1 人口增长 连续模型

公式(4)能非常准确地反映了在1700-1961年间世 界估计人口总数,
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但当t=2510年, t=2635年, t=2670年,
x = 21014 (2万亿),
x = 1.81015 (18万亿), x = 3.61015 (36万亿),
显然,这些数字说明马尔萨斯人口模型对长期的 预测是不正确的.
看来为了使人口预报,特别是长期预报更好地符 合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率 是常数这个基本假设.
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荷兰生物学家Verhulst引入常数 xm ,用来表示
自然资源和环境条件所允许的最大人口,并假定人
口增长率
r(t, x(t)) r(1 x(t))
(5)
xm
即人口增长率随着 x(t) 的增加而减少,当 x(t) xm
时，人口增长率趋于零．
其中： r, xm 是根据人口统计数据或经验确定的常数;
因子
(1
x(t) )
xm
体现了对人口增长的阻滞作用.
由此得：Logistic模型
dx
dt
r(1
x )x xm
(6)
x(t ) |tt0 x0
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解之得：x(t )
xm
(7)
1 ( xm 1)er(tt0 )
x0
根据(6), (7)两式可画出 x ~ t
基本假设 人口增长率是常ຫໍສະໝຸດ Baidu,
或者说,单位时间内人口的增长量与当时人口成正比.
在（1）式中令r(t, x(t)) =r(常数) 得
dx(t) r x(t)
(2)
dt
x(t) t t0
x0
其解:
x(t )
x er(tt0 ) 0
(3)
4
dx(t) r x(t) dt
(2)
x(t) t t0
际数据比较，直到1930年计算结果都相吻合，后来的
误差越来越大，一个明显原因是到1960年美国实际人
口已突破了过去确定最大人口 xm 。
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这个模型改进了Mslthus模型，但不易准确得
到 xm ，事实上，随着生产力的发展和人们认识能
力的改变， xm也是可以改变的。
关于人口模型这方面的内容是很丰富的，我国学 者为了解决我国人口迅速增长的问题，作了大量的 调查研究，建立了不少的人口模型，为我国政府指 定相应的人口政策提供依据。
初看起来人口增长是按整数变化的,不是时间 的可微函数,是不能用微分方程来描述的.但是若 人口总数很大时,可以近似认为它是时间的连续函 数,甚至是可微的函数.所以人口增长可以用微分 方程来描述.
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设 x(t) , r(t, x(t))表示t时刻人口总数和增长率,
只考虑增长率,其它因素的影响不考虑.
则在t至t+t 这段时间内人口总数增长为
人口增长的连续模型
人口问题是当今世界人们最关心的问题之一, 从我们建国以来的历史和当前的现实已经证明. 这个问题也是我们国家必须认真思考和慎重对待 的重大问题.过去曾认为人多好办事,对呼吁人口 增长的经济学家马寅初错误地开展批评,结果造 成人口超过13亿,背上了沉重的包袱.因此要实现 四个现代化,应有效地控制人口增长,就必须制定 正确的人口政策,为此就要建立人口增长的数学 模型,用以描述人口增长过程,通过分析对人口增 长进行预测,制定相应的人口政策以控制人口增 长.
由上可以看出,马尔萨斯人口增长模型对17001961年的人口总数是对的,但对未来的人口总数预 测不正确,应予以修正.
二、logistic模型(阻滞增长模型)
由上面分析,马尔萨斯人口模型对1700-1961年 间人口总数的检验是对的,而未来的人口总数预测 又是错的,原因何在?
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产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加, 自然资源,环境条件等因素对人口继续增长的阻滞 作用越来越显著.如果当人口较少时(相对于资源而 言),人口增长率还可以看作常数的话,那么当人口增 加到一定数量后,增长率就会随着人口的继续增加 而逐渐减少,许多国家人口增长的实际情况完全证 实了这一点.
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影响人口增长的因素很多,人口的多少,出生率 的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况, 工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害, 战争,人口迁移等等.如果一开始把众多因素全考虑, 则无从下手.我们先把问题简化,只考虑影响人口的 主要因素—增长率(出生率减去死亡率),其余因素 暂不考虑,建立一个较粗的数学模型.在这个模型的 基础上逐步考虑次要因素的影响,从而建立一个与 实际更加吻合的数学模型.
x(t t) x(t) r(t, x(t)) x(t) t
两端同除以t ,并令 t 0 ,得
dx r(t, x(t)) x(t)
(1)
dt
我们将逐步深入讨论上面这个模型
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一,马尔萨斯(malthus)模型(指数增长模型)
英国人口学家马尔萨斯(1766—1834)根据百余 年的人口统计资料,于1798年提出了著名的人口指数 增长模型.
x0
(2)式是一个线性方程,称为马尔萨斯人口模型,人
口以 e r 为公比,按几何级数增加.
据统计,1961年世界人口总数为3.06 109 , 而在
此之前的十来年间人口按每年2%的速率增长.因此
t0 1961, x0 3.06 109 , r 0.02
x(t ) 3.06 109 e0.02(t1961) (4)
图如: 图1及图2：
和 dx ~ x 曲线 dt
图1
图2
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表示如人图口1,增长ddxt率~
x dx
是一条抛物线，他
随着人口数量的 x
增加而先增后减，dt在 x xm处达到最
大值。
2
s 如图2， x ~ t 是一条 型曲
线 ，拐点在 x xm 处，当 t
时，
2
x xm
本世纪初人们曾用这个模型预报美国人口，与实
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