Ch12-平稳随机过程

例 2 . 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f
1 2
， 0 2
试讨论平稳性
sol . X t 0 E X t X t E a a a
2
a R X t1 , t 2 Cos R X 2 随机相位正弦波为(宽 )平稳 sp
p p

T T
U x X t dt P X t x F1 x — — 分 布 函 数 各 态 历 经
p
(4).(1) 和 (2) — — 平 稳 过 程 各 态 历 经
例1 讨论随机相位正弦波的平稳性和各态历经性
1 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f ， 0, 2 2 sol. 1: 平稳性

Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n
2.严平稳过程的分布与数 字特征 1：一维分布 ，F1 x; t1 F1 x; t1 , f1 x; t1 f1 x;0 f1 x — —与 t 无关 则均值： EX t1 x1 f1 x1; t dx1 x1 f1 x dx1 X
( ) I e I 2 e 2 k 0关 ， 故 若 τ<0 时 ， 只 需 令 t ’=t+ τ，则有 E[X(t)X(t+τ)] =E[X(t`)X(t`+ τ )]= I2 e-2λ∣τ∣
图12-2
故这一过程的自相关函数为 E[X(t)X(t+τ)]= I2e-2λ∣τ∣ 它只与τ有关。因此随机电报信号X(t)是 一平稳过程。其图形如上图所示
记
— —常数
2 2 2 2 t X t X 同样X ； X
F 2 x 1 , x 2 ; t1 , t 2 F 2 x 1 , x 2 ; t1 , t 2 f 2 x 1 , x 2 ; t1 , t 2 则自相关函数 R X t 1 , t 2 E X t 1 X t 2

t T
t
s d
s d
T 0
X
常数
自相关函数 R X t , t E s t s t
t

T
0
1 s t s t d T
1 t T 1 T s s d s s d R X t T T 0 2 t 时， X t 为宽平稳的 在X
若X t 与Y t 联合平稳，则Z t 平稳
常数 0， RVA, 相互独立，且 A ~ f A a , ~ f 1 f , 0,2 . 讨论过程的平稳性 2 sol . , n整数， t1...t n , t1 ,..., t n T
t1 t 2 t1
2.二维分布


f 2 x1 , x 2 ;0 , f 2 x1 , x 2 ;
记
— —仅与时间间隔有关

x

1
x 2 f 2 x 1 , x 2 ; t 1 , t 2 d x 1 dx R X
2
x
{X(t)X(t+τ)= I2} 的概率为P(A0)+P(A2)+P(A4)+…； 而事件 {X(t)X(t+τ)=–I2} 的概率为P(A1)+P(A3)+…；于是
E[ X (t ) X (t )] I P( A2 k ) I P( A2 k l )
2 2 k 0 k 0
第一节 平稳随机过程的概念
• 平稳随机过程的特点是—— 过程的统计特性不随时间的推移而变化. 严格的讲，如果对于任意实数h和任意的 n ( = 1,2, … ), t1, t2, …, tn∈T ， 当 t1+h, t2+h, …, tn+h ∈T 时， n维随机变量 {( X(t1),X(t2),…, X(tn)}) 和 {X(t1+h), X(t2+h), …, X(tn+h ) } 具有相同的分布函数，则称随机过程 {X(t), t∈T} 具有平稳性，并同时称过程为严平稳随机 过程，或简称严平稳过程。
2.各态历经性
设 spX t 平 稳 (1) X t E X t X ——均值各态历经 (2) X t X t E X t X t R X — — 自 相 关 函 数 各 态 历 经 1 (3) lim T 2T
例4 随机电报信号
信号 X(t) 只取 +I 或 –I 的 电流给出（右图画出了 X(t)的一条样本曲线）。 这里 P{X (t) = +I}= P{X (t) =–I} =1/2; 而正负号在区间(t,t+ τ )内变化的次数N(t,t+ τ)是随机的,且假设N(t，t+τ)服从泊松分布， 亦即事件
例1. 设spX t ASint ，t T。其中 T ,
[分析] f n x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n Gn v1 ,..., vn ; t1 ,..., t n 若能推出 Gn V ; t Gn V ; t
Ak △{N(t,t+τ)=k} 的概率为
( ) k P ( Ak ) e , k 0 ,1, 2 , k!
其中λ>0是单位时间内变号次数的数学期望。试 讨论X(t)的平稳性。 解： 显然E[X(t)]=0. 现在来计算E[X(t)X(t+τ)],先设τ>0 ，我们注 意，如果电流在[t,t+τ]内变号偶数次，则X(t) 和X(t+τ)必同号且乘积为I2；如果变号奇数次， 则乘积为–I2。 因为事件
f n x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n Gn v1 ,..., vn ; t1 ,..., t n
则能有 f n X ; t f n X ; t
G n v1 ,..., v n ; t1 ,..., t n E exp j v i X t i
2
为周期函数， f sol .
例3 .随机相位周期过程 X t s t ，其中 t , s t s t T
1 T
,0 T ，讨论它的平稳性
均值 E X t E s t 1 T

T
0
t 1 1 s t d T T
两个spX t 、Y t 联合平稳 ： ,..., t m FXY Fm n x1 ,..., xn，t1 ,..., t n ; y1 ,..., ym，t1 ,..., t m Fm n x1 ,..., xn，t1 ,..., t n ; y1 ,..., ym，t1 复过程平稳 ：设Z t X t jY t ，
第十二章 平稳随 机过程
•
平稳随机过程是一类应用相当广泛的随机 过程。本章在介绍平稳过程概念之后，着重在 二阶矩过程的范围内讨论平稳过程的各态历经 性﹑ 相关函数的性质以及功率谱密度函数和它 的性质。
• • • •
§1 §2 §3 §4
平稳随机过程的概念 各态历经性 相关函数的性质 平稳随机过程的功率谱密度


1
x 2 f 2 x 1 , x 2 ; d x 1 dx
2

— —仅与时间间隔有关 这样
2 X
C X ＝ R X
R X 0
2 X
2 X
C X 0
如果 Fk x1 ,..., x k ; t1 ,..., t k Fk x1 ,..., x k ; t1 ,..., t k — — k 阶平稳 k 2 — —二阶平稳
§2.2 平稳过程的各态历经性
思想：时间平均——统计平均 1：合理性 2：可行性
一 .各态历经性，设 spX t 1 T 1 .时间平均 X t lim X t dt T T 2T 1 T X t X t lim X t X t dt T 2T T
二.宽平稳过程、广义平稳过程：
若spX t 满足下面条件，则X t 为宽平稳过程 1) E X t X 3) E X 2 t 2) E X t X t RX


两个spX t 、Y t 联合平稳：RXY E X t Y t 关系：一般，严平稳 宽平稳 正态sp，严平稳 宽平稳
X t 的 n 维特征函数，对
t i T ， i 1, 2 ,..., n


e
A
j v i aSin t i

f A a , dad
j v i aSin t i
f A a da
A
2
0
1 2
e

d d


f A a da
2 j
2

1 2
e
j v i aSin t i


A 0 j
vi X ti Ee G n V ; t

vi X ti e f A a 21 dad
2 t
例1设{Xk,k=1,2,…}是互不相关的随机变量序列， 且E[Xk]=0，E[Xk2]=σ2，则有
Rx (k , l ) E[ X k X l ] 0
2
, k l. , k l.
即相关函数只与k-l有关，所以它是宽平稳的随机 序列。如果X1,X2,…Xk,…又是独立同分布的，则易 证序列也是严平稳的。
数学表示 一、严平稳
1.定义： Fn x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n Fn x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n 即f n x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n f n x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n 或(时间离散 ) Fn x1 ,..., xn Fn x1 k ,..., xn k 则称 spX t 为严平稳过程 或pn x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n pn x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n ti , ti T，i 1,2,..., n，spX t 任n维分布函数