高考数学压轴专题2020-2021备战高考《矩阵与变换》易错题汇编及答案解析

【最新】数学高考《矩阵与变换》复习资料

一、15

1．已知圆C 经矩阵332a

M ⎡⎤

=⎢

⎥-⎣⎦

变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. 【答案】2a = 【解析】 【分析】

设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax y

y x y =+⎧⎨=-''⎩，代入计算得到答案.

【详解】

设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则33

2x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢

⎥⎢⎥'-⎣⎦

⎣

⎦⎣⎦

， 则332x ax y y x y

=+⎧⎨

=-''⎩，由(),x y ''在22

:13C x y '+=上，

可得22

(3)(32)13ax y x y ++-=，即(

)

2

22

92(36)1313a x a xy y ++-+=，

由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】

本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.

2．解关于x ，y ，z 的方程组()1213x my z x y z m x y z ⎧-+=⎪

++=⎨⎪-++=⎩

.

【答案】（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪

⎪

=⎨+⎪⎪-++=

⎪-++⎩

；（2）2m =或1m =-时，无

解. 【解析】 【分析】

先根据方程组中,,x y z 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，D z 下面对m 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】

()()21D m m =--+，()1x D m =-+，()2y D m =--，2243z D m m =-++.

所以（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪

⎪

=⎨+⎪⎪-++=

⎪-++⎩

；

（2）2m =或1m =-时，无解. 【点睛】

本题考查三元一次方程组的行列式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．

3．用行列式解方程组231

231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪

-+=-⎨⎪-=⎩

，并加以讨论.

【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪

⎪

=⎨+⎪

⎪=⎪+⎩

；

当5

2

a =-

时，方程组无解； 当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪

=+∈⎨⎪=⎩

【解析】 【分析】

分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】

()()21312

2510

1

D a a a a

-=-=-+--，()()113

32

11111

x D a a a a

--=--=-+-，()21313

210

1

1

y D a a --=-=---，()211123510

1

z D a a

-=--=-

当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪

⎪

=⎨+⎪

⎪=⎪+⎩；

当5

2a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧

⎪+-=-⎪

⎪--=-⎨⎪

⎪---=⎪⎩

，方程组无解；

当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪

-+=-⎨⎪-=⎩，

方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪

=+∈⎨⎪=⎩

【点睛】

本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.

4．关于ϕ的矩阵()cos sin sin cos A ϕϕϕϕϕ-⎛

⎫=

⎪⎝⎭

，列向量12x X x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭.

（1）已知11x =，23x =，45ϕ=︒，计算()A X ϕ，并指出该算式表示的意义； （2）把反比例函数1xy =的图象绕坐标原点逆时针旋转45︒，求得到曲线的方程；

（3）已知数列1

2

n n a =

，n *∈N ，猜想并计算()()()12n A a A a A a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 【答案】（1

）⎛

⎝，表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；（2）22

122y x -=； （3）cos1sin1sin1cos1-⎛⎫

⎪⎝⎭

.

【解析】 【分析】

（1）根据向量与矩阵的乘法可计算结果，由旋转变换的运算法则即可得到算式表示的意义；

（2

）由题意，得旋转变换矩阵cos sin

4

422sin cos 4

42

2A ππππ⎛⎛⎫--

⎪ ⎪

==

⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

，设xy =1上的任意点(

)

,P x y '

''

在变换矩阵A 作用下为(,)P x y ，确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程；

（3）分别求出n =1，n =2，n =3时矩阵相乘的结果，由此猜想算式关于n 的表达式，从而可求得所求算式的结果. 【详解】

（1）(

)cos sin 114

42233sin cos 4

42

2A X ππϕππ⎛

⎛⎫

--

⎪⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪===

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪

⎪⎝⎭⎝

⎭

， 该算式表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；

（2

）由题意，得旋转变换矩阵cos sin

4

422sin cos 4

42

2A ππππ⎛⎛⎫--

⎪ ⎪

==

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

， 设xy =1上的任意点(

)

,P x y '

''

在变换矩阵A 的作用下为(,)P x y ，

则x x y y ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪''⎭

，x x y y x y ⎧=⎪

⎪∴⎨⎪='''⎩

'⎪，

则2

2

22

222222y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫''''''-=+--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭， 将曲线xy =1绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，所得曲线的方程为22

122

y x -=；

（3）当n =1时，()111

cos sin

2

211sin cos 22n n n n

A a ⎛

⎫- ⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

； 当n =2时，()()2

2122

21111cos sin cos sin 2

2221111sin cos sin cos 2

22

2A a A a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪=

⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪

⎝⎭⎝⎭