八年级数学因式分解的方法——提公因式法湘教版知识精讲

初二数学因式分解的方法——提公因式法湘教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
因式分解的方法——提公因式法
二. 教学目标：
1. 知识与技能
（1）理解公因式概念
（2）掌握提公因式法的概念，并且能够用提公因式法分解因式
2. 过程与方法
在探索中理解因式分解的过程，发现因式分解的基本方法和一般规律
3. 情感、态度与价值观
通过自主探索的过程，学会数学学习的一般规律，体会数学的实用价值
三. 教学重点和难点
重点：用提公因式法分解因式
难点：会找多项式中各项的公因式
四. 知识要点归纳：
1. 公因式：几个多项式的公共的因式称为它们的公因式
2. 提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。

3. 找公因式的方法：
（1）一找系数–––––取各项系数的最大公约数
（2）二找字母–––––取各项含有的相同的字母
（3）三找指数–––––取各项相同字母的最低次数
4. 提公因式法的步骤
（1）一是找公因式
（2）二是提公因式
（3）三是化简
五. 方法技巧与规律总结
1. 对（a －b ）k 与（b －a ）k 互为相反数型
当2n （n 为自然数）是偶数时
()()a b b a n n -=-22
当2n ＋1（n 为自然数）是奇数时
()()a b b a n n -=--++2121
根据上述规律可以把形如（a －b ）k 与（b －a ）k 的式子化成同底数的幂，把某些非公因式转化为公因式。

2. 提公因式时要注意以下几点：
（1）若首项系数为负时，一般要提出“－”号，使括号内第一项系数是正的，须注意符号。

（2）不要漏项，特别是当多项式中某一项全部被提出后，剩下的多项式因式应在相应位置上补上1或－1。

【典型例题】
基础知识题：
例1. 试确定下列各式中的公因式
（），，1412163242-x y x y x y
（），，272128223----()()()m n n m n m
解：（1）题中系数的公因数是4，相同的字母有x ，y ，取其最低次幂x 2y ，故其公因式为4x 2y 。

（2）题中系数的公因数是7，题中出现了多项式（m －n ）和（n －m ），由于它们互为相反数，因此可以把它们统一写成n －m （或m －n ），本题可把n －m 转化为－（m －n ），再找公因式。

解：--72
()m n 212122()()n m m n -=-
282833()()n m m n -=--
∴-它们的公因式为：72()m n
例2. 把下列各式分解因式：
（）1333423242222-++a b c a b c a b c
（）22532443x x y x y y x x y x ()()()-+---
解：（1）分析：根据观察这个多项式的公因式为-3a 2b 2c 2，提取公因式后，括号内的多项式是原多项式除以公因式的商，因此括号内的多项式的项数应该和原多项式的项数相当，而不应该减少，从而防止把“1”或“－1”漏掉，其次在本题提取-3a 2b 2c 2后，要切记不仅第一项要变号，其他项也都要随之变号。

解：原式=---3122222
a b c a c b ()
（2）分析：我们知道： ()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=--++222121；
因此我们可以把形如（a －b ）k 与（b －a ）k 的式子化为同底数的幂，从而把某些非公因式转化为公因式，观察本题。

()()x y y x -=--55
因此此题的公因式为：x y x 23()-
解：原式=--+---x y x x y y x x y x 2532443
()()() =-----+x y x y x xy y x x 23222()[()()]
=---+-++x y x y xy x xy x y x 232232222()()
=---+-+x y x y xy x xy x y 232232222()()
综合应用题：
例3. （1）用简便方法计算
3175147105136721251471012267
...⨯+⨯-⨯-⨯ （2）解方程
()()()()55355326553553270x x x x ++-++=
（3）已知：a ＝－2，b ＝2，求代数式4a 2(b+3)－3a 2(b+3)的值。

分析：本题中的计算解方程，求值若运用运算法则进行直接解答，会有一定的难度且容易出错，为了避免这些问题，通过观察题目的特点可以发现，应用因式分解提取公因式的方法，
改变运算顺序，从而达到简化运算的目的。

解：（）原式13175147212514710513671012267
=⨯-⨯+⨯-⨯(..)(.) =⨯-+⨯-1473175212510121367267
(..)() =⨯+⨯10121471012
11 =⨯+1012147
11() =⨯212887
=132
（）255355326553553270 ()()()()x x x x ++-++=
∴++-+=()[()()]5535532653270x x x
∴++--=()()5535532653270x x x
∴+⨯-=()()553510x
∴-+=51170()x
即11x ＋7＝0 ∴=-
x 711
（）3433322a b a b ()()+-+ =+-()()b a a 34322
=+⋅()b a 32
当a ＝－2，b ＝2时
原式=+⨯-=()()232202
例4. 已知关于x 的二次三项式3x 2－mx ＋n 因式分解的结果为（3x ＋2）（x －1），求m ，n 的值。

分析：将原多项式展开，根据恒等式的性质，把乘法运算的展开式与原多项式比较，对应式的系数相等。

解：∵关于x 的二次三项式3x 2－mx ＋n 因式分解的结果为：（3x ＋2）（x －1） ∴+-=-+()()32132x x x mx n
即32322x x x mx n --=-+
∴==-m n 12，
例5. 不解方程组，求的值。

212211
22332x y x y x y x y x y -=+=⎧⎨⎩----()()() 分析：所求多项式的公因式是（2x －y ）2，运用提公因式法变形可得：
原式=----()[()()]2232x y x y x y
=-+()()222x y x y
所以将2x －y ＝12，x ＋2y ＝11代入其中即可
解：()()()22332
x y x y x y ----
=----()[()()]2232x y x y x y
=---+()()2232x y x y x y
=-+()()222x y x y
∴-=+=当，时212211x y x y
原式=⨯=121115842
小结：此题的特色新颖之处在于利用提公因式法分解因式所得结果与已知条件相互联系解题，这样类型的题经常出现，希望同学们能够灵活地掌握这类题的方法，努力探索题目的规律特点，寻求最佳解题方法。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 填空题
1. 多项式282234a b c a b +的公因式是____________
2. 多项式4181122x y x y y ()()()+++-的公因式是__________
3. --+=-714497ab abc abd ab ()
4. 已知a b c -=+2，则代数式a a b c b a b c c b a c ()()()-----+-+的值是_______
5. 若二次三项式x kx 215--分解因式的结果是()()x x -+53，则k 的值是__________
6. 如果多项式ax B +可分解为a x y ()-，则B 等于_________
二. 选择题
1. 把m a m a 222()()-+-分解因式得（）
A. ()()a m m --22
B. m a m ()()-+21
C. m a m ()()--21
D. 以上都不对 2. 计算()()
-+⋅--2221n n 的值是（） A. 2 B. -2
C. 0
D. ()--21n 3. 已知a b b c -=+=-35，，则代数式ac bc a ab -+-2的值是（）
A. －5
B. 5
C. －6
D. 6 4. 下列各组多项式中，没有公因式的是（）
A. 5m a b ()-与()b a -
B. ()a b +2与--a b
C. mx y +与x y +
D. -+a ab 2与a b ab 22-
三. 把下列各式分解因式
1. 9632
a a
b a -+
2. 152912a a b a a ()()()----
3. a a b a a b ab b a ()()()-+---322222
四. 利用因式分解计算 1. 199952199974199926....⨯+⨯-⨯
2. 9101020052006⨯-
五. 已知x ，y 是整数，且4x y -是7的倍数，试说明：810322x xy y +-是49的倍数
六. 已知a b ab +==1340，，求a b ab 22+的值。

【试题答案】
一. 1. 222a b
2. 41x y ()+
3. 127+-c d
4. 4
5. 2
6. -ay
二. 1. C 2. C 3. C 4. C
三. 1. 原式=-+3321a a b ()
2. 原式=-+--152912a a b a a ()()() =-+-3231()[5()]a a b a
=-+-32533()()a a ab b
3. 原式=-+---a a b a a b ab a b ()()()322222 =--+-a a b a b a b ()()222
=--=-a a b a b a a b ()()
()23333
四. 1. 原式=⨯+⨯-⨯199952199974199926... =⨯+-1999527426.()
=⨯1999100.
=1999
2. 原式=⨯-⨯910101020052005
=-109102005()
=-102005
五. 810322x xy y +-=+-()()234x y x y
4x y -是7的倍数
∴设47x y n -=（n 为整数）
则y x n =-47
∴+-810322x xy y
=-+()()423x y x y
=+-72347n x x n [()]
=+-721221n x x n ()
=-71421n x n ()
=⋅-7723n x n ()
=-4923n x n ()
x n ,均为整数，∴-n x n ()23也是整数 ∴+-810322x xy y 是49的倍数
六. 解： a b ab +==1340，
∴+a b ab 22
=+=⨯=ab a b ()4013520。