第21讲-正弦定理和余弦定理(讲义版)

第21讲-正弦定理和余弦定理
一、 考情分析
1.掌握正弦定理、余弦定理.
2.能解决一些简单的三角形度量问题.
二、 知识梳理
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C ＝2R
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos__A ；
b 2＝
c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见变形
(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；
(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A
cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ；
cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ac ；
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
[微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；
(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .
三、 经典例题
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.
(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6
B.π3
C.5π6
D.2π3
(3)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2
4
，则C ＝( )
A.π2
B.π3
C.π4
D.π6 【解析】 (1)由正弦定理，得sin B ＝
b sin C
c ＝
6×323
＝22，
结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，
∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.
(3)因为a 2
＋b 2
－c 2
＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 2
4
，
所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝1
2ab sin C ，所以tan C ＝1.
又C ∈(0，π)，故C ＝π
4.
规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
考点二判断三角形的形状
【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c
b<cos A，则△ABC为()
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】(1)由c
b<cos A，得
sin C
sin B<cos A，
又B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以sin C<sin B cos A，
即sin(A＋B)<sin B cos A，
所以sin A cos B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π
2，
∴△ABC为直角三角形.
规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
考点三和三角形面积、周长有关的问题
角度1 与三角形面积有关的问题
【例3－1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 【解析】(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π
3.
由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π
3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝
4.
(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π6
12AC ·AD ＝1.
又△ABC 的面积为1
2×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.
角度2 与三角形周长有关的问题
【例3－2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，
可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π
3.
由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A
＝(b ＋c )2
－3bc ≥(b ＋c )2
－3⎝
⎛⎭
⎪⎫b ＋c 22
， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.
规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [方法技巧]
1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.
2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.
3.在△ABC 中，若a 2
＋b 2
<c 2
，由cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab <0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.
4.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.
另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.
5.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
四、 课时作业
1．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））在ABC 中，a =c =60A =︒，则C =（ ）. A ．30°
B ．45°
C ．45°或135°
D ．60°
2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，
60,1A b ==，则a =（ ）
A ．2
B
C ．D
3．（2020·浙江省高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，222c a b =+，则C =（ ） A ．60
B ．30
C ．60或120
D ．120
4．（2020·金华市江南中学高一期中）钝角三角形ABC 的面积是1
2
，AB=1，，则AC=( )
A ．5
B C ．2
D ．1
5．（2020·全国高三（文））在锐角ABC ∆中，若2C B =，则c
b
的范围（ ）
A ．
B ．
)
2
C ．()0,2
D ．
)
2
6．（2020·全国高三（文））在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．
2
3
B ．23
-
C ．13
-
D ．14
-
7．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为sin sin A B
a b
++等于( )
A ．
1
4
B ．
13
C D 8．（2020·四川省高三二模（文））ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin B A =，
3
C π
=
，则
c
a
的值为（ ）
A B C ．2 D ．
12
9．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高二月考（理））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知
sin cos 2A a B b c -=-，则A = A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 10．（2020·金华市江南中学高一期中）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若
a =60A ︒=,45B ︒=,则
b 的长为( )
A ．
2
B ．1
C
D ．2
11．（2020·浙江省高二学业考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若
::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ）
A ．1:1:4
B ．1:1:2
C ．1:1:3
D ．1:1:
12．（2020·威远中学校高一月考（文））在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( ) A ．
B ．
C ．
D ．1
13．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，
且满足222
65b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
2
2
B ．
5 C ．
25
D ．
25
14．（2020·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（ ）(π取近似值3.14)
A ．0.012
B ．0.052
C ．0.125
D ．0.235
15．（2020·全国高三（文））在ABC ∆中，若cos cos a c
A C b
++=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．C 为直角的直角三角形 B ．C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形
D ．A 为锐角的三角形
16．（2020·四川省成都外国语学校高一期中（文））在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（ ） A ．(2,23
B ．(22,23
C ．()
22,4
D ．()
23,4
17．（2020·四川省高一月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若,23
C c π
=
=，当
ABC 面积最大时，此时的ABC 为（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等边三角形
D ．不能对形状进行判断
18．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边
长为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
19．（2020·辽宁省高三月考（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足6a =，
c =2sin tan tan cos C
A B A
+=
，则ABC
S =（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．20．（2020·威远中学校高一月考（文））在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，
且22
1,41a S b c ==+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ）
A ．
2
π B ．2π
C
D 21．（2020·山东省高三其他）已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个： ①π
3A =
；②2cos 3
B =-；③ 7a =；④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求AB
C △的面积．
22．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在ABC ∆
中，已知a =
_______，)
2
2cos
1cos 2
A C
B +=，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，
且该题的答案为60A =︒，那么缺失的条件是什么呢？ 问题：（1）如何根据题目条件求出,B C 的大小？ （2）由求得的,B C 的值和正弦定理如何求出,b c 的值？
（3）破损处的条件应该用b 边的长度还是用c 边的长度，还是二者均可？为什么？
23．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且
22()b a a c c -=-.
（1）求角B .
（2）若 b =
2a c +的最大值.
24．（2020·山东省高三其他）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边试从下列①②条件中任选一个作为
已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答①sin sin sin sin A C A B
b a c
--=+；②2cos cos cos c C a B b A =+.
(1)求角C (2)若5c =
,11a b +=,求ABC ∆的面积.
25．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，
120BCD ︒∠=，2AC =.
（1）若15ABC ︒∠=，求DC ；
（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.。