极坐标与极坐标方程专题复习
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（I）分别写出曲线 与直线 的极坐标方程；
（II）设直线 ､ 分别与曲线 交于 ､ 与 ､ ，顺次连接 ､ ､ ､ 四个点构成四边形 ，求 ．
【解析】（I）由 的参数方程，可得 ，则 ，即 ，∴ ．
由题设知： 为 ，故 的极坐标方程为 ，又 ，∴ 为 且 ．
（II）由题设知： ，
若 ， ，联立 与 ： ，可得 ， ，联立 与 ： ，可得 ， ，
（1）求 的取值范围；（2）求 中点 的轨迹的参数方程．
【答案】（1） ；（2） （ 为参数， ）．
解析：（1）圆 的直角坐标方程为 ．当 时， 与圆 交于两点．
当 时，记 ，则 方程为 ． 与圆 交于两点当且仅当 ，解得 或 ，即 或 ．综上， 的取值范围是 ．
（2） 的参数方程为 （ 为参数， ）．
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sin cos ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.
4(2017·课标Ⅱ，22，10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)，ρB>0.
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积S＝ |OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα· ＝2 ≤2＋ .
设 对应的参数分别为 ，则 ，且 满足 ．
于是 ， ．又点 的坐标 满足
所以点 的轨迹的参数方程是 （ 为参数， ）．
7.【2021全国甲卷文理22】在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 ．
（1）将 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 的直角坐标为 为 上的动点，点 满足 ，写出 的轨迹 的参数方程，并判断 与 是否有公共点．
解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11，
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为 ，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【解析】(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝ .
【解析】（I） ．
（II） ，
当 时 ；当 时 （舍），即所求交点坐标为当 ．
【专家解读】本题考查了极坐标方程及其应用，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．
2【2019年高考全国Ⅱ文理22】
在极坐标系中， 为极点，点 在曲线 上，直线 过点 且与 垂直，垂足为 ．
（I）当 时，求 及 的极坐标方程；
【答案】（I） ；（II）P的极坐标为 或 或 或 ．
【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中 的取值范围；(2)根据条件 逐个方程代入求解，最后解出 点的极坐标．
【精准讲析】（I）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ， ．所以 的极坐标方程为 ，
的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ．
联立 得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．
故tanθ＝－ ，从而cos2θ＝ ，sin2θ＝ .
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为 .
6.【2018高考全国3文理22】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点．
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝ .由|AB|＝ 得，cos2α＝ ，
tanα＝± ，所以l的斜率为 或－ .
2.2015·课标Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝ (ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
当α＝－ 时，S取得最大值2＋ .所以△OAB面积的最大值为2＋ .
5.(2017·课标Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 (t为参数)，直线l2的参数方程为 (m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos ＋sin )－ ＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
（II）当 在 上运动且 在线段 上时，求 点轨迹的极坐标方程．
解：（I）因为 在C上，当 时， ．由已知得 ．
设 为l上除P的任意一点．在 中 ，经检验，点 在曲线 上，所以，l的极坐标方程为 ．
（II）设 ，在 中， 即 ．
因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 ．
所以，P点轨迹的极坐标方程为 ．
7.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且曲线 与直线 有且仅有一个公共点.
（1）求 ；
（2）设 曲线 上的两点，且 ，求 的最大值．
解（1）直线 的普通方程是 ，曲线 的直角坐标方程是 ，
依题意直线 与圆相切，则 ，解得 或 ，
极坐标与极坐标方程专题复习
1．（1）【2020年高考江苏卷22】在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）．
（I）求 ， 的值；（II）求出直线 与圆 的公共点的极坐标．
【答案】（I） ；（II）
【思路导引】（I）将A，B点坐标代入即得结果；（II）联立直线与圆极坐标方程，解得结果．
（2） ，不妨设P1(1，0)，P2(0，-2)，则线段P1P2的中点坐标 所求直线斜率为k 于是所求直线方程为y+1
化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ+4ρsinθ=-3，即ρ
3．(2016·课标Ⅰ，23，10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos .
【答案】（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数），C与 没有公共点．
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ．
（2）设 ，设 ． ，
则 ，即 ，故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）．
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
∴ ．∴ ．
6．（2022云南大理·模ห้องสมุดไป่ตู้预测（理））数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线 被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．
（I）当 ，求以极点为圆心， 为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；
II）设点P是由（I）中的交点所确定的圆M上的动点，直线 ，求点P到直线l的距离的最大值．
【答案】（I） ；（II） ．
因为 ，所以 ；
（2）如图，不妨设 ， ，则 ， ，
所以 ，
所以当 ，即 ， 时， 最大值是 ．
一轨迹问题
1.已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系，点 为曲线 上的动点，点 在 轴上的射影为点 ，且满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）直线 的极坐标方程为 ，点 为直线 上的动点，求 的最小值.
方法二：将极坐标方程θ＝ 化为直角坐标方程为y＝x.圆心C2(1，2)到直线x－y＝0的距离d＝ ＝ ，∴|MN|＝2 ＝ ，∴S△C2MN＝ d·|MN|＝ × × ＝ .
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan ＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos ，y＝ρsin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin ＋1－a2＝0.
3【2019年高考全国Ⅲ文理22】[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox中， ， ， ， ，弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ．
（I）分别写出 ， ， 的极坐标方程；
（II）曲线 由 ， ， 构成，若点 在M上，且 ，求P的极坐标．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）设直线l与 的交点为P1，P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）∵曲线C的极坐标方程为 ，∴ ，
∴曲线C的直角坐标方程为 ，∴ ，又 的直角坐标为（2，2），
∴ .∴曲线C在点（2，2）处的切线方程为 ，即直线l的直角坐标方程为 .
【答案】（1） ；（2） .
解：（1）可得 的直角坐标方程为 ，由已知，设 ， ， .
因为 ，所以 ，即 ，因为点 在曲线 ： 上，
所以 ，从而点 的执迹 的方程为 .
（2）直线 的普通方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数），
设 ，点 到直线 距离为
，（其中 ），当 时， ，
所以 .
2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为 ，它在点 处的切线为直线l.
【解析】（1）由题意， 的普通方程为 ，∴ 的参数方程为 ，（ 为参数）．
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 ，即 ，
由圆心到直线的距离等于1可得 ，解得 ，∴切线方程为 或 ，将 ， 代入化简得 或 ．
5.（2022江西景德镇·模拟预测（理））在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），直线 ，垂足为 ．以 为坐标原点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
【分析】（I）由 可得 ，然后解出 的值即可；
（II）将圆 和直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后可求出答案．
【解析】（I）由 可得 ，∴ 或 ，
∴ 或 ，∴ ，∴ ，
∴交点的极坐标为 ．
（II）由（I）可得圆M的极坐标方程为 ，转化为直角坐标方程为 ，
直线 的直角坐标方程为 ，
∴点P到直线l的距离的最大值为 ．
【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝ (x＋2)．设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．
解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)方法一：将θ＝ 代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3 ρ＋4＝0，
解得ρ1＝2 ，ρ2＝ .故ρ1－ρ2＝ ，即|MN|＝ .由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为 .
（II）设 ，由题设及（I）知：
若 ，则 ，解得 ；若 ，则 ，解得 或 ；
若 ，则 ，解得 ．
综上，P的极坐标为 或 或 或 ．
4.【2021高考全国乙卷文理22】
在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为 ．
（1）写出 的一个参数方程；
（2）过点 ，作 的两条切线，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
则圆心距为 ， ， 两圆内含，故曲线C与 没有公共点．
二距离问题
1．(2016·课标Ⅱ，23，10分)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是 (t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝ ，求l的斜率．
（II）设直线 ､ 分别与曲线 交于 ､ 与 ､ ，顺次连接 ､ ､ ､ 四个点构成四边形 ，求 ．
【解析】（I）由 的参数方程，可得 ，则 ，即 ，∴ ．
由题设知： 为 ，故 的极坐标方程为 ，又 ，∴ 为 且 ．
（II）由题设知： ，
若 ， ，联立 与 ： ，可得 ， ，联立 与 ： ，可得 ， ，
（1）求 的取值范围；（2）求 中点 的轨迹的参数方程．
【答案】（1） ；（2） （ 为参数， ）．
解析：（1）圆 的直角坐标方程为 ．当 时， 与圆 交于两点．
当 时，记 ，则 方程为 ． 与圆 交于两点当且仅当 ，解得 或 ，即 或 ．综上， 的取值范围是 ．
（2） 的参数方程为 （ 为参数， ）．
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sin cos ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.
4(2017·课标Ⅱ，22，10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)，ρB>0.
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积S＝ |OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα· ＝2 ≤2＋ .
设 对应的参数分别为 ，则 ，且 满足 ．
于是 ， ．又点 的坐标 满足
所以点 的轨迹的参数方程是 （ 为参数， ）．
7.【2021全国甲卷文理22】在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 ．
（1）将 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 的直角坐标为 为 上的动点，点 满足 ，写出 的轨迹 的参数方程，并判断 与 是否有公共点．
解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11，
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为 ，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【解析】(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝ .
【解析】（I） ．
（II） ，
当 时 ；当 时 （舍），即所求交点坐标为当 ．
【专家解读】本题考查了极坐标方程及其应用，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．
2【2019年高考全国Ⅱ文理22】
在极坐标系中， 为极点，点 在曲线 上，直线 过点 且与 垂直，垂足为 ．
（I）当 时，求 及 的极坐标方程；
【答案】（I） ；（II）P的极坐标为 或 或 或 ．
【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中 的取值范围；(2)根据条件 逐个方程代入求解，最后解出 点的极坐标．
【精准讲析】（I）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ， ．所以 的极坐标方程为 ，
的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ．
联立 得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．
故tanθ＝－ ，从而cos2θ＝ ，sin2θ＝ .
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为 .
6.【2018高考全国3文理22】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点．
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝ .由|AB|＝ 得，cos2α＝ ，
tanα＝± ，所以l的斜率为 或－ .
2.2015·课标Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝ (ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
当α＝－ 时，S取得最大值2＋ .所以△OAB面积的最大值为2＋ .
5.(2017·课标Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 (t为参数)，直线l2的参数方程为 (m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos ＋sin )－ ＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
（II）当 在 上运动且 在线段 上时，求 点轨迹的极坐标方程．
解：（I）因为 在C上，当 时， ．由已知得 ．
设 为l上除P的任意一点．在 中 ，经检验，点 在曲线 上，所以，l的极坐标方程为 ．
（II）设 ，在 中， 即 ．
因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 ．
所以，P点轨迹的极坐标方程为 ．
7.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且曲线 与直线 有且仅有一个公共点.
（1）求 ；
（2）设 曲线 上的两点，且 ，求 的最大值．
解（1）直线 的普通方程是 ，曲线 的直角坐标方程是 ，
依题意直线 与圆相切，则 ，解得 或 ，
极坐标与极坐标方程专题复习
1．（1）【2020年高考江苏卷22】在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）．
（I）求 ， 的值；（II）求出直线 与圆 的公共点的极坐标．
【答案】（I） ；（II）
【思路导引】（I）将A，B点坐标代入即得结果；（II）联立直线与圆极坐标方程，解得结果．
（2） ，不妨设P1(1，0)，P2(0，-2)，则线段P1P2的中点坐标 所求直线斜率为k 于是所求直线方程为y+1
化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ+4ρsinθ=-3，即ρ
3．(2016·课标Ⅰ，23，10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos .
【答案】（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数），C与 没有公共点．
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ．
（2）设 ，设 ． ，
则 ，即 ，故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）．
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
∴ ．∴ ．
6．（2022云南大理·模ห้องสมุดไป่ตู้预测（理））数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线 被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．
（I）当 ，求以极点为圆心， 为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；
II）设点P是由（I）中的交点所确定的圆M上的动点，直线 ，求点P到直线l的距离的最大值．
【答案】（I） ；（II） ．
因为 ，所以 ；
（2）如图，不妨设 ， ，则 ， ，
所以 ，
所以当 ，即 ， 时， 最大值是 ．
一轨迹问题
1.已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系，点 为曲线 上的动点，点 在 轴上的射影为点 ，且满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）直线 的极坐标方程为 ，点 为直线 上的动点，求 的最小值.
方法二：将极坐标方程θ＝ 化为直角坐标方程为y＝x.圆心C2(1，2)到直线x－y＝0的距离d＝ ＝ ，∴|MN|＝2 ＝ ，∴S△C2MN＝ d·|MN|＝ × × ＝ .
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan ＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos ，y＝ρsin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin ＋1－a2＝0.
3【2019年高考全国Ⅲ文理22】[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox中， ， ， ， ，弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ．
（I）分别写出 ， ， 的极坐标方程；
（II）曲线 由 ， ， 构成，若点 在M上，且 ，求P的极坐标．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）设直线l与 的交点为P1，P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）∵曲线C的极坐标方程为 ，∴ ，
∴曲线C的直角坐标方程为 ，∴ ，又 的直角坐标为（2，2），
∴ .∴曲线C在点（2，2）处的切线方程为 ，即直线l的直角坐标方程为 .
【答案】（1） ；（2） .
解：（1）可得 的直角坐标方程为 ，由已知，设 ， ， .
因为 ，所以 ，即 ，因为点 在曲线 ： 上，
所以 ，从而点 的执迹 的方程为 .
（2）直线 的普通方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数），
设 ，点 到直线 距离为
，（其中 ），当 时， ，
所以 .
2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为 ，它在点 处的切线为直线l.
【解析】（1）由题意， 的普通方程为 ，∴ 的参数方程为 ，（ 为参数）．
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 ，即 ，
由圆心到直线的距离等于1可得 ，解得 ，∴切线方程为 或 ，将 ， 代入化简得 或 ．
5.（2022江西景德镇·模拟预测（理））在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），直线 ，垂足为 ．以 为坐标原点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
【分析】（I）由 可得 ，然后解出 的值即可；
（II）将圆 和直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后可求出答案．
【解析】（I）由 可得 ，∴ 或 ，
∴ 或 ，∴ ，∴ ，
∴交点的极坐标为 ．
（II）由（I）可得圆M的极坐标方程为 ，转化为直角坐标方程为 ，
直线 的直角坐标方程为 ，
∴点P到直线l的距离的最大值为 ．
【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝ (x＋2)．设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．
解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)方法一：将θ＝ 代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3 ρ＋4＝0，
解得ρ1＝2 ，ρ2＝ .故ρ1－ρ2＝ ，即|MN|＝ .由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为 .
（II）设 ，由题设及（I）知：
若 ，则 ，解得 ；若 ，则 ，解得 或 ；
若 ，则 ，解得 ．
综上，P的极坐标为 或 或 或 ．
4.【2021高考全国乙卷文理22】
在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为 ．
（1）写出 的一个参数方程；
（2）过点 ，作 的两条切线，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
则圆心距为 ， ， 两圆内含，故曲线C与 没有公共点．
二距离问题
1．(2016·课标Ⅱ，23，10分)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是 (t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝ ，求l的斜率．