北师大版九年级数学上册 第1章 1.2 《矩形的判定》 同步测试(含答案)

北师版九年级数学上册第一章特殊平行四边形
1.2矩形的判定
同步测试
题号一二三总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AC＝BD D．AB＝BC
2．如图所示，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是其边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形EFGH是矩形，则下列说法正确的是( )
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD一定是平行四边形
C．AC⊥BD
D．AC＝BD
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE
B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90°
D．CE⊥DE
4．下列四边形不是矩形的是( )
A．有三个角都是直角的四边形
B．四个角都相等的四边形
C．一组对边平行，且对角相等的四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形
5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是()
A．AO＝OC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC
6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，要使▱ABCD为矩形，则OB的长为()
A．4 B．3 C．2 D．1
7.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有() A．1组B．2组C．3组D．4组
8. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是()
A．∠BAC＝90° B．BC＝2AE
C．ED平分∠AEB D．AE⊥BC
9．如图1－2－26，已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是四边的中点，若使四边形EFGH是矩形．则需要再满足的条件是()
A．AC＝BD B．BC∥AD
C．AB=BC D．AC⊥BD
10. 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝ 3.则四边形ABCD的周长是()
A．3-1
B．1＋3
C．2（3-1）
D．2(1＋3)
第Ⅰ卷（非选择题）
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11. 如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件：______________________________________，使四边形ABCD为矩形．
12. 在平面直角坐标系中，A点坐标为(2，0)，B点坐标为(0，1)，要使四边形BOAC为矩形，则C 点的坐标为____________．
13．在四边形ABCD中，如果∠A＝90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC，BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B＝∠C＝90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有____．(填序号)
14. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是_________.
15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为.
16．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求；
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC 满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．
三．解答题（共7小题，46分）
19．(6分)如图，在▱ABCD中，M是边AB的中点，且∠AMD＝∠BMC，求证：四边形ABCD是矩形．
20. (6分) 如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．
求证：四边形EFGH为矩形．
21. (6分)如图，已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB，CB和AD，CD分别相交于点B，D，连接BD，试写出线段AC和BD之间的数量关系，并说明理由.
22．(6分) 如图，DB ∥AC ，且DB ＝1
2AC ，E 是AC 的中点．
(1)求证：BC ＝DE ；
(2)连接AD ，BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则需给△ABC 添加什么条件，为什么？
23．(6分) 如图,在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC. (1)试猜想AE 与BF 有何关系,说明理由;
(2)当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由.
24．(8分) 如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB ，外角∠ACD 的平分线于点E ，F. (1)若CE ＝8，CF ＝6，求OC 的长；
(2)连接AE ，AF ，问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．
25．(8分) 如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝_________时，四边形BECD是矩形．
参考答案 1-5 CCBCB 6-10 BBDDD
11. B ＝90°或∠BAC ＋∠BCA ＝90° 12. (2，1) 13. ①② 14. 23 15. 12 16. 等于
17. 答案不唯一，如∠BAC ＝90° 18. EB=DC
19. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，AB ∥CD ，
∴∠A ＋∠B ＝180°，∠AMD ＝∠CDM ，∠BMC ＝∠DCM. 又∵∠AMD ＝∠BMC ，∴∠CDM ＝∠DCM ，∴MD ＝MC.
又∵M 是AB 的中点，∴MA ＝MB ，∴△AMD ≌△BMC(SAS)，∴∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠B ＝90°，∴▱ABCD 是矩形
20. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.
∵AF ，DF 分别平分∠DAB ，∠ADC ， ∴∠FAD ＝12∠DAB ，∠ADF ＝1
2∠ADC.
∴∠FAD ＋∠ADF ＝1
2(∠DAB ＋∠ADC)＝90°.
∴∠AFD ＝90°.
同理可得∠BHC ＝∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是矩形 21. 解：AC ＝BD ，理由如下：
∵AB 平分∠MAC ，CB 平分∠PCA ，∴∠BAC ＝12∠MAC ，∠ACB ＝1
2∠ACP.
又∵MN ∥PQ ，∴∠MAC ＋∠ACP ＝180°，
∴∠BAC ＋∠ACB ＝12(∠MAC ＋∠ACP)＝1
2×180°＝90°，∴∠ABC ＝90°.
同理可得∠ADC ＝90°.∵AB 平分∠MAC ，AD 平分∠NAC ，
∴∠BAD ＝1
2
(∠MAC ＋∠NAC)＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD
22. 证明：(1)连接AD ，BE ，∵E 是AC 中点，∴EC ＝12AC.∵DB ＝1
2AC ，∴DB ＝EC. 又∵DB ∥EC ，
∴四边形DBCE 是平行四边形．∴BC ＝DE
(2)添加AB ＝BC.理由：∵DB AE ，∴四边形DBEA 是平行四边形．∵BC ＝DE ，AB ＝BC ，∴AB ＝DE.∴平行四边形DBEA 是矩形 23. 解: (1)AE ∥BF,AE=BF.
理由:∵△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC, ∴△ABC ≌△FEC, ∴AB=FE ∠ABC=∠FEC ∴AB ∥FE
∴四边形ABFE 为平行四边形 ∴AE ∥BF,AE=BF
(2)当∠ACB=60°时,四边形ABFE 为矩形. 理由:∵∠ACB=60°,AB=AC, ∴△ABC 是等边三角形,∴AC=BC, 结合旋转的性质,可得AC=BC=CE=CF, ∴AF=BE,∴四边形ABFE 是矩形.
24. 解：(1)证明：∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ， ∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠DCF.
又∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠DCF ，∴∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ， ∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF.
∵∠OCE ＋∠BCE ＋∠OCF ＋∠DCF ＝180°，∴∠ECF ＝90°， ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝1
2
EF ＝5
(2)当点O 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形． 理由：连接AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ， ∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形
25. (1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝CD ，∴∠OEB ＝∠ODC ，又∵O 为BC 的中点，∴BO ＝CO ，在△BOE 和△COD 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，
∴△BOE ≌△COD(AAS)，∴OE ＝OD ，∴四边形BECD 是平行四边形 (2)解：若∠A ＝50°，则当∠BOD ＝100°时，四边形BECD 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BCD ＝∠A ＝50°，∵∠BOD ＝∠BCD ＋∠ODC ，∴∠ODC ＝100°－50°＝50°＝∠BCD ，∴OC ＝OD ，∵BO ＝CO ，OD ＝OE ，∴DE ＝BC ，∵四边形BECD 是平行四边形，∴四边形BECD 是矩形。