PWM控制系统对纹波研究

PWM 控制系统对纹波研究
纵慧慧 郝继飞 邢青青
（中国矿业大学信电学院 江苏 徐州 221008）
摘要：本文采用脉宽调制(PWM)系统的数学模型来分析纹波产生的原因,推导出纹波表达式与PWM 控制器各参数之间的关系.并用LABVIEW 对被控对象为一阶惯性环节的PWM 控制系统系统进行仿真，通过改变周期T ，说明纹波的变化情况。

关键词 ：PWM 纹波 LABVIEW 仿真 中图分类号：Tp214 文献标识码：A
1引言
PWM 控制的主要优点在于①实现的简单性,控制变量的取值一般只有二或三个(即M 和0或+M 、-M 和0),因此控制作用通过一个开关的操作就能实现,这样就不需要线性的执行器,减小了执行器的体积,大大提高了系统的可靠性,也降低了系统的复杂性。

②它对被控对象数学模型准确程度的依赖性很小,适用于系统对象模型精确参数不易取得或参数易变的场合,对带滞后系统、常见非线性系统可能具有不错的控制性能。

但是，PWM 控制也有一定的缺点：它的缺点是①PWM 控制系统输出会有纹波，纹波太大可能会导致系统振荡、不稳定；②PWM 独一无二的非线性特性给系统的稳定性分析和输入输出分析都带来了难度。

本文主要是PWM 控制系统对纹波的研究。

2 PWM 控制方法的数学描述
2.1 PWM 控制算法
PWM 控制系统如图1所示：
图1 PWM 反馈系统 Figure 1 PWM Feedback System
单极前导型PWM 控制器的输出()u t 为:
sgn(()),.[,],0,1,2,()(())(1)0,.k
M e kT t kT kT T k u t m e t otherwise ∙∈+=⎧==⎨⎩
均匀采样的k T 为：
M －PWM 波的幅值，T —PWM 的脉冲周
期，k T －PWM 波的占空比，()e kT —输入误差，sgn()ε的表达式如下：
1,0
sgn()0,0(3)
1,0εεεε>⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
2.2 PWM 控制系统稳态值
假设图1所示被控对象的状态描述如下：
(4)x Ax Bu y Cx
∙⎧⎪=+⎨=⎪⎩ ,,n x R y R u R ∈∈∈，
()()()e t r t y t =-，
,A B 和C 均为适当维数的实数矩阵。

在这一部分，假设A 是赫尔维茨稳定[1] [2]
的。

结合（1）和（4）则可得出：
输入为R 时，()()e kT R Cx kT =-
()(),[,]()(5)(),[,]
k k Ax t Bu kT t kT kT T x t Ax t t kT T kT T ∙+∈+⎧=⎨
∈++⎩(),()/(2)
,()/k e kT e kT T T T e kT T βββ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
()sgn(())u kT M R Cx kT ∴=-
对（5）求解可知： 将t kT T =+代入到(6)中得到：
()()()(7)k A T T k x kT T e x kT T -+=+
又据（6）可得出：
()
()()sgn(())
k
k k
kT T
AT A kT T k kT
x kT T e x kT e
d BM R Cx kT ττ++-+=+-⎰
()sgn(())(8)k
k k T AT AT A e x kT e e d BM R Cx kT ττ-=+-⎰
将（8）代入到(7)中去可得到()x kT T +和()x kT 的关系。

系统在稳定状态时,我们可以将
()()x kT T x kT +=代入（9），则：
()(()sgn(()))
k
T AT
A x kT e x kT e d BM R Cx kT ττ-=+-⎰1(()()sgn(())(10)
k AT AT e x kT I e A BM R Cx kT --=+-- 根据k T 的定义可知稳定时：
(())(11)k T R C x kT β=-
因此（10）可写成： ()1
()(()()sgn(())(12)
A R Cx kT AT x kT e x kT I e A BM R Cx kT β---=+-- 用x 替代()x kT ，则：
1()()sgn(())
A R Cx
AT e I x I e A BM R Cx kT β-----=-- 解上式可得出稳态值()x kT 。

同时根据（2－11）可得到稳态时的占空比k T 。

2.3 稳定后的仿真及纹波表达式
在这里我们运用LABVIEW [3] [4]
中的公式
节点来描述PWM 控制器，结合其仿真模块构
造PWM 控制系统的仿真模型。

PWM 控制的两个独特的缺点，一是它独特的非线性给稳定性分析带来难度，另一个就是PWM 独特的非线性会导致控制系统输出
有纹波。

通过仿真图2我们具体来看纹波产生的原因是：在周期T 内的
[,]k k T T k T T ++内，PWM 输出为0，即
0u =，没有输入给被控对象，因此系统输出开始衰竭，在k kT T +时刻输出从纹波的峰点开始下降，到kT T +时刻，PWM 又输出
M 去控制被控对象，因此系统输出从纹波的谷点开始上升，直到下一个周期k T 时刻的
到来，再度从峰点开始下降。

这样在系统稳定后，k T 是一定的，因此每个周期内爬升和下降的时间段都是一定的，形成规律的纹波。

如图3（a ）输出波形所示。

(a)输出波形
(b) PWM 波形
图2 PWM 控制系统输出波形和PWM 的波形 Figure2 Export and PWM Waveform of
PWMControlSystem
因此纹波W 的表达式可以写成：
()()()()sgn(()),[,]()(6)(),[,]k t A t kT A t k kT A t kT T k k e x kT e d BM R Cx kT t kT kT T x t e x kT T t kT T kT T ττ----⎧+-∈+⎪=⎨⎪+∈++⎩⎰0
()(()sgn(()))(9)k
T AT
A x kT T e x kT e d BM R Cx kT τ
τ-+=+-
⎰
(()())K W C x kT T x kT =+-
又根据（11），（13）可以改写成:
从（14）可以看出，纹波的大小与输入R 、
PWM 波形幅值M 、参数A 、B 、C 还有k T 有关系。

当这个纹波太大时会导致系统振荡，甚至不稳定。

因此在实际的工程应用中，可以根据实际需要，把纹波与稳态值的比值控制在一定的范围内。

采样周期T 越大，纹波越大，但是T 太小，PWM 控制系统就接近连续系统了，失去调制的意义了，而且 频率太高，执行机构动作频繁，使用寿命受到限制。

因此在实际的工况允许的情况下，把纹波控制在对象容许的范围内，尽量减小频率来延长执行机构的使用寿命，比如需要把稳定后纹波与稳态值的比值控制在5％，即
5%()W Cx kT ≤，根据W 的表达式可以写
成：
而稳态值()x kT 的求解在上面已详细
介绍， 因此可根据（15）解出把稳定后的纹波与稳态值的比值控制在一定范围内的参数条件。

下面针对一个一阶系统
0()1/(1)G s T s =+逐渐增大采样周期T 做
一组PWM 控制系统的仿真,其中M 为1,β为1。

0/0.1T T =
0/0.2T T =
0/0.5T T =
0/1T T =
图3 一阶系统仿真图形
Figure3 Simulation Waveforms of the First-Order System
从仿真图中我们可以看出采样周期T 越大，纹波越大，但是T 太小，PWM 控制系统就接近连续系统，失去调制的意义。

3 总结
通过数学推理得出PWM 控制系统的稳态值，进而可以得出稳定时的占空比，以及稳
0((()sgn(())())K
k
T AT A C e x kT e d BM R Cx kT x kT ττ-=+--⎰1(()()()sgn(()))k
k
AT AT C e I x kT e I A BM R Cx kT -=-+--1()()(())(13)
()k
AT R Cx kT C e I x kT A BM R Cx kT --=-+-1()()(())
k AT k R Cx kT W C e I x kT A BM T β--=-+11()(()())(14)
k
AT k k A BM C
A BM CR C e I I x kT T T ββ--=--+11()(()())5%()(15)k
AT
k k
A BM C A BM CR C e I I x kT Cx kT T T ββ----+
≤
定后纹波的表达式。

如果频率偏高，执行机构的使用寿命受到限制，但是采样周期又不能无限制的增大，因为采样周期增大，纹波会增大，周期太大系统还会不稳定。

因此可根据实际的工况，合理选择参数的范围把纹波与稳态值的比例控制在一定的范围里。

参考文献
[1]肖扬 ,曹天鹏 ,梁满贵.区间矩阵多项式的Hurwitz与Schur鲁棒稳定性[J]. 北方交通大学学报，2002，26 (2)：1-6.
[2] 李永伟,韩金舫.关于区间矩阵Hurwitz与Schur稳定之间的关系[C].中国自动化学会.全国第九届自动化新技术学术交流会论文集.2004年.
[3]程学庆等.LabVIEW图形化编程与实例应用[M]. 北京:中国铁道出版社，2005.
[4]向学军等.基于LabVIEW SIT的过程控制系统仿真[J]. 三峡大学学报(自然科学版) ，2006，
28(4)：328-330.
纵慧慧，女，1984 年出生，硕士研究生，从事控制理论应用研究。

郝继飞，男，1955 年出生，教授，从事控制理论应用研究。

邢青青，女，1983年出生，硕士研究生，从事控制理论应用研究。

Study ripple of PWM control system
Zong Hui-hui ，Hao Ji-fei， Xing Qing-qing
(College of Information and Electrical Engineering ,University of Mining and Technology,Jiangsu Xuzhou 221008 China)
Abstract: In this paper, the PWM system’s mathematical model is made use of to analyse the causes of ripple. The relationship between the ripple expressions and various parameters of PWM controller can be derived .Then applying the LABVIEW software to simulate the first- order inertia process of PWM control system .By changing the period T to explanation the ripple change situation.
Key words:PWM Ripple LABVIEW Simulation。