高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略
江西省永丰中学
陈保进
排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。

下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列
例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____
解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有
44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48
注意：小集团问题也可以用捆绑法
变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720
333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端
例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：
先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =1440
3.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法
例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____
解析：先将5人全排列，共5
5A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为60
22
5
5=A A 4.特殊元素优先考虑
例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法
解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法
②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有1
6A 种，再排乙，有1
6A 种排法，其余人全排列，共有7
7A ＋1
6A ×1
6A ×6
6A ＝30960种不同排法
5.特殊位置优先考虑
例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种
解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，1
4C 种情况，再从其他5人中选择5人参
加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×3
5
A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法
解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有3
32516C C C 种情况，第二步将分好
的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况
A B
C D
E
变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________
种不同的分法
解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有152
2
4
4
1516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况
变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法
解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有15332
22426=A C C C 种情况，第二步将
分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况
变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教
师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组
答案为150332
2
1
112353
322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：
例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为
解析：49
3739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题
8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）
例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能
去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为
解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社
区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7
变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共
有
个
解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113
433A A A 、
113333A A A 、113
233A A A 和133
3A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每
人2张，不同的获奖情况有________种
解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为3
4A ；
②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为60
9.可重复的排列求幂法
例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法
解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法
10.多排问题单排法
例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720
663336==⨯A A A
如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多
变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法
解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551
424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）
例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种
解析：
可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3
620C =种
变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少
于其编号数，则有
种放法
解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球
分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有2
16120C =种放法
12.选排问题先取后排
例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，
其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为
解析：首先从后排的7人中抽2人，有2
7C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，
第二人有5种放法，答案为2
745420
C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位
不调整，则不同的调整方案的种数为______
解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有111
2112C C C ⨯⨯=种情况，
答案为3
6240
C ⨯=13.部分合条件问题排除法
例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有
个
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成4
8C 个四面体，但6个表面和6个对角面
的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258
C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
种
A、150种
B、147种
C、144种
D、141种
解析：从10个点中任取4个的组合数为4
10210C =，其中4点共面的分三类：
①4点在同一侧面或底面的共4组,即4
6460C ⨯=种
②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=141
14.构造模型，等价转化
例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或
三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。

所以满
足条件的关灯方案有3
510C =种变式1：某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？A
B
解析：从A 到B 的最短路线必须走7小段，相当于走7步，这7步当中有4步向右，3步向上，
因此不同走法有4
7C 种
15.错位排列问题
例15：编号是1、2、3的3封信，装入编号为1、2、3的3个信封，要求每封信和信封的编号不
同，则有种装法
解析：可以列举：1→2,2→3,3→1或1→3,2→1,3→2,共两种
变式1：将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格
的标号与所填数字均不相同的填法有种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三
个方格，有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法
变式2：将数字1，2，3，4，5填入标号为1，2，3，4，5的四个方格里，每格填一个数，则每
个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有4种方法，每种方法的情况数一样多
1234512345
1234512345①1→2,2→1，剩下3个为错位排列，有2种情况
②1→2,2→3或4或5，然后数字3有3种填法，剩余数字只有一种填法答案为4×（2+3×3）=44
常用错位排列公式：D 2=1，D 3=2，D 4=9，D 5=44，D 6=265
16.圆排问题线排法
把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，例如n a a a a ,,,,321⋅⋅⋅和
1432,,,,,a a a a a n ⋅⋅⋅在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，因此这n 个元素的圆排列数有
!n n
种例16：六个人站一圈，有多少种不重复站法
解析：66
1206
A =种。