方程与不等式之无理方程经典测试题含答案

方程与不等式之无理方程经典测试题含答案
一、选择题
1. 方程JL+xJL=0实数根的个数有_____________________ 个。

【答案】2
【解析】
【分析】
利用移项两边平方转化为一元二次方程求解即可.
【详解】
由J1 - x + — x = 0
得y/1-X = -Xy/1-X
两边平方，得：1 —X=F(1 — X)
(1-A)(1-X2)=0
(1 - Aj(l + X)(l -X)= 0
= 1, x2 = —1
经检验：把兀=1,壬=-1代入方程，都是原方程的解。

实数根的个数有2个.
故答案为：2
【点睛】
本题考查了无理方程的求解，选择合适的办法把无理方程转化为一元二次方程是解题的关键.
2. 方程J3x_2 = 2的解是_________________ .
【答案】x = 2
【解析】
试题分析：方程两边平方，得3x—2 = 4,解得x = 2.代入验根可得方程的根为x = 2. 考点：解无理方程.
3. 方程J5E = 2的根是—.
【答案】x=-.
3
【解析】
试题分析：・・・、/IL=2, ・・・3x-"4, ・・・x=],经检验是原方程组的解，故答案为
7 3 3
5
x=-・
3
考点：无理方程・
4. 方程2^/x - 3=x - 6的根是 ________ .
【答案】x=12.
【解析】
两边平方，求得一元二次方程的解，进一步利用x - 3>0验证得出答案即可.
解：2乂x 厂3=x - 6
4 (x - 3) =x2 - 12X+36
整理得X2 - 16x+48=0
解得：xi=4, X2=12
代入x-3>0,当x=4时，等式右边为负数，
所以原方程的解为x=12.
故答案为：x=12.
5. 若关于尤的方程ay[7 + -i/7-- = 0恰有两个不同的实数解，则实数。

的取值范围
2 3
是 _______ .
3
【答案】a = 0或心一書
16
【解析】
【分析】
设疔二y，・・・yR，则原方程可化为：«r+|y-| = O,根据方程只有一个正根，即可解决问题. 【详解】
设肢=儿・•・wo,则原方程可化为：+ L y-L = o,
•・•方程恰有两个不同的实数解，
•••△=0或a=0或a>0(此时方程两根异号"只有一个正根,x有两个不同的实数解)
1 4
当△=()时，一+ —。

= 0,
4 3
3
解得：—一,
16
3
故实数。

的取值范围是：a = 0或an —2,
16
故答案为：a = 0或
16
【点睛】
考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.
6. 方程J7二？=2的解是 __________ •
【答案】x=7
【解析】
【分析】
将方程两边平方后求解，注意检验.
【详解】
将方程两边平方得x-3=4,
移项得：x=7,
代入原方程得J7-3 =2,原方程成立，
故方程>/73=2的解是x=7.
故本题答案为：x=7.
【点睛】
在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验.
7.方程丁3_开・丁2_开=0的角军是_______________
【答案】x=2
【解析】
【分析】
由题意可知3-x=0或2-x=0,再结合二次根式有意义的条件即可求得答案.
【详解】
*•* J3-X • J2_x = 0，
・•・ J3 - X =0 或= 0，
/• x=3 或x=2,
检验：当x=3时，2-x<0, J2_x无意义,故x=3舍去，
/• x=2,
故答案为x=2.
【点睛】
本题考查了解无理方程，熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
&方程亦二r=3的解是___________ .
【答案】x = 5
【解析】
分析：把方程两边平方，去根号后求解.
详解：两边同时平方，得：2X—1 = 9,
解得：x= 5,
经检验，x = 5是原方程的解.
故答案为x = 5.
点睛：考查无理方程的解法，解无理方程通常用的方法是两边平方法或者换元法.
9. 方程后1=2的根是一•
【答案】x=3
【解析】
【分析】
方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得x的值，然后代入原方程进行检验即可. 【详解】
方程两边同时平方得：x+l=4,
解得：x=3.
检验：x=3时，左边=75+1=2,则左边=右边.
故*3是方程的解.
故答案是：x=3.
10. 方程yjx2 -6x4-9 = 3 -:V 的解是_____________ o
【答案】x<3
【解析】
【分析】
由根式的性质可知方程左边必大于零，再根据无理方程左边等于右边，所以可得3-xno 求解即可.
【详解】
因为左边=卜一3|,右边=3-x,所以3-x>0,所以x<3.
【点睛】
本题考查了根式的性质及无理方程的化简求解.
11. 方程dx+\ y/x-2=0 的根是 ________________________ .
【答案】X=2
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件求出X的取值范闱，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可.
【详解】
V x+l>0, x-2>0»
/• x>2.
T y/x+1 ・ y/x-2 = 0，
A x+l=0 或x-2=0,
X1=-1 (舍去),X2=2.
故答案为：x=2.
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范I制是本题的易错点.
12.将方程&^1_2兀=0化为有理方程______________
【答案】3x2+l=0
【解析】
【分析】
先移项，然后方程两边平方即可去根号，转化为有理方程.
【详解】
解：移项：yjx2 -1 = 2X
两边平方得：x2-l=4x2,即3x2+l=0.
故答案是：3x2+l=0.
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，利用平方法是转化为整式方程的基本方法.
13. 解方程二8%二6时，设y = 4x^Sx换元后，整理得关于y的整式方
程是 ___________________ .
【答案】y2+y-6=o
【解析】
【分析】
设y = ，则原方程可化为关于y的一元二次方程即可.
【详解】
解:设y = 二？
则原方程可化为y2+y-6=0,故答案为：y2+y-6=0.
【点睛】
本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法，一般是通过观察确定用来换元的式子是解题的关键.
14. 请将方程(x-3)VT^7=0的解写在后面的横线上：_________
【答案】x=7
【解析】
【分析】
先根据已知方程得出x-3=0或x-7=0,求出x的值，再进行检验即可.
【详解】
解：（x-3）77二7=0,
x-3=0 或x-7=0,
x=3 或x=7,
检验：当x=3时，尼万无意义，所以"3不是原方程的解：
x=7是原方程的解，
故答案为：x=7.
【点睛】
本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验.
15. 方程j2x-4 = 2的根是______________ .
【答案】4.
【解析】
【分析】
把无理方程转化为整式方程即可解决问题.
【详解】
两边平方得到：2x - 4=4,解得：x=4,经检验：*4是原方程的解.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验.
16. 方程J2x+3 = x的解为______ .
【答案】3
【解析】
【分析】
根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可.
【详解】
解：两边平方得：2x+3=/
Ax2・2x・3=0,
解方程得：刈=3, x2= - 1，
检验：当xi=3时，方程的左边=右边，所以xi=3为原方程的解，
当x2= -1时，原方程的左边工右边，所以x2=-l不是原方程的解.
故答案为3.
【点睛】
此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则
17. 方程y/x+2=-X的解是_______ •
【答案】x= - 1.
【解析】
【分析】
把方程两边平方后求解，注意检验.
【详解】
把方程两边平方得x+2=x2,
整理得(x- 2) (x+1) =0,
解得：x=2或-1,
经检验，x= - 1是原方程的解.
故本题答案为：x= - 1.
【点睛】
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根.
18.方程Jx + 2 =3的根是__________________ .
【答案】x=7
【解析】
【分析】
根据无理方程的解法求解即可.
【详解】
解：如2=3,
两边平方可得：x+2=9,
移项合并得：x=7.
故答案为：x=7.
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，解题的关键是根据等式的性质将方程两边平方，从而化成整式方程.
19.已,则X等于__________________________
【答案】2
【解析】
【分析】
先化简方程，再求方程的解即可得出答案.
【详解】
解:根据题意可得x>0
亦+亦+3亦=10
亦=2
x=2.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查无理方程，化简二次根式是解题的关键.
20.方程Jx+3 + £ =3的解是___________ .
【答案】1
【解析】
【分析】
根据转化的思想，把二次根式方程化成整式方程，先把石移项到右边，再两边同时平方
把后了化成整式，进化简得到J7=l，再两边进行平方，得x=l,从而得解.
【详解】
移项得，Jx+3 =3 - 77 »
两边平方得，X+3=9+X-67?,
移项合并得，6 yfx =6,
即：養=1,
两边平方得，X=l,
经检验：x=l是原方程的解，
故答案为1.
【点睛】
本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一元一次方程是解题的关键.。