山东省淄博六中2013-2014学年高二上学期期末考试 理科数学 Word版含答案.pdf

淄博六中12级第一学期学分认定模块考试
高二 第一学段 数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。

第Ⅰ卷 60分
一．选择题（每小题5分，12小题共60分）
1.已知数列{an}的前4项分别为2,0,2，0，…，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( )
A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝2sin
C．an＝1－cos nπ D．an＝
给出下列命题：a>b?ac2>bc2；a>|b|?a2>b2；a>b?a3>b3；|a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( )
A． B．C． D．
3.△ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
在ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于( )
A．2　B．12　C．2 D．28
设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为T，则T2 013的值为( )
A．－ B．－1C. D．2
下列命题中，真命题是( )
A．x0∈，sin x0＋cos x0≥2B．x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1
C．x0∈R，x＋x0＝－1D．x∈，tan x>sin x
“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<xb>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B. C. D.
12.数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为( )
A．470 B．490C．495 D．510
二．填空题（每题4分，4小题共16分）
13.若抛物线x2＝ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为________．
在ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则ABC的面积为________．
数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n＋1它的通项公式an ________． 已知实数x，y满足若z＝ax＋y的最大值为
3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为________．
17.（本小题12分）
(1)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(m，n>0)上，求＋的最小值；
(2)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
已知命题p：方程x2－(2＋a)x＋2a＝0在[－1,1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2＋2ax＋2a≤0成立．若命题“pq”是真命题，求a的取值范围．
如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点
C，测得CAB＝75°，CBA＝45°，且AB＝100 m．求该河段的宽度．
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝kSn＋2(nN*)，且a1＝2，a2＝1.
(1)求k的值；{Sn－4}
(3)是否存在正整数m，n，使得0，a≠1)的图象恒过定点A，∴A(1,1)．……………..2分
又点A在直线mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)上，∴m＋n＝1(m>0，n>0)．∴＋＝(m＋n)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当
m＝n＝时，等号成立，∴＋的最小值为4…………………………………………6分
(2)∵ab＝a＋b＋3，又a，b∈(0，＋∞)，
∴ab≥2＋3.设＝t>0，………………………………………..…..8分
∴t2－2t－3≥0.∴t≥3或t≤－1(舍去)．
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．…………………………………………..12分
18 解：由x2－(2＋a)x＋2a＝0，得(x－2)(x－a)＝0，
∴x＝2或x＝a…………………………………………………..2分
又方程x2－(2＋a)x＋2a＝0在[－1,1]上有且仅有一解，
∴－1≤a≤1. ……………………………………….4分
∵存在实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，
∴Δ＝4a2－8a≥0，解得a≤0或a≥2. ……………………………………….8分
又∵命题“p∧q”是真命题，∴命题p和命题q都是真命题．…………….10分
∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．………………………………………..12分
19. 解：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.
由正弦定理得＝，
∴BC＝.………………………………6分
如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河
段的宽度．
在Rt△BDC中，
∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝，
∴BD＝BCsin 45°＝·sin 45°＝×＝ m，……..10分
∴该河段的宽度为 m. ………………………………………..12分
20. 解(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x. ………………………………………..6分
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4， 从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2. ………………………………………..12分
21. 解：(1)由条件Sn＋1＝kSn＋2(n∈N*)，得S2＝kS1＋2，即a1＋a2＝ka1＋2，
∵a1＝2，a2＝1，∴2＋1＝2k＋2，得k＝.………………4分
（2）定义证明数列{Sn－4}是首项为－2，公比为的等比数列．
∴Sn－4＝(－2)·n－1，即Sn＝4(n∈N*)．………………8分
(3)由不等式<，得<，即<.
令t＝2n(4－m)，则不等式变为<，
解得2<t<6，即2<2n(4－m)<6. ………………10分
假设存在正整数m，n，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m为整数，
则只能是2n(4－m)＝4，∴或
解得或
于是，存在正整数m＝2，n＝1或m＝3，n＝2，
使得<成立．………………13分
22. 解:（Ⅰ）有题意， ………………2分
整理得，所以曲线的方程为………………4分
（Ⅱ）显然直线的斜率存在，所以可设直线的方程为.
设点的坐标分别为
线段的中点为，
由
得
由解得．…(1) …………8分
由韦达定理得，于是=， ……………10分
因为，所以点不可能在轴的右边，
又直线,方程分别为
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为
即 亦即 ………………12分
解得， (2)
由（1）（2）知，直线斜率的取值范围是………………13分 。