二次根式的概念与性质培优讲义

第3讲 二次根式的概念与性质

(一) 二次根式

一、复习

1、什么叫平方根？开平方？

2、平方根如何表示？

3、求以下各数的平方根：

4、求以下各数的正平方根： 〔1〕4； 〔2〕0.16； 〔3〕925

. 〔1〕225; 〔2〕0.0001； 〔3〕1681.

二、二次根式的意义

1. 二次根式的意义

代数式______________叫做二次根式，读作______________,其中__________是被开方数. 通常把形如_________________的式子也叫做二次根式. 2．二次根式何时有意义

二次根式有意义的条件是___________________________. 3. 例题

例题1 以下各式是二次根式吗？

2、

3

2

、2-、 12+a 、)0(<b b

例题2 设x 是实数，当x 满足什么条件时，以下各式有意义？

〔1〕12-x ； 〔2〕x -2； 〔3〕

x

1

； 〔4〕21x +.

4．练习〔一〕

设x 是实数，当x 满足什么条件时，以下各式有意义？

〔1 〔2 〔3

三、二次根式的性质

性质1：______________________; 性质2：________________________________;

性质3：______________________; 性质4：________________________________.

例题3 求以下二次根式的值：

〔1〕2

)3(π-； 〔2〕122+-x x ，其中3-=x .

例题4 化简二次根式

〔1 〔2 〔3)0x ≥；

〔4 〔5 〔60)b >

例题5 设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：2

2)()(a c b c b a --++-

练习〔二〕：1、化简以下二次根式

〔1 〔20)x ≥； 〔30)n ≥；

〔4 〔5； 〔6〕

2、选择题

〔1〕、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，那么=---2

2)1()1(a b 〔 〕

A 、b-a

B 、2-a-b

C 、a-b

D 、2+a-b

· · ·

· a

b 0 1

〔2〕、化简2

)21(-的结果是〔 〕

A 、21-

B 、12-

C 、)12(-±

D 、)21(-± 〔3〕、如果

2

1

2

1--=

--x x x x ，那么x 的取值范围是〔 〕 A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞2

(二) 最简二次根式和同类二次根式

1、最简二次根式符合的两个条件：

〔1〕_________________________________________________; 〔2〕_________________________________________________. 例题6 判断以下二次根式是不是最简二次根式：

〔1〔2〔3〔41)a ≥-

例题7 将以下二次根式化成最简二次根式：

〔1)0y >；

〔2)0a b ≥≥；

〔3)0m n >>

2、练习〔三〕

〔1〕判断以下二次根式中，哪些是最简二次根式：

〔2〕找出以下二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：

))

00a y >>

〔3〕将以下各二次根式化成最简二次根式：

)))000b x y p q >>>>>

3、同类二次根式

几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.

例题8 以下二次根式中，哪些是同类二次根式？

))

0,0a a >>

例题9 合并以下各式中的同类二次根式：

〔1〕323

132122++-

； 〔2〕xy b xy a xy +-3

4、练习〔四〕

〔1〕判断以下各组中的二次根式是不是同类二次根式：

B. )0;x ≥

))00a y >>

〔2〕合并以下各式中的同类二次根式：

A.-

B.

达标训练

二次根式的概念及性质

一、选择题

2)3(-的结果是〔 〕

(A)9 (B)±3 (C)3 (D)-3

2．以下各式中不是二次根式的是 〔 〕

〔A 〕12

+x 〔B 〕4- 〔C 〕0 〔D 〕()2b a -

3．x 〔 〕

〔A 〕x ＞

45 〔B 〕x ＜54 〔C 〕x ≥54- 〔D 〕 x ≤5

4- 4．使代数式8a a -+有意义的a 的范围是〔 〕

〔A 〕0>a 〔B 〕0<a 〔C 〕0=a 〔 D 〕不存在

5．以下代数式中，x 能取一切实数的是〔 〕 (A)

x

1 (B)42

+x (C)x 3 (D)1—x