高考数学大一轮复习第八章立体几何第三节直线、平面平

如果两个平行平面同时
性质 定理
和第三个平面_相__交__，那 么它们的_交__线__平行
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
面面平行的判定与性质
[典例] 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1
中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1
的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； [证明] ∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面．
第三节 直线、平面 平行的判定 与性质
本节主要包括 2 个知识点： 1.直线与平面平行的判定与性质； 2.平面与平面平行的判定与性质.
突破点(一) 直线与平面平行的判定与性质
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
平__面__外___一条直线与_此__ABC中， AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中 点．求证：BD∥平面FGH.
[证明] 如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH. 在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形DFCG为平行四边形， 所以点O为CD的中点．
突破点(二) 平面与平面平行的判定与性质
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言 符号语言
一个平面内的两条_相__交_ 判定 直__线__与另一个平面平 定理 行，则这两个平面平行
(线面平行⇒面面平行)
a∥β，b∥β， a∩b＝P，a⊂α， b⊂α⇒α∥β
判定 _内___的一条直线平行，则该
定理 直线与此平面平行(线线平
行⇒线面平行)
一条直线与一个平面平__行__，
性质 则过这条直线的任一平面
定理 与此平面的_交__线__与该直线
平行(线面平行⇒线线平行)
符号语言
l∥a，a⊂α， l⊄α⇒l∥α
l∥α，l⊂β， α∩β＝b⇒l∥
b
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神” 线面平行的判定
线面平行性质定理的应用 [例 2] 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17 .点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB， CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； [解] 证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂平面 PBC，且 平面 PBC∩平面 GEFH＝GH， 所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC， 因此 GH∥EF.
2．[考点一]如图，四棱锥 P-ABCD 中，AD ∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H 分别 为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点．求证： (1)AP∥平面 BEF；
证明：连接 EC， ∵AD∥BC，BC＝12AD，
∴BC 綊 AE，
∴四边形 ABCE 是平行四边形，∴O 为 AC 的中点． 又∵F 是 PC 的中点， ∴FO∥AP， FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF， ∴AP∥平面 BEF.
(2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积． [解] 如图，连接 AC，BD 交于点 O， BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK. 因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC，同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面 ABCD 内，所以 PO ⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD， 且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK，
[易错提醒] 在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一 定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的 条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行 时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交， 这时才有直线与交线平行．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点二]如图所示，四边形 ABCD 是平 行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G， 过 G 和 PA 作平面 PAHG 交平面 BDM 于 GH. 求证：PA∥GH.
证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O， 连接 MO， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴O 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点， ∴AP∥OM. 又 MO⊂平面 BMD，PA⊄平面 BMD，∴PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH， 且 PA⊂平面 PAHG，∴PA∥GH.
(2)GH∥平面 PAD. 证明：连接 FH，OH， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点， ∴FH∥PD，∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 AC 的中点，H 是 CD 的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H， ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
又因为点 H 为 BC 的中点， 所以 OH∥BD. 又因为 OH⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH， 所以 BD∥平面 FGH.
[方法技巧] 判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2，得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 从而 KB＝14DB＝12OB，即 K 为 OB 的中点． 再由 PO∥GK 得 GK＝12PO， 即 G 是 PB 的中点，且 GH＝12BC＝4. 由已知可得 OB＝4 2，PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. 故四边形 GEFH 的面积 S＝GH＋2 EF·GK＝4＋2 8×3＝18.