2024年高考数学二轮复习专题三立体几何高考小题突破4 空间几何体的结构、表面积与体积
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2024
高考总复习
GAO KAO ZONG FU XI
高考小题突破4 空间几何体的结构、表面积与体积
考点一
空间几何体的结构特征
例 1(1)(2021 新高考Ⅰ,3)已知圆锥的底面半径为 2,其侧面展开图为一个半
圆,则该圆锥的母线长为( B )
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
解析 (1)设圆锥底面半径为r1,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2.
柱各棱长均相等,则该结构表面积为( A )
A.(34 3+8)dm2
C.(34 3+48)dm2
B.(34 3+44)dm2
D.(34 5+8)dm2
解析
1
由题可得,正三棱柱的底面积为2×2×2×sin
60°= 3 dm2,
正三棱柱的外露表面积为 2× 3+2×2×2=(8+2 3)dm2,
四棱台侧面梯形的高为 42 四棱台外露表面积为
则 AB=2 3- 2 ,PC= 2 + 1,
截面面积
1
S=2×2
3- 2
×
2
+1=
-( 2 -1)
故当 x2=1 时,截面面积取得最大值为 2.
2
+ 4,
考点二
空间几何体的表面积与体积
考向1 空间几何体的表面积
例2(1)(2023湖北武汉模拟)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工,该工件
底面半径为15cm,高为10cm,加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且
和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大,则r的
值为( D )
A. 10
B. 15
C.4
D.5
解析 由题知,大圆柱表面积为2×152π+10×2×15π=750π cm2,
小圆柱侧面积为(10×2πr)cm2,上下底面积为2πr2 cm2,
图①
1
由条件得,2πr1= ·
2πr2,则 r2=2r1=2
2
图②
2,故该圆锥的母线长为 2 2.故选 B.
(2)(2020全国Ⅰ,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状
可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥
一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长
C.50
D.60
解析 因为圆台上底面半径为5,下底面半径为10,母线长为l,
所以S=πl(10+5)=15πl=300π,解得l=20.
将圆台所在的圆锥展开如图所示,且设扇形的圆心为O.
线段M1A就是蚂蚁爬行的最短距离.
设OB=R,圆心角是α,则由题意知10π=αR,①
20π=α(20+R),②
π
所以加工后物件的表面积为750π+20πr-2πr2=800π-2π(r-5)2,
所以当r=5时,表面积最大.
(2)(2023甘肃兰州模拟)如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真
模型的屋顶部分,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合
体,已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱
6-2
2
2
=2 3 dm,
1
4×2×(2+6)×2
3=32 3 dm2,
故该结构表面积为 32 3+8+2 3=(34 3+8)dm2.
增分技巧空间几何体表面积的类型及求法
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图
求多面体的表面积形面积的方法求面体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何体特征入手,将其
α=2,R=20,
由①②解得
故 OM=OM1=30,OA1=OA=40,
则 M1A= 2 + 12 =50.
(2)(2023 湖南衡阳一中模拟)某圆锥高为 1,底面半径为 3,则过该圆锥顶点
的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( A )
A.2
B. 3
C.4
D.1
解析 如图,设截面为△PAB,C 为 AB 中点,OC=x,x∈[0, 3),
求旋转体的表面积 展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长
与对应侧面展开图中的边长关系
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,
求不规则几何体的
先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通
表面积
过求和或作差,求出所给几何体的表面积
对点训练2
(1)(2023湖北华中师大一附中模拟)已知圆台的侧面积与轴截面的面积之
展开前后哪些几何量发生变化,哪些不变.
对点训练1
(1)(2023湖南郴州三模)已知圆台的上、下底面圆半径分别为5和10,侧面积
为300π,AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上),M为AB的中点,
一只蚂蚁从点A出发,绕圆台侧面一周爬行到点M,则蚂蚁爬行所经路程的
最小值为( C )
A.30
B.40
∴△ABM 为等腰直角三角形,且 MA=MB=
2
.
2
∵∠CAM=∠BAM=45°,CA=BA,AM=AM,
∴△CAM≌△BAM,
2
∴MC=MB= ,∠CMA=∠BMA=90°,
2
即 CM⊥AA1.
的比值为( C )
A.
C.
5-1
4
5+1
4
B.
D.
5-1
2
5+1
2
解析 如图,设正四棱锥的高为 h,底面边长为 a,侧面三角形底边上的高为 h',
2
则有
ℎ'
解得
ℎ =
2
1
ℎ',
2
2
ℎ = ℎ' =
2
2
因此有
h'
2
,
5+1
.(负值舍去)
4
2
2
=
1
ah',化简得
2
4
ℎ' 2
ℎ'
-2
-1=0,
增分技巧几何体的表面展开图及其应用
(1)圆锥、圆柱的侧面展开图分别为扇形和矩形,圆锥、圆柱的底面周长分
别为扇形的弧长、矩形的一边长,据此建立圆锥、圆柱基本量的联系解决
问题.
(2)解决多面体或旋转体的表面上与长度有关的最值问题时,一般采用转化
法,即将表面展开化为平面图形,通过“化折为直”或“化曲为直”来解决,注意
比为 2 3π ,若上、下底面的半径分别为1和2,则母线长为____________.
2
3
解析 设圆台的母线长为l,高为h,则h2+(2-1)2=l2.
因为圆台上、下底面的半径分别为1和2,
所以圆台的侧面积 S1=π(1+2)l=3πl,轴截面面积
3π
由已知
3ℎ
=
2 3π
,化简得
3
(2+4)
S2= 2 ×h=3h,
3
32
h= l,所以 +1=l2,解得
2
4
l=2.
(2)如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为1的正三角形,侧棱长为2,
∠A1AB=∠A1AC=45°,则该斜三棱柱的侧面积是__________.
2+2 2
解析 过点 B 作 BM⊥AA1 于点 M,如图所示.
∵∠BAM=45°,BM⊥AA1,
高考总复习
GAO KAO ZONG FU XI
高考小题突破4 空间几何体的结构、表面积与体积
考点一
空间几何体的结构特征
例 1(1)(2021 新高考Ⅰ,3)已知圆锥的底面半径为 2,其侧面展开图为一个半
圆,则该圆锥的母线长为( B )
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
解析 (1)设圆锥底面半径为r1,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2.
柱各棱长均相等,则该结构表面积为( A )
A.(34 3+8)dm2
C.(34 3+48)dm2
B.(34 3+44)dm2
D.(34 5+8)dm2
解析
1
由题可得,正三棱柱的底面积为2×2×2×sin
60°= 3 dm2,
正三棱柱的外露表面积为 2× 3+2×2×2=(8+2 3)dm2,
四棱台侧面梯形的高为 42 四棱台外露表面积为
则 AB=2 3- 2 ,PC= 2 + 1,
截面面积
1
S=2×2
3- 2
×
2
+1=
-( 2 -1)
故当 x2=1 时,截面面积取得最大值为 2.
2
+ 4,
考点二
空间几何体的表面积与体积
考向1 空间几何体的表面积
例2(1)(2023湖北武汉模拟)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工,该工件
底面半径为15cm,高为10cm,加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且
和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大,则r的
值为( D )
A. 10
B. 15
C.4
D.5
解析 由题知,大圆柱表面积为2×152π+10×2×15π=750π cm2,
小圆柱侧面积为(10×2πr)cm2,上下底面积为2πr2 cm2,
图①
1
由条件得,2πr1= ·
2πr2,则 r2=2r1=2
2
图②
2,故该圆锥的母线长为 2 2.故选 B.
(2)(2020全国Ⅰ,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状
可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥
一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长
C.50
D.60
解析 因为圆台上底面半径为5,下底面半径为10,母线长为l,
所以S=πl(10+5)=15πl=300π,解得l=20.
将圆台所在的圆锥展开如图所示,且设扇形的圆心为O.
线段M1A就是蚂蚁爬行的最短距离.
设OB=R,圆心角是α,则由题意知10π=αR,①
20π=α(20+R),②
π
所以加工后物件的表面积为750π+20πr-2πr2=800π-2π(r-5)2,
所以当r=5时,表面积最大.
(2)(2023甘肃兰州模拟)如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真
模型的屋顶部分,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合
体,已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱
6-2
2
2
=2 3 dm,
1
4×2×(2+6)×2
3=32 3 dm2,
故该结构表面积为 32 3+8+2 3=(34 3+8)dm2.
增分技巧空间几何体表面积的类型及求法
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图
求多面体的表面积形面积的方法求面体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何体特征入手,将其
α=2,R=20,
由①②解得
故 OM=OM1=30,OA1=OA=40,
则 M1A= 2 + 12 =50.
(2)(2023 湖南衡阳一中模拟)某圆锥高为 1,底面半径为 3,则过该圆锥顶点
的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( A )
A.2
B. 3
C.4
D.1
解析 如图,设截面为△PAB,C 为 AB 中点,OC=x,x∈[0, 3),
求旋转体的表面积 展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长
与对应侧面展开图中的边长关系
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,
求不规则几何体的
先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通
表面积
过求和或作差,求出所给几何体的表面积
对点训练2
(1)(2023湖北华中师大一附中模拟)已知圆台的侧面积与轴截面的面积之
展开前后哪些几何量发生变化,哪些不变.
对点训练1
(1)(2023湖南郴州三模)已知圆台的上、下底面圆半径分别为5和10,侧面积
为300π,AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上),M为AB的中点,
一只蚂蚁从点A出发,绕圆台侧面一周爬行到点M,则蚂蚁爬行所经路程的
最小值为( C )
A.30
B.40
∴△ABM 为等腰直角三角形,且 MA=MB=
2
.
2
∵∠CAM=∠BAM=45°,CA=BA,AM=AM,
∴△CAM≌△BAM,
2
∴MC=MB= ,∠CMA=∠BMA=90°,
2
即 CM⊥AA1.
的比值为( C )
A.
C.
5-1
4
5+1
4
B.
D.
5-1
2
5+1
2
解析 如图,设正四棱锥的高为 h,底面边长为 a,侧面三角形底边上的高为 h',
2
则有
ℎ'
解得
ℎ =
2
1
ℎ',
2
2
ℎ = ℎ' =
2
2
因此有
h'
2
,
5+1
.(负值舍去)
4
2
2
=
1
ah',化简得
2
4
ℎ' 2
ℎ'
-2
-1=0,
增分技巧几何体的表面展开图及其应用
(1)圆锥、圆柱的侧面展开图分别为扇形和矩形,圆锥、圆柱的底面周长分
别为扇形的弧长、矩形的一边长,据此建立圆锥、圆柱基本量的联系解决
问题.
(2)解决多面体或旋转体的表面上与长度有关的最值问题时,一般采用转化
法,即将表面展开化为平面图形,通过“化折为直”或“化曲为直”来解决,注意
比为 2 3π ,若上、下底面的半径分别为1和2,则母线长为____________.
2
3
解析 设圆台的母线长为l,高为h,则h2+(2-1)2=l2.
因为圆台上、下底面的半径分别为1和2,
所以圆台的侧面积 S1=π(1+2)l=3πl,轴截面面积
3π
由已知
3ℎ
=
2 3π
,化简得
3
(2+4)
S2= 2 ×h=3h,
3
32
h= l,所以 +1=l2,解得
2
4
l=2.
(2)如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为1的正三角形,侧棱长为2,
∠A1AB=∠A1AC=45°,则该斜三棱柱的侧面积是__________.
2+2 2
解析 过点 B 作 BM⊥AA1 于点 M,如图所示.
∵∠BAM=45°,BM⊥AA1,