{}1,2,(1,2)A A R ==上的二元关系.求r (R)、s(R)及t(R)（12分）.
3．设{}1,2,A =问A 上共有多少个不同的等价关系（10分）.
1.画出集合}234789A =，，，，，上整除关系的哈斯图，指出极大元和极小元（12
分）.
2.设{}G ＝e,a,b,c ，“*”为G 上的二元运算，“*”运算定义如下表（10分）：
(1).G 是否能构成一个群 (2).G 有何性质
三、应用题：（本题共3小题,满分30分
.）
3.设(,,)A +⨯是一个代数系统
，{A x x a ==+，a b 、均为有理数，其中
+⨯“”、“”为普通加法和普通乘法，问(,,)A +⨯是否为域为什么（8分）
四、证明题：（本题共2小题,满分16分.）
1.设:,f R R x R →∀∈有()2f x x =．证明:f 是(,)R +上的自同构．（8分）：
2.构造下列推理的证明（8分）：
前提：(()()),(()).x P x Q x x Q x ∀→∃⌝
结论：(()()).x Q x P x ∃⌝∧⌝
一、证明下列各题
1、 （10分）证明蕴涵式：()P P Q Q ∧→⇒
2、（10分）证明：,1111f g f g -⇒-I 为函数为函数。

5、 3、（10分）给定代数结构
,N ⨯和{}0,1,⨯，其中N 是自然数集合，⨯是数的乘法。

设{}:0,1f N →，定义为：
12,,()0
k n n k N f n ⎧=∈=⎨
⎩否则
试证
}01N ⨯≅⨯
，，，。

4、（10分）给定代数结构
,R *，其中R 是实数集合，对R 中任意元a 和b ，*定义如下：a b a b a b *=++⨯ 试证明：,R *是独异点。

二、求下列各题的解：
1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）：
()()P Q P Q ⌝∨⌝→⌝€
2、（15分）
{}010*********R =设，，，，，，，，，，，，试求
（1）、R R *，（2）、{}1R ↑，（3）、{}1
1R -↑，（4）、{}1R ⎡⎤⎣⎦，（5）、
{}11R -⎡⎤⎣⎦
3、（15分给定无向图
,G V E =，如图，试求： F E D
C
A B
（1） 从A 到D 的所有基本链； （2） 从A 到D 的所有简单链；
（3） 长度分别是最小和最大的简单圈； （4） 长度分别是最小和最大的基本圈； （5） 从A 到D 的距离。

4、（15分）给定二部图
12,,G E V =，如图 9v 8v 7v 6v 1V
1v 2v 3v 4v 5v 2V 试求1V 到2V 的最大匹配。

一、证明下列各题
1、 （10分）证明蕴涵式：()P Q P P Q →⇒→∧
2、（10分）证明：()()()A B C A B A C ⨯-=⨯-⨯
3
、（10分）给定
群
,
G ，
则
,
G 为Abel 群
⇔222
()()(,())∀∀∈→=a b a b G a b a b
4、（10分）给定代数结构,S*
，其中S中元为实数有序对，*定义为
,,,2
a b c d a c b d bd
*=+++
，试证,S*
是可交换独异点。

二、求下列各题的解：
1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）：
((()))
P P Q Q R
∨⌝→∨⌝→
2、（15分）设
{}
,,,,,,
R a b b c c a
=
试求(),()
r R s R和()
t R。

3、（15分）给定有向图
,
G E
=
，如图，试求：
（1）、各结点的出度、入度和度；（2）、从v1到v3的所有简单路和基本路；（3）、所有简单回路和基本回路。

4、（15分）给定树G，试求对应二叉树
1 2
一、证明下列各题
1、 （10分）证明蕴涵式：()P Q Q P Q →→⇒∨
2、（10分）证明：,1111f g f g -⇒-I 为函数为函数。

3、（10分）给定代数结构
,N ⨯和}0,1,⨯，其中N 是自然数集合，⨯是数的乘法。

设{}:0,1f N →，定义为：
12,,()0
k n n k N f n ⎧=∈=⎨
⎩否则
试证
}01N ⨯≅⨯
，，，。

4、（10分）给定代数结构
,S *，其中S 中元为实数有序对，*定义为 ,,,2a b c d a c b d bd *=+++，试证,S *是可交换独异点。

二、求下列各题的解：
1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）： ((()))P P Q Q R ∨⌝→∨⌝→
2、（15分）
{}010*********R =设，，，，，，，，，，，，试求
（1）、R R *，（2）、{}1R ↑，（3）、{}1
1R -↑，（4）、{}1R ⎡⎤⎣⎦，（5）、
{}11R -⎡⎤⎣⎦
3、（15分）给定有向图
,
G E
，如图，试求：
（1）、各结点的出度、入度和度；（2）、从v1到v3的所有简单路和基本路；（3）、所有简单回路和基本回路。

4、（15分）给定树G，试求对应二叉树
1 2
答案：
一、1、(())(())2()2()2()()2()()2P P Q Q P P Q Q P P Q Q P P Q Q P P P Q Q P Q Q P Q Q T ''∧→→⇔⌝∧⌝∨∨⇔⌝∨∨⌝∨''⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⌝∨⌝∨⇔⌝∨⌝∨'⇔⌝∨⌝∨⇔………………………… 或用推理方法，或用真值表方法（略）。

2、xf gy xf gz xfy xgy xfz xgz xfy xfz y z ∧⇔∧∧∧⇒∧⇒=I I ……5分
11111111()()u f g v u f g w uf v ug v uf w ug w uf v uf w v w
--------∧⇔∧∧∧⇒∧⇒=I I ……5分
3、任给m n N ∈，，有三种情况：
（1）存在12,,k k N ∈使12
2,2k k m n ==成立；……1分
（2）存在12k k N ∈，，使1
2k m =成立而不存在2,k N ∈使2
2k n =成立；或者反之； (1)
分
（3）不存在12,k k N ∈，使12
2,2k k m n ==成立。

……1分
对于（1），显然有
1212
()(2)1,()()(2)(2)111,k k k k f m n f f m f n f f +⨯==⨯=⨯=⨯=即()()()f m n f m f n ⨯=⨯；……3分
对于（2）（3），均有()()()f m n f m f n ⨯=⨯。

……2分
因为12,12()0,2()()0,2,2k k
k k f m n m n f m f n m n +⨯=⨯≠⨯==≠或12k m ≠和2
2k n = 或12k m ≠和2
2k n ≠。

……2分
综上所述，()()()f m n f m f n ⨯=⨯，故
{}01N ⨯≅
⨯
，，，。

4、首先证明*满足结合律，任给,,x y z R ∈，因为
()()(),x y z x y x y z x y x y z x y x y z x y z x y x z y z x y z **=++⨯*=++⨯++++⨯⨯=+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 而()()().x y z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z x y x z x y z **=*++⨯=+++⨯+⨯++⨯=+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯
故()()x y z x y z **=**，因此，*满足结合律。

……5分
其次证明*有幺元0，任给x R ∈，有：000,000x x x x x x x x *=++⨯=*=++⨯=，故0是*的幺元。

……5分 综上所述，
,R *
是独异点。

二、1、0()()()(()())()(()())((()()))((()()))()()()()3()3
P Q P Q P Q P Q Q P P Q P Q Q P P P Q P Q Q P Q P Q P P Q P P Q Q P Q P P Q P Q M '⌝∨⌝→⌝⇔⌝⌝∨⌝∨→⌝∧⌝→'
⇔∧∨⌝∨⌝∧∨'
⇔∨⌝∨⌝∧∨∧∨⌝∨⌝∧∨'
⇔∨⌝∨⌝∧∨∨∧∨⌝∨⌝∧∨∨'⇔∨⇔€……2……2……2…………
主析取范式为123m m m ∨∨……3分
2、
{1031*（）、R R=0，2，，，，3……3分
{}{211213R ↑=（）、，，，……3分
{1310R -=（）、，……3分 {}{}4123R =⎡⎤⎣⎦（）、，
……3分
{}{}
1510R -=（）、……3分 3、（1）、从A 到D 的所有基本链共有10条，即：ABD ，ABED ，ABCD ，ABCED ，ABECD ，AFED ，AFECD ，AFEBD ，AFEBCD ，AFECBD 。

……3分
（2）、从A 到D 的所有简单链共有14条，即除（1）的10条外，还有ABCEBD ，ABECBD ，AFEBCED ，AFECBED 。

……3分
（3）、长度最小的简单圈共4个，即BCDB ，BCEB ，BDEB ，CDEC ，长度最大的简单圈共2个，即ABCEBDEFA ，AFEBCEDBA 。

……3分
（4）、长度最小的基本圈共4个，即同（3）；长度最大的基本圈有2个，为ABDCEFA ；ABCDEFA ……3分；
（5）、
,2
d A D =。

……3分
4、1V 到2V
的最大匹配有多个，如{}1
8
273659
,,,,,,,v v
v v v v v v ，得分情况根据具体解
题过程考虑。

一、1、()(())()(())2()(())()(())2(()(()())
(()())((()(())))2()((()()))
()((())P Q P P Q P Q P P Q P Q P P Q P Q P P Q P Q P P Q P Q P P P Q P Q P P Q Q P Q P P Q Q Q P Q P P Q P Q '→→→∧⇔⌝∨→⌝∨∧'
⌝⌝∨∨⌝∨∧⇔∧⌝∨⌝∨∧⇔∧⌝∨⌝∨∧⌝∨∧'⇔∧⌝∧⌝∨⌝∨∧⌝∨∧∧⌝∨⇔⌝∧⌝∨∧∨∧⌝∨⇔⌝∧⌝∨∧∨⇔⌝∨⌝………………2()2P P P Q T '
∨'⇔⌝∨∨⌝⇔…………
2、
,()()2()2()()2,,2,()()2x y A B C x A y B C x A y B y C x A y B x A y C x y A B x y A C x y A B A C '
∈⨯-⇔∈∧∈-''
⇔∈∧∈∧∉⇔∈∧∈∧∈∧∉''
⇔∈⨯∧∉⨯⇔∈⨯-⨯…………………………
3
、充分性：因为
,G e
是群，又对任意,a b G ∈，有
222()()()()()
()()()()5a b a b a b a b a a b b a b a b a a b b b a b a b b b a a b =⇒=⇒=⇒='⇒=……
可见，
是可交换的，故
,
G 为Abel.
必要性：
,
G 为Abel
群，自然
,
是群；又对任意,a b G ∈，有
222()()()()()()()5a b a b a b a b a b a a b b a a b b a b ==='
==……
4、首先证明*是可结合的，任给
,,,,,a b c d e f S
∈，有：
(,,,,2,,22(2),2224a b c d e f a c b d bd e f a c e b d f bd b d bd a c e b d f bd bf df bdf **=+++*=++++++++=++++++++
而
,(,,),,2,22(2)
,2224,
a b c d e f a b c d d f df a c e b e f df b d f df a c e b d f bd bf df bdf **=*+++=++++++++=++++++++
故满足结合律，
,S *
是半群。

……5分 其次证明*有幺元
0,0，任给
,a b S
∈，有
0,0,0,020,,,0,00,020,.
a b a b b a b a b a b b a b *=+++⨯⨯=*=+++⨯⨯=因此，0,0
是幺元。

……2分
最后，证明*满足交换律，任给
,,,a b c d S
∈，有
,,,2,,a b c d a c b d bd c d a b
*=+++=*，故*满足见换律。

……3分
综上可知，
,S *
是可交换独异点。

二、1、0((()))((()))55P P Q Q R P P Q Q R P Q R M '
∨⌝→∨⌝→⇔∨∨∨∨'⇔∨∨⇔…………
2、
{(),,,,,,,,,,,r R a b b c c a a a b b c c
=……5分
{(),,,,,,,,,,
,s R a b b c c a b a c b a c =……5分
{}(),,,,,,,,,,,,,,,,,t R a b b c c a a c b a c b a a b c c
=……5分
3、（1）、112233445512345()2,()1;()1,()2;()1,()1;()2,()2;()1,() 1.
()3,()3,()2,()4,() 2.
d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v +-+-+-+-+-===============……5分
（2）、
1v 到3v 的所有简单路共4条，它们是12431245143143145124 3.,,,v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
1v 到3v 的所有基本路共2条，它们是：1243143,.v v v v v v v ……5分
（3）、所有基本回路共3条，它们是：124511451243 2.,,v v v v v v v v v v v v v 。

所有简单回路除上3
个基本回路外，还有1个，它是1432451.v v v v v v v ……5分
4、根据解题过程分步给分。

一、1、(())()(())()2(())()(())()(()())()(()()2()()2P Q Q P Q P Q Q P Q P Q Q P Q P Q Q P Q P Q Q Q P Q P Q P Q P P Q Q P Q T T T '→→→∨⇔⌝⌝⌝∨∨∨∨'
⇔⌝∧⌝∨∨∨⇔⌝∨∧∨∨'
⌝∧⌝∨∧⌝∨∨⇔⌝∧⌝∨∨''⇔⌝∨∨∧⌝∨∨⇔∧⇔…………2…………2?…
或用真值表方法（略）。

2、5xf gy xf gz xfy xgy xfz xgz
xfy xfz y z ∧⇔∧∧∧'⇒∧⇒=I I ……
11111111()()5u f g v u f g w uf v ug v uf w ug w uf v uf w v w --------∧⇔∧∧∧'⇒∧⇒=I I ……
3、任给m n N ∈，，有三种情况：
（1）存在12,,k k N ∈使12
2,2k k m n ==成立；……1分
（2）存在
12k k N ∈，，使12k m =成立而不存在2
,k N ∈使22k n =成立；或者反之； (1)
分
（3）不存在12,k k N ∈，使12
2,2k k m n ==成立。

1分
对于（1），显然有
1212
()(2)1,()()(2)(2)111,k k k k f m n f f m f n f f +⨯==⨯=⨯=⨯=即()()()f m n f m f n ⨯=⨯；……3分
对于（2）（3），均有()()()f m n f m f n ⨯=⨯。

……2分
因为12,12()0,2()()0,2,2k k
k k f m n m n f m f n m n +⨯=⨯≠⨯==≠或12k m ≠和2
2k n = 或12k m ≠和2
2k n ≠。

……2分
综上所述，()()()f m n f m f n ⨯=⨯，故
{}01N ⨯≅
⨯
，，，。

4、首先证明*满足结合律，任给,,x y z R ∈，因为
()()(),x y z x y x y z x y x y z x y x y z
x y z x y x z y z x y z **=++⨯*=++⨯++++⨯⨯=+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 而()()().x y z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z x y x z x y z **=*++⨯=+++⨯+⨯++⨯=+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯
故()()x y z x y z **=**，因此，*满足结合律。

……5分，其次证明*有幺元0，任给x R ∈，
有：000,000x x x x x x x x *=++⨯=*=++⨯=，故0是*的幺元。

……5分 综上所述，
,R *
是独异点。

二、1、0((()))((()))5P P Q Q R P P Q Q R P Q R M '
∨⌝→∨⌝→⇔∨∨∨∨'⇔∨∨⇔……5……主合取范式，
主析取范式为：
1234567m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨。

……5分
2、
{1031*（）、R R=0，2，，，，3……3分
{}{}211213R ↑=（）、，，，……3分
{}
1310R -=（）、，……3分 {}{}4123R =⎡⎤⎣⎦（）、，
……3分
{}{}
1510R -=（）、……3分
3、（1）、112233445512345()2,()1;()1,()2;()1,()1;()2,()2;()1,() 1.
()3,()3,()2,()4,() 2.
d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v d v +-+-+-+-+-===============……5分
（2）、
1v 到3v 的所有简单路共4条，它们是12431245143143145124 3.,,,v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
1v 到3v 的所有基本路共2条，它们是：1243143,.v v v v v v v ……5分
（3）、所有基本回路共3条，它们是：124511451243 2.,,v v v v v v v v v v v v v 。

所有简单回路除上3
个基本回路外，还有1个，它是1432451.v v v v v v v ……5分
4、根据解题过程分步给分。

一、第一部分
1（10分）写出下列公式的真值表
2（10分）用等值演算法判断下列公式的类型
q (pq )
q (pq ) （蕴涵等值式） ()2'
q (pq ) （德摩根律） ()2'
p (qq ) （交换律，结合律） ()2'
p 0 （矛盾律）
()2'
0 （零律） ()2'
由最后一步可知，为矛盾式. 3（10分）求主析取范式 (pq )r
(pq )r （析取范式） ① ()2'
(pq )
(pq )(rr ) (pqr )(pqr )
专业：信息与计算科学
课程名称： 离散数学 学分： 3 试卷编号（D ）
()3'
m6m7②
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
()3'
m1m3m5m7 ③
②, ③代入①并排序，得
()2'
(pq)r m1m3m5m6m7 （主析取范式）
4（10分）判断下面推理是否正确
若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以明天是5号.
()2'
解设p：今天是1号，q：明天是5号.
(pq)pq
（用等值演算法）
(pq)pq
()3'
((pq)p)q
()3'
pqq
()2'
1
推理正确
5（10分）用归缪法证明
前提：(pq)r, rs, s, p结论：q
证明（用归缪法）
()1'
①q结论否定引入
()1'
②rs前提引入
()1'
③s前提引入
()1'
④r②③拒取式
()1'
⑤(pq)r前提引入
()1'
⑥(pq) ④⑤析取三段论
()1'
⑦pq⑥置换
()1'
⑧p①⑦析取三段论
()1'
⑨p前提引入
()1'
10 pp⑧⑨合取
二、第二部分
1（10分）在一阶逻辑中将下面命题符号化
正数都大于负数
()3'
令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数
()3'
L(x,y)：x>y
x (F (x )y (G (y )L (x ,y ))) ()4'
xy (F (x )G (y )L (x ,y ))
2（10分）设偏序集<A , >如下图所示， 求A 的极小元、最小元、极大元、最大元.
设B ＝{b ,c ,d }, 求B 的下界、上界、下确界、上确界.
解 极小元：a , b , c , g ； ()2'
极大元：a , f , h ； ()2'
没有最小元与最大元. ()2'
B 的下界和最大下界都不存在, ()2'
上界有d 和f ,最小上界为d . ()2'
3 （10分）G =Z 12是12阶循环群写出 G 的所有子群
解 1阶子群<12>=<0>={0} ()2'
2阶子群<6>={0,6} ()2'
3阶子群 <4>={0,4,8}
()2'
4阶子群 <3>={0,3,6,9} ()2'
6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}()1'
12阶子群<1>=Z 12 ()1'
4（10分）考虑110的正因子集合S 110关于gcd, lcm 运算构成的布尔代数. 写
出它所有的子布尔代数：
解 {1, 110} ()2'
{1, 2, 55, 110} ()2'
{1, 5, 22, 110} ()2'
{1, 10, 11, 110} ()2'
{1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110} ()2'
5（10分）⑴对权100,81,64,49,36,25,16,9,4,1构造一棵最优二元树，并求权和 解：过程由下图给出，
100,81,64,49,36,25,16,9,4,1 385
⇒100,81,64,49,36,25,16,9,5 166 219 ⇒100,81,64,49,36,25,16,14 85 81 119 100
⇒100,81,64,49,36,30,25 49 36
55 64 ⇒100,81,64,55,49,36 30 25 ⇒100,85,81,64,55 14 16 ⇒119,100,85,81 5 9 ⇒166,119,100 1 4 ⇒219,166 ⇒385
()(14)796165254(493664)3(81100)21069W T =+⨯+⨯+⨯+⨯+++⨯++⨯=
⑵求下图的最小生成树，并求最小权和
183721)(=+⨯+=T W 每错一处扣分，扣到10分为止
一、第一部分
1（10分）写出下列公式的真值表
2（10分）用等值演算法判断下列公式的类型
(pq )(qp )
(pq )(qp ) （蕴涵等值式）()4'
(pq )(pq ) （交换律）
()4'
1 ()2'
由最后一步可知，为重言式
3. （10分）求主合取范式
(pq )r
(pr )(qr ) （合取范式） ①
()2'
pr p (qq )r (pqr )(pqr )
M 0M 2 ② ()3'
qr (pp )qr (pqr )(pqr )
()3'
M0M4 ③
②, ③代入①并排序，得
()2'
(pq)r M0M2M4 （主合取范式）
4（10分）判断下面推理是否正确
若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号.
()2'
解设p：今天是1号，q：明天是5号.
(pq)qp
（用主析取范式法）
(pq)qp
(pq)qp
((pq)q)p
()3'
qp
(pq)(pq) (pq)(pq)
()3'
m0m2m3
()2'
结果不含m1,故01时成假赋值，所以推理不正确
5（10分）用附加前提证明法构造证明
前提：pq, pr, rs结论：sq
证明
()2'
①s附加前提引入
()2'
②pr前提引入
()2'
③rs前提引入
()1'
④ps②③假言三段论
()1'
⑤p①④拒取式
()1'
⑥pq前提引入
()1'
⑦q⑤⑥析取三段论
二、第二部分
1（10分）在一阶逻辑中将下面命题符号化
有的无理数大于有的有理数
()3'
令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，
()3'
L(x,y)：x>y
()4'
x(F(x)y(G(y)L(x,y)))
xy (F (x )G (y )L (x ,y ))
2（10分）已知偏序集<A ,R >的哈斯图如下图所示,
试求出集合A 和关系R 的表达式。

解 A ={a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h } ()4'
R ={<b ,d >,<b ,e >,<b ,f >,<c ,d >,<c ,e >,<c ,f >,<d ,f >,<e ,f >,<g ,h >}∪I A
()6'
3（10分）设G ={e , a , b , c }是Klein 四元群. 给出G 的所有自同构.
解 设是G 的自同构, 则(e )=e , 且是双射.
因此满足这些条件的映射只有以下六个：
1：ee , aa , bb , cc
()1' 2：ee , aa , bc , cb
()1'
3：ee , ab , bc , ca ()1' 4：ee , ab , ba , cc ()1' 5：ee , ac , bb , ca ()1' 6：ee , ac , ba , cb ()1'
经验证，x ,y ∈G 都有
i (xy ) = i (x ) i (y ), i =1,2,…,6 上述1, 2,…, 6是G 上的全体自同构
()4'
4（10分）写出下图中L 1， L 2， L 3的原子。

解 L 1的原子是a ,
()3' L 2的原子是a , b , c , ()4' L 3的原子是a 和b . ()3'
5（10分）写出下图所示树产生的前缀码
解所示树产生的前缀码为{00, 10, 11, 011, 0100, 0101}
每错一处扣2分，扣到10分为止
一、第一部分
1（10分）写出下列公式的真值表
2（10分）用等值演算法判断下列公式的类型
((pq)(pq))r)
((pq)(pq))r)
()4'
(p(qq))r（分配律）
()4'
p1r（排中律）
()2'
pr（同一律）
由最后一步可知，不是矛盾式，也不是重言式，它是可满足式，其实101, 111是成真赋值，000, 010等是成假赋值.
3（10分）用主析取范式判两个公式是否等值
⑴p(qr) 与(pq)r
⑵p(qr) 与(pq)r
()3'
解p(qr) = m0m1m2m3m4m5m7
()3'
(pq)r = m0m1m2m3m4m5m7
()3'
(pq)r = m1m3m4m5m7
()1'
显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
4（10分）证明{}为联结词完备集
{, , }为完备集，而
()3'
p pp(pp) pp①
()3'
pq(pq) pq(pp)(qq) ②
()3'
pq(pq) (pq) (pq)(pq) ③
()1'
由①, ②, ③作为归纳基础，可知{}为完备集
5（10分）直接证明法构造证明
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq
证明
()2'
①rs前提引入。