2017-2018学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(理科)(b卷)

2017-2018学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（理科）
（B卷）
一．选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）过A（﹣1，0），B（1，2）的直线的倾斜角是（）A．B．C．D．
2．（4分）过点P（3，﹣1）且平行于直线x+2y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y﹣5=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．x+2y﹣1=0 D．x+2y+7=0 3．（4分）若直线y=ax+c经过第一、二、三象限，则有（）
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
4．（4分）若点P（3，2）和点Q（a，b）关于直线x﹣y+1=0对称，则（）A．a=2，b=3 B．a=1，b=﹣2 C．a=3，b=2 D．a=1，b=4
5．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为
（）
A．B．2 C．D．
6．（4分）已知点P（2，3），Q（﹣4，1），则以PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=10 B．（x+1）2+（y﹣2）2=40
C．（x+1）2+（y﹣2）2=10 D．（x﹣1）2+（y+2）2=40
7．（4分）已知圆C1：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+1=0，则圆C1，C2的位置关系是（）
A．外离B．相交C．外切D．内切
8．（4分）设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|=5，
则|PF2|=（）
A．3 B．5 C．7 D．3或7
9．（4分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
10．（4分）双曲线的渐近线为等边三角形OAB的边OA，OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且|AB|=2，则a=（）
A．2 B．C．D．
二．填空题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）双曲线的渐近线方程为，离心率为．
12．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为．
13．（4分）已知F1（﹣4，0），F2（4，0），则满足||PF1|﹣|PF2||=6的动点P 的轨迹方程为．
14．（4分）直线被圆：x2+（y﹣1）2=5截得的弦长为．15．（4分）已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为．16．（4分）已知直线l：y=kx﹣3k+4与曲线C：（x﹣1）2+y2=4（﹣1≤x≤1），则直线l恒过定点，若直线l与曲线C有两个交点，则k的取值范围为．
三．解答题本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（8分）已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，求：
（1）过点P且过原点的直线方程；
（2）过点P且垂直于直线l3：x+2y﹣1=0的直线l的方程．
18．（9分）已知圆C的圆心C（3，﹣1），过点A（1，﹣1）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l经过点P（1，﹣2）与圆C相切，求直线l的方程．
19．（9分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆W的焦点坐标和离心率；
（2）过椭圆W的左焦点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于A，B两点，求△ABF2的面积．
20．（10分）已知椭圆的离心率为，点A（﹣2，0），
B（2，0）都在椭圆T上，P为椭圆T上异于A，B的任意一点．以AB为一边作矩形ABCD，且|AD|=|BC|=2b，直线DP，CP分别交x轴于E，F两点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）求证：为定值，并求该定值．
2017-2018学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（理
科）（B卷）
参考答案与试题解析
一．选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）过A（﹣1，0），B（1，2）的直线的倾斜角是（）A．B．C．D．
【分析】求出过A（﹣1，0），B（1，2）两点直线的斜率，根据倾斜角与斜率的关系求出直线的倾斜角．
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（1，2），
∴k AB==1，
∴过A（﹣1，0），B（1，2）两点直线的倾斜角为，
故选：B．
【点评】本题考查直线倾斜角与斜率的关系，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（4分）过点P（3，﹣1）且平行于直线x+2y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y﹣5=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．x+2y﹣1=0 D．x+2y+7=0
【分析】设过点P（3，﹣1）且平行于直线x+2y﹣5=0的直线方程为x+2y+a=0，把P（3，﹣1）代入，能求出结果．
【解答】解：设过点P（3，﹣1）且平行于直线x+2y﹣5=0的直线方程为x+2y+a=0，把P（3，﹣1）代入，得：3﹣2+a=0，
解得a=﹣1．
∴过点P（3，﹣1）且平行于直线x+2y﹣5=0的直线方程为x+2y﹣1=0．
故选：C．
【点评】本题考直线方程求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行的性质的合理运用．
3．（4分）若直线y=ax+c经过第一、二、三象限，则有（）
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
【分析】根据函数图象与系数的特点进行解答即可．
【解答】解：∵直线y=ax+c经过第一、二、三象限，
∴a＞0，c＞0，
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．
k＞0时，直线必经过一、三象限；
k＜0时，直线必经过二、四象限；
b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
b=0时，直线过原点；
b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
4．（4分）若点P（3，2）和点Q（a，b）关于直线x﹣y+1=0对称，则（）A．a=2，b=3 B．a=1，b=﹣2 C．a=3，b=2 D．a=1，b=4
【分析】利用中点坐标公式、对称性质列出方程组，能求出结果．
【解答】解：∵点P（3，2）和点Q（a，b）关于直线x﹣y+1=0对称，
∴，
解得a=1，b=4．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式、对称性质的合理运用．
5．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为
（）
A．B．2 C．D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
由，解得A（1，0），
由z=2x+y得：y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x，结合图象直线过A（1，0）时，z最大，
z的最大值是2，
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
6．（4分）已知点P（2，3），Q（﹣4，1），则以PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=10 B．（x+1）2+（y﹣2）2=40
C．（x+1）2+（y﹣2）2=10 D．（x﹣1）2+（y+2）2=40
【分析】点P（2，3），Q（﹣4，1），则以PQ为直径的圆的圆心是线段PQ的中点，半径是线段PQ的一半．
【解答】解：∵点P（2，3），Q（﹣4，1），
∴线段PQ的中点坐标为（﹣1，2），
|PQ|==2，
∴以PQ为直径的圆的圆心坐标为（﹣1，2），半径r=，
∴点P（2，3），Q（﹣4，1），则以PQ为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=10．
故选：C．
【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式、两点间距离公式、圆的性质的合理运用．
7．（4分）已知圆C1：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+1=0，则圆C1，C2的位置关系是（）
A．外离B．相交C．外切D．内切
【分析】根据两圆的圆心距与两圆的半径关系，即可得出圆C1，C2的位置关系．【解答】解：圆C1：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，圆心为C1（5，3），半径为r1=3；圆C2：x2+y2﹣4x+2y+1=0化为标准方程是（x﹣2）2+（y+1）2=4，
圆心为C2（2，﹣1），半径为r2=2；
则|C1C2|==5=r1+r2，
∴圆C1，C2的位置关系是外切．
故选：C．
【点评】本题考查了两圆的位置关系应用问题，是基础题．
8．（4分）设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|=5，则|PF2|=（）
A．3 B．5 C．7 D．3或7
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程求出a的值，结合椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8，又由|PF1|=5，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，
其中a==4，
若点P在椭圆上，则有|PF1|+|PF2|=2a=8，
又由|PF1|=5，
则|PF2|=8﹣5=3；
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与定义，注意由椭圆的标准方程求出a的值．9．（4分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，
F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=
整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．
【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力．
10．（4分）双曲线的渐近线为等边三角形OAB的边OA，OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且|AB|=2，则a=（）
A．2 B．C．D．
【分析】由等边三角形和双曲线的对称性，可得，∠OAF=30°，再由渐近线方程，可得b=a，再由a，b，c的关系和c的值，即可计算得到a．
【解答】解：由于△OAB（O为坐标原点）是等边三角形，
直线AB过双曲线的焦点F，
则由对称可得，∠OAF=30°，
双曲线的渐近线方程为y=±x，
即有tan30°=，即b=a，
又c==a=|AB|=，
则a=．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和等边三角形的性质的运用，属于中档题．
二．填空题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）双曲线的渐近线方程为y=±x，离心率为2．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b、c的值，由焦点在x轴双曲线的渐近线方程以及离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，
其中a=1，b=，则c==2，
又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，
其离心率e==2；
故答案为：y=±x，2．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线标准方程的形式．
12．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为
4．
【分析】画直线y=﹣x+2，y=x+2，满足题意的区域为直线y=﹣x+2，y=x+2及x=2围成的三角形，求这个三角形的面积即可．
【解答】解：如图，画直线y=﹣x+2，y=x+2，满足不等式组的平面区域为这两直线与x=2围成的三角形，
区域面积为：×4×2=4．
故答案为：4
【点评】本题考查了二元一次不等式与一次函数的关系及三角形面积的计算方法，注意运用图形结合可以更直观地得解．
13．（4分）已知F1（﹣4，0），F2（4，0），则满足||PF1|﹣|PF2||=6的动点P
的轨迹方程为﹣=1．
【分析】根据题意，由双曲线的定义分析可得动点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，分析可得a、c的值，计算可得b的值，代入双曲线的方程计算可得答案．
【解答】解：根据题意，已知F1（﹣4，0），F2（4，0），则|F1F2|=8，
又由动点P满足||PF1|﹣|PF2||=6，8＞6；
则动点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，
且2a=6，即a=3，
则b2=c2﹣a2=16﹣9=7；
则双曲线的方程为﹣=1；
故答案为：﹣=1．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，涉及双曲线的定义，注意结合双曲线的定义分析轨迹的图形．
14．（4分）直线被圆：x2+（y﹣1）2=5截得的弦长为4．【分析】直接利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．
【解答】解：圆心（0，1）到直线的距离d=，
，
解得：l=4．
故弦长为4．
故答案为：4
【点评】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用，垂径定理得应用．
15．（4分）已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为．
【分析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k 的值即可．
【解答】解：x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，圆的圆心（2，0），半径为1，设，即kx﹣y=0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，的最大值，
就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：，
解得k=，所求的最大值为：．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，也可以利用表达式的几何意义解答，考查计算能力．
16．（4分）已知直线l：y=kx﹣3k+4与曲线C：（x﹣1）2+y2=4（﹣1≤x≤1），则直线l恒过定点（3，4），若直线l与曲线C有两个交点，则k的取值范围
为．
【分析】直线l：y=kx﹣3k+4化为：y=k（x﹣3）+4，令，解出可得直线l 恒过定点．直线l与曲线C有两个交点，则＜2，k≤=1．即可得出．【解答】解：直线l：y=kx﹣3k+4化为：y=k（x﹣3）+4，令，解得x=3，y=4，∴直线l恒过定点（3，4）．
直线l与曲线C有两个交点，﹣1≤x≤1，则＜2，k≤=1．
解得．
故答案为：（3，4），．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．解答题本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（8分）已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，求：
（1）过点P且过原点的直线方程；
（2）过点P且垂直于直线l3：x+2y﹣1=0的直线l的方程．
【分析】（1）利用直线的交点坐标求出，经过原点的直线的方程．
（2）首先利用直线垂直的充要条件，进一步利用点斜式求出直线的方程．
【解答】（本小题8分）
解：（1）由，可得．
∴P（﹣2，2）．
过点P且过原点的直线斜率为﹣1，…（3分）
方程为：y=﹣x 即x+y=0 …（4分）
（2）直线l3：x+2y﹣1=0的斜率为﹣，
所以垂直于直线l3：x+2y﹣1=0的直线l的斜率k=2 …（6分）
所以直线l方程为：y﹣2=2（x+2），
即：2x﹣y+6=0 …（8分）
【点评】本题考查的知识要点：直线与直线的位置关系的应用，直线垂直的充要条件的应用．
18．（9分）已知圆C的圆心C（3，﹣1），过点A（1，﹣1）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l经过点P（1，﹣2）与圆C相切，求直线l的方程．
【分析】（1）半径r=|AC|=2，由此能求出圆C的标准方程．
（2）直线l过点P（1，﹣2），当直线l的斜率不存在时，其方程为：x=1，l与圆C相切；直线l的斜率存在时，设l：kx﹣y﹣2﹣k=0，由点C到l的距离d=
=2，求出k=﹣．由此能求出l的方程．
【解答】（本小题9分）
解：（1）∵圆C的圆心C（3，﹣1），过点A（1，﹣1）．
∴r=|AC|==2，…（2分）
所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y+1）2=4．…（3分）
（2）直线l过点P（1，﹣2），
①当直线l的斜率不存在时，其方程为：x=1，
l与圆C相切，符合题意．…（4分）
②直线l的斜率存在时，设l：y+2=k（x﹣1），
即kx﹣y﹣2﹣k=0，…（5分）
则点C到l的距离d==2，…（7分）
解得k=﹣．…（8分）
此时l：y+2=﹣（x﹣1），即3x+4y+5=0．
综上所述，l的方程为：x=1或3x+4y+5=0．…（9分）
【点评】本题考查圆的方程、直线方程的求法，考查直线、圆、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
19．（9分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆W的焦点坐标和离心率；
（2）过椭圆W的左焦点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于A，B两点，求△ABF2的面积．
【分析】（1）由椭圆方程求出，a，b，c即得焦点坐标、离心率e．
（2）由，可得7x2+12x+4=0，利用韦达定理、距离公式、弦长公式即可解答．
【解答】解：（1）椭圆中，a=，b=1，
∴c=1，
∴焦点F1（﹣1，0），F2（﹣，0），
离心率e=．
（2）可知，直线AB的方程为y=（x+1），即．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，可得7x2+12x+4=0，
∴，，|AB|==．
F2到直线AB的距离d=，
∴△ABF2的面积S=．
F2到直线AB的距离d=，
∴△ABF2的面积S=．
【点评】本题考查了椭圆方程的性质，直线与椭圆位置关系，属于中档题．20．（10分）已知椭圆的离心率为，点A（﹣2，0），
B（2，0）都在椭圆T上，P为椭圆T上异于A，B的任意一点．以AB为一边作矩形ABCD，且|AD|=|BC|=2b，直线DP，CP分别交x轴于E，F两点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）求证：为定值，并求该定值．
【分析】（1）由已知得a=2，e=，得c=，b=即可．（2）设P（x0，y0），可得DP直线方程为y﹣2=（x+2），E（）同理得F（），
|AE|=||，|BF|=||，|EF|=|﹣2﹣﹣2|=||，即可．
【解答】解：（1）由已知a=2，e=，得c=，
所以，b=，
椭圆C的方程：．
证明有：（2）因为A（﹣2，0），B（2，0），不妨记C（2，2），D（﹣2，2），设P（x0，y0），
所以：DP直线方程为y﹣2=（x+2），
则E（）
同理，CP直线方程为y﹣2=，
则F（），
|AE|=||，|BF|=||，
|AE|•|BF|=||•||=，
|EF|=|﹣2﹣﹣2|=||，
所以=1为定值．
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．。