高等数学同济第七版上册课后习题答案

习题1-1
1.求下列函数的自然定义域：
(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);
y y x y y x y x ====-=
+2
1
1(2);1(4);(6)tan(1);1
(8)arctan ;
(10).
x
e y x
y y x y x
y e =-=
=+=+=解：
2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2
,3⎡⎫-+∞⎪
⎢⎣⎭
2(2)101,
x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)
-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1
x ≤即定义域为
[)(]
1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)
0,+∞(6)1(),
2
x k k Z π
π+≠+
∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫
∈≠+-∈⎨⎬
⎩
⎭且
(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]
2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)
-∞⋃+∞2.下列各题中，函数
()f x 和()g x
是否相同？为什么？
222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x
========-解：
（1）不同，因为定义域不同
（2）不同，因为对应法则不同，,0
(),0
x x g x x x ≥⎧==⎨
-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同
3.设sin ,3
()0,3x x x x πϕπ⎧
<⎪⎪=⎨
⎪≥⎪⎩
求(
),((),(2),644
π
ππ
ϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形
解：
1
()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,4
4ππ
ππϕϕπ
π
ϕϕ====-=-=
-=()y x ϕ=的图形如图11-
所示
4.试证下列函数在指定区间内的单调性：
(1);
1(2)ln ,(0,)
x
y x
y x x =-=++∞证明：
1
(1)()1,(,1)
11x y f x x x
===-+-∞--设121x x <<，因为
21
2112()()0
(1)(1)
x x f x f x x x --=>--所以
21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)
y f x x x ==++∞设120x x <
<，因为
2
21211
()()ln 0
x f x f x x x x -=-+>所以
21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加
5.设
()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增
加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加
证明：设120l x x -<<<，则210x x l
<-<-<由
()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0
f x f x --->即
()f x 在(,0)l -内也单调增加
6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。

证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数
（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明：
(1)设12(),()f x f x 均为偶数，则1122()(),()()
f x f x f x f x -=-=令12()()()
F x f x f x =
+于是1212()()()()()()
F x f x f x f x f x F x -=
-+-=+=故()F x 为偶函数
设12(),()g x g x 均为奇函数，
则1122()(),()()g x g x g x g x -=--=-令12()()()
G x g x g x =
+于是1212()()()()()()
G x g x g x g x g x G x -=
-+-=-+-=-故()G x 为奇函数
(2)设12(),()f x f x 均为偶数，则1122()(),()()f x f x f x f x -=-=令12()()()
F x f x f x =
⋅于是1212()()()()()()
F x f x f x f x f x F x -=
-⋅-==故()F x 为偶函数
设12(),()g x g x 均为奇函数，则
1122()(),()()
g x g x g x g x -=--=-令12()()()
G x g x g x =⋅于是
121212()()()()()()()()
G x g x g x g x g x g x g x G x -=-⋅-=-⋅-==故()G x 为偶函数设()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，则
()(),()()
f x f x
g x g x -=-=-令()()()
H x f x g x =⋅于是
[]()()()
()()()()()
H x f x g x f x g x f x g x H x -=-⋅-=-=-⋅=-故()H x 为奇函数
7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？
222
2
(1)(1);
1(3);1(5)sin cos 1;y x x x y x y x x =--=+=-+23(2)3;
(4)(1)(1);
(6)2
x x
y x x y x x x a a y -=-=-+-=
解：
（1）因为2
222
()()1()(1)()f x x x x x f x ⎡⎤-=---=-=⎣⎦
所以()f x 为偶函数
（2）因为
2323
()3()()3f x x x x x -=---=+()(),f x f x -≠且()()
f x f x -≠-所以
()f x 既非偶函数又非奇函数
（3）因为22
22
1()1()()1()1x x f x f x x x
----===+-+所以
()f x 为偶函数
（4）因为()(1)(1)()
f x x x x f x -=-+-=-所以
()f x 奇函数
（5）因为
()sin()cos()1sin cos 1,
f x x x x x -=---+=--+()()f x f x -≠且()()
f x f x -≠-所以
()f x 既非偶函数又非奇函数
（6）
因为()()
2
x x
a a f x f x -+-==所以
()f x 为偶函数
8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期
2(1)cos(2);(3)1sin ;(5)sin y x y x y x
π=-=+=(2)cos 4;(4)cos ;
y x y x x ==解：
（1）是周期函数，周期2l π=（2）是周期函数，周期2
l
π
=
（3）是周期函数，周期2
l =（4）不是周期函数（5）是周期函数，周期l π
=
9.求下列函数的反函数
(1)(3)(0);(5)1ln(2);y ax b
y ad bc cx d
y x =+=
-≠+=++1(2);
1(4)2sin 3();662(6)21
x
x
x y x
y x x y ππ-=+=-≤≤=+解：
（1）由y
=31x y =-，既反函数为31
y x =-（2）由11x y x -=+解得11y
x y -=+，既反函数为11x y x -=
+（3）由ax b y cx d +=+解得dy b
x cy a -+=-，既反函数为dx b y cx a
-+=
-
（4）由2sin 3()66y x x ππ
=-≤≤解得1arcsin 32y
x =，
既反函数为1
arcsin
32
x y =（5）由1ln(2)y x =++解得log 1y
x y
=-，
既反函数为log
1x
y x
=-（6）由221x x y =+解得2log 1y
x y
=-，
既反函数为2
log 1x
y x
=-10.设函数()f x 在数集X 上有定义，试证：函数()f x 在X 上有界
的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界解：设
()f x 在X 上有界，既存在0M >，使得
(),,
f x M x X ≤∈故(),,
M f x M x X -≤≤∈既
()f x X 上有上界M ，下界M
-反之，设
()f x 在X 上有上界1K ，下界2K ，即
21(),K f x K x X
≤≤∈取{}12max ,M
K K =，则有
(),f x M x X
≤∈即
()f x 在X 上有界
11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x
的函数值
2
121
2212212212(1),sin ,,;
6
3(2)sin ,2,,;
84
(3)1,1,2;(4),,0,1;(5),,1,1
u x y u u x x x y u u x x x y u x x x y e u x x x y u u e x x π
π
π
π
====
===
==+==========-
解：
2
2
12121212222
1213
(1)sin ,,44(2)sin 2,,1
(3)(4),1,(5),,x x y x y y y x y y y y y y e y y e y e y e y e -===
============12.设的定义域[]0,1D
=，求下列各函数的定义域：
2(1)();
(3)()(0);f x f x a a +>(2)(sin )(4)()()(0)
f x f x a f x a a ++->解：
[]
[][]
2(1)011,1(2)0sin 12,(21),(3)01,1x x x x n n n Z x a x a a ππ≤≤⇒∈-≤≤⇒∈+∈≤+≤⇒∈--01(4)01
x a x a ≤+≤⎧⇒⎨≤-≤⎩当102a <≤时，[],1x a a ∈-；
当1
2
a >时定义域为∅
13.设
1,1()0,1,()1,1x
x f x x g x e
x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩
求
[]()f g x 和[]()g f x ，并作出这两个函数的图形
解：
[]1,0
()()0,0
1,0x
x f g x f e x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩
[]()
1,1()1,1,1f x e x g f x e x e x -⎧<⎪
===⎨⎪>⎩
[]()f g x 与[]()g f x 的图形依次如图12-，图13-所示
14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40 = （图1-4）.当过水
断面ABCD 的面积为定值0S 时，求湿周()
L L AB BC CD =++与水深h
之间的函数关系式，并指明其定义域
解：
sin 40h
AB CD ==
又01(2cot 40)2S h BC BC h ⎡⎤=++⋅⎣
⎦
得0
cot 40S BC h h
=-⋅ 所以02cos40sin 40S L h h -=+
而0h >且0
cot 400S h h
-⋅> ，
因此湿周函数的定义域为15.设xOy 平面上有正方形}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤及直
线:(0)l x y t t +
=≥若()S t 表示正方形D 位于直线左下方部分的
面积，试求()S t 与t 之间的函数关系解：
当01t ≤≤时，2
1()2S t t
=当12t <≤时，2
211()1(2)21
22
S t t t t =--=-+-当2t >时，()S t 1
=故22
1,012
121,122
1,2t t t t t t ⎧
≤≤⎪⎪
⎪-+-<≤⎨⎪>⎪
⎪⎩
16.求联系华氏温度（用F 表示）和摄氏温度（用C 表示）的转换公式，并求（1）90
F
的等价摄氏温度和5C - 的等价华氏温度；
（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？解：设,F
mC b =+其中,m b 均为常数
因为32
F =
相当于0,212
C F ==
相当于100
C =
，
所以21232
32, 1.8100
b m -==
=故 1.832F C =+或5
(32)
9C F =-5(1)90,(32)32.29
5, 1.8(5)3223F C F C F ==-≈=-=⨯-+=
(2)设温度值t 符合题意，则有1.82,40
t t t =+=-即华氏40-
恰好也是摄氏40
-
17.已知Rt ABC 中，直角边AC BC ，的长度分别为2015，，动点P 从C 出发，沿三角形边界按C
B A →→方向移动；动点Q 从
C 出发，沿三角边界按C A B →→方向移动，移动到两动点相遇
时为止，且点Q 移动的速度是点P 移动的速度的2倍.设动点P 移动的距离为x ，CPQ 的面积为y ，试求y 与x 之间的函数关系.解：因为20,15,AC
BC ==
所以,25
AB ==由202152025<⋅<+可知，点,P Q 在斜边AB 上相遇
令2152025x x +=++得20x =，即当20x =时，点,P Q 相遇，因此所求函数的定义域为(0,20)（1）当010x <<时，点P 在CB 上，点Q 在CA 上（图1-5）由,2CP
x CQ x ==，得2
y x =（2）当1015x ≤
≤时点P 在CB 上点Q 在AB 上（图1-6）
,220
CP x AQ x ==-设点Q 到BC 的距离为h ，则
452,202525
BQ h x -==得4
(452)5h x =-，故
2
124(452)18255
y xh x x x x
==-=-+（3）当1520x <<时点,P Q 都在AB 上（图
1-7）
15,220,603BP x AQ x PQ x
=-=-=-设点C 到AB 的距离为h '，则
152012
25h ⋅'==得118360
2
y PQ h x '=⋅=-+综上可得
22
,010418,1015518360,1520
x x x x x x x ⎧<<⎪
⎪-+≤≤⎨⎪-+<<⎪⎩
18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测2020年的世界人口
解：
1.1，于是由表中第3列，猜想2008年后世界人口的年增长率是00
在2008年后的第t年，世界人口将是
p t=⨯（百万）
()6708.2(1.011)t
t=，于是
2020年对应12
12
(12)6708.2(1.011)7649.3
p=⨯≈（百万）≈亿
即推测2020年的世界人口约为76亿
习题1-2
1.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察
{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：
{}21(1);21(3)2;
(5)(1);1(7);
n n n n n n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
⎧
⎫+⎨⎬⎩⎭-⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭1(2)(1);
1(4);121(6);31(8)(1)1n n n n
n n n n n ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭-⎧⎫⎨⎬+⎩⎭⎧⎫-⎨⎬⎩⎭+⎧⎫⎡⎤-+⎨⎬⎣⎦⎩⎭
解:
(1)收敛，2
lim 0
n
n →=(2)收敛，1
lim(1)
0n
n n
→∞-=(3)收敛，21
lim(2)2
n n
→∞+=(4)收敛，1
lim
11n n n →∞-=+(5){}
(1)n
n -发散
(6)收敛，21
lim 0
3
n n →∞-=(7)1n n ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭发散
（8)1(1)1n
n n +⎧⎫⎡⎤-+⎨⎬⎣⎦⎩⎭
发散
2.(1)数列的有界性是数列收敛的什么条件？(2)无界数列是否一定收敛？(3)有界数列是否一定收敛？解：(1)必要条件(2)一定发散
(3)未必一定发散，如数列
{}(1)n
-有界，但它是发散的
3.下列关于数列的极限是的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例。

（1）对于任意给定的0ε
>，存在N ∈N ，当n N >时，不等式n x a ε-<成立
（2）对于任意给定的0ε>，存在N ∈N ，当n N >时，有无穷多
项n x ，使不等式
n x a ε-<成立
（3）对于任意给定的0ε>，存在N ∈N ，当n N >时，
不等式
n x a ε-<成立，其中c 为某个常数
（4）对于任意给定的m ∈N ，存在N ∈N ，当n N >
时，
不等式1
n x a m
-<成立
解：
（1）错误，如对数列1(1),1n
a n ⎧⎫-+=⎨⎬⎩
⎭，对任给的0ε>()ε设>1，
存在1
N ε=，当n N >时，
11(1)1n
n n ε-+-≤<但1(1)n
n ⎧⎫-+⎨⎬⎩
⎭的极限不存在
（2）错误，如对数列,21,
,11
1,2,n n n k x k N a n k n
+=-⎧⎪
∈=⎨-=⎪⎩，对任给的0ε>()ε设>1，存在1
N ε
=，当n N >且n 为偶数时时，
1
n x a n
ε-=<成立，但n x 的极限不存在
（3）正确，对任给的0ε>，取1
0c ε>，按假设，存在N ∈N ，
当n N >时，不等式1
n x a c c
εε-<⋅=成立
（4）正确，对任给的0ε>，取m ∈N ，使1
m ε<，按假设，
存在N ∈N ，当n N >时，不等式1
n x a m ε-<<成立4.设数列{}n x 的一般项1cos 22
n n x π
=，问lim n n x →∞=？求出，使
当n N >时，n x 与其极限之差的绝对值小于正数ε当0.001ε=时，
求出数N 解：lim 0n
n x →∞
=证明如下
因为11
0cos ,
2n n x n
n π-=≤
要使0n x ε-<，只要1n ε<，即1
n ε
>，所以0
ε∀>（不妨设1ε<），取1N ε⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有0n x ε-<当0.001ε=时，取11000N ε⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，即若0.001ε=，只要
1000n >，就有00.001
n x -<
5.根据数列极限的定义证明：
(1)lim 0;
(3)lim
1;n n →∞
→∞==00
313
(2)lim ;212
(4)lim0.99991n n n n n →→+=+⋅⋅⋅=
个
证明：（1）因为要使
2211
0n n ε-=<
，只要n >0
ε∀>（不妨设1ε<）
取N =，则当n N >时，就有210n ε-<，即21lim 0n n
→∞=（2）因为
313112122(21)4n n n n +-=<++，要使313
212
n n ε+-<+，
只要14n ε<，即1
4n ε>
，所以0ε∀>（不妨设1
4
ε<），取
14N ε⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则当n N >时，就有
313212n n ε+-<+，即313
lim 212
n n n →∞+=+（3）当0a =时，所给数列为常数列，
显然有此结论，以下设0a ≠，
因为
22
2
12a n
-==<
1ε-<只要222a n ε<，
即n >，所以0
ε∀>（不妨设2
12a ε<），
取N =，则当n N
>时，就
有
1ε-<
，即lim
1n →∞=（4）因为1
0.9999110n ⋅⋅⋅-= 个要使0.99991n ε⋅⋅⋅-< 个
，只要1
10
n
ε<即1
lg
n ε
>，所以0ε∀>（不妨设1ε<）
，取1lg N ε⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，即当n N
>时，就有
0.99991n ε⋅⋅⋅-<
个
，即
lim 0.99991n n →∞
⋅⋅⋅=
个
6.若lim n
n u a →∞
=，证明lim n n u a →∞
=，并举例说明：如果数列{}
n x 有极限，但数列{}n x 未必有极限
证：因为lim n
n u a →∞
=，
所以0ε∀>，N ∃，当n N >时，有n u a ε-<，从而有n n u a u a ε
-≤-<故lim
n n u a
→∞
=但由lim
n n u a →∞
=，并不能推得lim n n u a →∞
=，例如，考虑数列{}(1)n
-，
虽然lim
(1)1n n →∞
-=，但{}(1)n -没有极限
7.设数列
{}n x 有界，又lim
0n n y →∞=，证明：lim 0n n n x y →∞
=证：因数列{}n x 有界，故0M ∃>，使得对一切n 有
{},0n M ε≤∀>，由于lim 0n n y →∞
=，故对10,,
N M
ε
ε=>∃当n N >
时，就有1n y M
ε
ε<=
cone 从而有
0n n n n x y x y M M
ε
ε
-=⋅<⋅
=所以
lim 0
n n n x y →∞
=8.对于数列{}n x ，若212(),()k k x a k x a k -→→∞→→∞，
证明：()
n x a n →→∞证：
因为2()k x a k →→∞，所以10,k ε∀>∃当1k k >时，
有
21k x a ε--<；又因为2()k x a k →→∞，所以对上述0ε>，
当2k k >时，有2k x a ε
-<记{}12max ,K k k =，
取2N K =，则当n N >时，若21n k =-，则
1211
2
n k k K k x a x a ε
->+>⇒-=-<若2n k =，则22n k k K k x a x a ε
>≥⇒-=-<从而只要n N >
，就有n x a ε-<，即lim n n x a
→∞
=
习题1-3
1.对图1-8所示的函数()f x ，求下列极限，如极限不存在，说明理
由
2
1
(1)lim ()
(2)lim ()
(3)lim ()
x x x f x f x f x →-→-→解：
2
1
(1)lim ()0
(2)lim ()1
x x f x f x →-→-==-0
(3)lim ()x f x →不存在，因为(0)(0)
f f +-≠2.如图1-9
所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
(1)lim ()x f x →不存在
1
(2)lim ()0
(3)lim ()1
(4)lim ()0
x x x f x f x f x →→→===
1
x →(6)对每个0(1,1)x ∈-，0
lim ()x x f x →存在
解：
（1）错，0
lim
()x f x →存在与否，与(0)f 的值无关，
事实上，0
lim
()0
x f x →=（2）对，因为
(0)(0)0
f f +-==（3）错，0
lim ()x f x →的值与(0)f 的值无关
（4）错，
(1)0f +=，但(1)1f -=-，故1
lim ()x f x →不存在
（5）对，因为(1)(1)
f f +-≠（6）对
3.对图1-10
所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的
1
(1)lim ()1
x f x +→-=1
(2)lim ()x f x -→-不存在
1
(3)lim ()0
(4)lim ()1
(5)lim ()1x x x f x f x f x -
→→→===
1
x +
→2
2
(7)lim ()0
(8)lim ()0
x x f x f x →→==解：（1）对
（2）对，因为当1x <-，()f x 无定义
（3）对，因为
(0)(0)0
f f +-==（4）错，0
lim ()x f x →的值与(0)f 的值无关
（5）对（6）对（7）对（8）错
4.求(),()x x
f x x x
x ϕ==
，当0x →时的左右极限，并说明它们
在0x →时的极限是否存在解：
000lim ()lim 1,lim ()lim 1x x x x x
x f x f x x x +
+--→→→→====因为0
lim ()1lim (),x x f x f x +
-→→==所以0
lim ()1x f x →=0
00000lim ()lim lim 1,lim ()lim lim 1x x x x x x x x x x
x x x x x x ϕϕ+
++---
→→→→→→-======-因为0
lim ()lim ()x x x x ϕϕ+
-→→≠所以0
lim ()x x ϕ→不存在
5.根据函数极限的定义证明：
3
2
2(1)lim(31)8;
4(3)lim 4;2x x x x x →→--=-=-+2
2
1
2
(2)lim(52)12;
14(4)lim 221
x x x x x →→-+=-=+解：（1）因为
(31)83933,
x x x --=-=-要使(31)8
x ε--<，只要33x ε
-<
，所以0ε∀>，取3ε
δ=
，
则当03x δ<-<时，就有(31)8x ε--<，即3
lim(31)8
x x →-=（2）因为
(52)1251052,
x x x --=-=-要使(52)12x ε
+-<只要
25
x ε
-<
，所以0ε
∀>，
取5
ε
δ=，则当02x δ<-<时，
就有(52)12x ε
+-<即2
lim(52)12
x x →+=（3）因为2,2,
x x
→-≠-2
4
(4)2(4)2(2),2
x x x x x ---=---=+=--+要使24
(4),2
x x ε---<+只要
(2)x ε--<，所以0ε∀>，取εδ=，
则当0(2)x δ<--<时，
就有
24
(4),2
x x ε---<+即2
24lim 42
x x x →--=-+（4）因为11
,22
x x →-≠-
214121222()
21
2x x x x --=--=--+要使
2
142,21
x x ε--<+只要1()22x ε--<，所以0ε∀>，取2ε
δ=，
则当1
0()2
x δ<--<时，
就有
2
142,21x x ε--<+即2
12
14lim 2
21x x x →-
-=+
6.根据函数定义证明：
3311(1)lim ;(2)lim 022x x x x →∞→+∞+==
证：
（1）因为333
111
222x x
x +-=，要使331122x x ε+-<，只要
3
12x
ε<
，即
x >0ε∀>
，取X =，则
当x X >时，就有331122x x ε+-<，即3311
lim 22
x x x →∞+=（2）
0-≤，
0ε-<
ε<，即21
x ε>，所以0ε∀>，
取21
X ε=，则当x X >时，
0ε-<，
即lim 0
x →+∞=7.当2x →时，24y
x =-问δ等于多少，使当2x δ
-<时，
40.001y -<？
解：由于2,20x x →-→，不妨设21x -<，即13
x <<要使
2422520.001x x x x -=+-<-<，只要
0.001
20.0002
5
x -<=
取0.0002δ
=，则当02x δ<-<时，就有240.001
x -<8.当x →∞时，221
13
x y x -=→+问X 等于多少，
使当x X >时，10.01y -<？
解：因为
22
22144
133x x x x --=<++，要使22110.013
x x --<+，只要24
0.01x
<，即20x >，取20X =，
则当x X >时，就有10.01
y -<9.证明函数()f x x =当0x →时极限为零
证:因为
00x x x -==-，所以0ε∀>，取δε=，
则当00x δ<
-<时，就有0x ε-<，即0
lim 0
x →=10.证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都
等于A ，则lim ()x f x A
→∞
=证：因为lim ()x f x A →+∞
=，所以10,0X ε∀>∃>，当1x X >时，就有
()f x A ε
-<又因为
lim ()x f x A →-∞
=，
所以对上面的20,0X ε>∃>，当2x X <-时，就有()f x A ε-<，取12
max ,X X X =，则
x X >当，
即x X <
或x X <-时，就有()f x A ε-<即lim ()x f x A
→∞
=
11.根据函数极限的定义证明:函数
()f x 当0x x →时极限存在的充
分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等证：
必要性，若0
lim ()x x f x A →=，则0,0εδ∀>∃>当00x x δ
<-<时，就有
()f x A ε
-<特别,当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，即0
lim ()x x f x A +
→=；当00x x δ<
-<时，有()f x A ε-<，即0
lim ()x x f x A
-→=充分性，若0
lim ()lim ()x x x x f x A f x +-→→==，则10,0εδ∀>∃>，
当010x x δ<-<时，就有()f x A ε-<；又20δ∃>当00x x δ<
-<时，就有()f x A ε-<即0
lim ()x x f x A
→=12.试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明解：
局部有界性定理，如果lim
()x f x A →∞
=，那么存在常数0M >和
0X >，使得当x X >时，有()f x M
≤证明如下：因为lim ()x f x A →∞
=，所以对10,0X ε=>∃>，
当
x X >时，就有()1f x A -<，从而()()1f x f x A A A
≤-+<+取1M
A =+，即有当x X >时，()f x M
≤
习题1-4
1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。

解：
不一定，例如()2x x α=与()3x x β=，
都是当0x →时的无穷小，但()2
()3
x x αβ=却不是当0x →时的无穷小2.根据定义证明：
29
(1)3x y x -=
+为当3x →时的无穷小1
(2)sin y x x
=为当0x →时的无穷小
证：（1）因为
29
33
x x x -=-+，所以0ε∀>，取δε=，
则当03x δ<
-<时，就有
29
3
x x ε-<+即293
x x -+为当3x →时的无穷小
（2）
因为1
sin x x x
≤，所以0ε∀>，取δε=，则当0x δ<<时，
就有1
sin x x
ε
<即1
sin x x
为当0x →时的无穷小
3.根据定义证明：函数12x
y x +=为当0x →时的无穷大，问x 应满足什么条件，能使4
10y >？
证：
因为121122x x x x +=+≥-，要使12x M x
+>，
只要
12M x ->，即12x M <+，所以0M ∀>，取12
M δ=+，则当00x δ<-<时，就有12x M
x
+>即12x x
+为当0x →时的无穷大
令4
10M =，取41102
δ=+当4
100102x <-<+时，就能使
41210x
x
+>4.求下列极限并说明理由
2
0211(1)lim ;(2)lim 1x x x x x
x →∞→+--
解：
211(1)lim lim(2)2x x x x x
→∞→∞+=+=理由：由定理2，1
x 为当x →∞时的无穷小；
再由定理11
lim(2)2x x
→∞+=，
2
00
1(2)lim lim(1)11x x x x x →→-=+=-理由：由定理1，0
lim(1)1
x x →+
=5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表：
6.函数cos y x =在(,)-∞+∞内是否有界？这个函数是否
为x →+∞时的无穷小？为什么？解：因为0M ∀>，总有0(,)x M ∈+∞，使0cos 1x =，
从而000cos y
x x x M ==>，
所以cos y x =在(,)-∞+∞内无界又因为0,0M X ∀>>，总有0(,)x X ∈+∞，使0cos 0x =，
从而00cos 0y
x x M ==<，所以()cos y f x x x ==，
不是当x →+∞时的无穷大
7.证明：函数11
sin y x x
=在区间(]0,1内无界，但这函数不是
0x +→时的无穷大
证：
先证函数11
sin y x x
=在区间(]0,1内无界
因为0M ∀>在(]0,1中总可找到点0x ，使0()f x M >，例如，
可取0
1()22
x k N k π
π=
∈+
，则0()22
f x k π
π=+
，当k 充分大
时，可使0()f x M >，所以11
sin y x
x =在(]0,1内无界
再证函数不是0x +
→时的无穷大
因为0,0M
δ∀>>总可找到点0x ，
使00x δ<<，但0()f x M >，例如，可取01
()2x k N k π
+=∈，当k 充分大时，00x δ<<但0()2sin 20f x k k M ππ==<，所以11sin y x x =不是0x +
→时的无穷大
8.求函数2
4
()2f x x
-的图形渐近线解：因为lim
()0x f x →∞
=，所以0y =是函数图形的水平渐近线
因为
(),()x x f x f x =∞=∞
，所以x =
及x 都是函数图形的铅直渐近线
习题1-5
1.计算下列极限；
22221220222245(1)lim ;321(3)lim ;1()(5)lim ;1(7)lim ;2168
(9)lim ;54x x h x x x x x x x x h x h x x x x x x x →→→→∞→+--+-+-----+-
+2
232
20224223(2);1
42(4)lim ;3211(6)lim(2(8)lim ;31
11(10)lim(1)(2x x x x x x x x x x x x x x
x x
x x x x →→∞→∞→∞-+-++-++-++-11
1(11)lim(1);
242
n n →∞+++⋅⋅⋅+2123(1)
(12)lim ;n n n
→∞+++⋅⋅⋅+-331(1)(2)(3)
(13)lim ;513(14)lim(11n x n n n n
x x
→∞→+++---
解：
22
25(1)lim 03x x x x →+==-
2
(2)04
x ==
221121
1(3)lim lim 011x x x x x x x →→-+-==-+23
2
200
lim(421)
421
(4)lim 32lim(32)
2
x x x x x x x x x x
x →→→-+-+==++22
0()(5)lim lim(2)2h h x h x x h x h →→∞+-=+=221111(6)lim(2)lim 2lim lim 2x x x x x x
x x →∞→∞→∞→∞-+=--=222
21
lim(1)
11(7)lim 11
212lim(2)x x x x x x x x x
→∞→∞→∞--==----223422411lim()
(8)lim 031
31lim(1)x x x x x x x x x x x
→∞→∞→∞++==-+-+224468
(4)(2)2(9)lim lim
54(4)(1)3
x x x x x x x x x x →→-+--==-+--211
(10)lim(1)122
x x
x →∞+-=⋅=1111
(11)lim(1)lim 2(12
24221n n n n →∞→∞+++⋅⋅⋅+=-=+2123(1)111
(12)lim lim (1)22n n n n
n →∞→∞+++⋅⋅⋅+-=-=
33211(1)(2)(3)11231
(13)lim lim (1)(1)(1)55513(1)(2)
(14)lim()lim 111(1)(1)n n x x n n n n
n n n x x x x
x x x →∞→∞→→+++=+++=-+-==----++2.计算下列极限:
3222232(1)lim ;(2)(2)lim ;21
(3)lim(21)
x x x x x x x x x x →→∞→∞
+-+-+解：
（1）因为，2
322(2)lim 02x x x x
→-=+所以32222lim (2)
x x x x →+=∞-（2）因为222121lim lim()0x x x x x x
→∞→∞+=+=所以2lim 21
x x x →∞=∞
+（3）因为3323
11lim lim 011212x x x x x x x
→∞→∞==-+-+
所以3
lim(21)x x
x →∞
-+=∞
3.计算下列极限：
201
(1)lim sin ;x x x
→arctan (2)lim x x
x
→∞解：
（1）因为2
1
0(0),sin 1x x x
→→≤，
所以2
01
lim sin 0
x x x
→=（2）因为，10(),arctan 2x x x
→→∞<
所以arctan lim 0
x x
x
→∞=4.设
{}{}{},,a b c 均为非负数列，
且lim 0,lim 1,lim n
n n n n n a b c →∞
→∞
→∞
===∞，下列陈述中哪些是对的，哪
些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例
(1),;n n a b n N >∈(2),;
n n b c n N +<∈(3)lim n n n a c →∞
不存在；
(4)lim n n n b c →∞
不存在
解：
（1）错，例如
1,,,
1
n n n
a b n N n n +==∈+当
1
n =时，
11112
a b =>=故对任意n N +∈，n n a b <不成立（2）错，例如,(1),,1
n n n n b c n N n +==-∈+当n 为奇数时，n n b c <不成立（3）错，例如21,,,lim 0n n n n n a c n n N a c n
+→∞==∈=（4）对，因为，若lim n n n b c →∞存在，则1lim lim()lim n n n n n n n
c b c b →∞→∞→∞=⋅也存在，与已知条件矛盾
5.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例
（1）如果0lim ()x x f x →存在，但0
lim ()x x g x →不存在，那么0
0lim ()lim ()x x x x f x g x →→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦不存在（2）如果0lim ()x x f x →和0
lim ()x x g x →都不存在，那么00lim ()lim ()x x x x f x g x →→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
不存在（3）如果0lim ()x x f x →存在，但0
lim ()x x g x →不存在，那么
00lim ()lim ()x x x x f x g x →→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
不存在解：
（1）对，因为，若00lim ()lim ()x x x x f x g x →→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
存在，则0000
lim ()lim ()lim ()lim ()x x x x x x x x g x f x g x f x →→→→⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦也存在，与已知条件矛盾
（2）错，例如()sgn ,()sgn f x x g x x ==-在0x →时的极限都不存在，但()()0f x g x +=在0x →时的极限存在（3）错，例如001lim 0,lim sin x x x x x x
→→=在时的极限不存在，但01lim sin 0x x x x
→=6.证明本节定理3中的（2）
定理3（2）如果lim
(),limg()f x A x B ==，那么[]lim
()()lim ()lim ()f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅证：
因lim
(),limg()f x A x B ==，由上节定理1，有()(),,f x A g x B αβ=+=+，其中,αβ都是无穷小，
于是
()()()()()f x g x A B AB A B B αββαβ=++=+++由本节定理2推论1，2，,,A B B βαβ都是无穷小，再由本节定理1，()A B B βαβ++也是无穷小，由上节定理1，得
()()()()lim lim lim f x g x AB f x g x ==⋅。