2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练

2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角
函数的基本关系与诱导公式增分练
1．[xx·洛阳模拟]下列各数中与sinxx°的值最接近的是( ) A.12 B.32 C ．－12
D ．－
32
答案 C
解析 xx°＝5×360°＋180°＋39°， ∴sinxx°＝－sin39°和－sin30°接近．选C.
2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2，则θ等于( )
A ．－π6
B ．－π3
C.π6
D.π3 答案 D
解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π
3
.
3．[xx·华师附中月考]已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝
( )
A.4
5 B ．－4
5
C.35 D ．－35
答案 B
解析 tan(α－π)＝34⇒tan α＝3
4
.
又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2，所以α为第三象限的角，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 4．已知f (α)＝π－α
π－α－π－α
α
，则f ⎝
⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( ) A.1
2 B ．－13
C ．－12
D.13
答案 C
解析 ∵f (α)＝sin α·cos α
－cos αtan α
＝－cos α，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12. 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( )
A.1
3 B ．－13
C ．－223
D.223
答案 B
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.选B. 6．已知tan x ＝2，则sin 2
x ＋1的值为( ) A ．0 B.95 C.4
3 D.53
答案 B
解析 sin 2
x ＋1＝2sin 2
x ＋cos 2
x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2
x ＋1tan 2
x ＋1＝9
5
.故选B. 7．[xx·福建泉州模拟]已知1＋sin αcos α＝－12，则cos α
sin α－1
的值是( )
A.12 B ．－1
2
C ．2
D ．－2
答案 A
解析 因为1－sin 2
α＝cos 2
α，cos α≠0,1－sin α≠0，所以(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝1
2
.故选A.
8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )(a <0)，则cos ()540°－α的值是________．
答案 3
5
解析 c os(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cos α.因为a <0，所以r ＝－5a ，所以cos α＝－35，所以cos(540°－α)＝－cos α＝35
.
9．[xx·北京东城模拟]已知sin θ＋cos θ＝7
13，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.
答案 －12
5
解析 解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1，
得
⎩⎪⎨⎪
⎧
sin θ＝1213
，
cos θ＝－513
或⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＝－513
，
cos θ＝12
13
(舍)．
故tan θ＝－12
5
.
10．[xx·淮北模拟]sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________． 答案 －33
4
解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ( －π－π3 )＝ ⎝
⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 1．[xx·湖北荆州联考]若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 B
解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π
2
－A ＞0，∴sin A ＞
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－A ＝cos A ，
∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．选B.
2．[xx·新乡模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin θcos θ＝3716，则sin θ＝( )
A.3
5 B.45 C.74
D.34
答案 D
解析 ∵sin θcos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2
＝1＋2sin θcos θ＝8＋378，(sin θ－
cos θ)2
＝1－2sin θcos θ＝
8－37
8
，
∵θ∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②
得，sin θ＝3
4
.
3．已知cos(75°＋α)＝5
13，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的
值为________．
答案 －17
13
解析 因为cos(75°＋α)＝5
13>0，α是第三象限角，
所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－1－cos
2
＋α
＝－1213
.
所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)
＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713
.
4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°. 解 原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan 945° ＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225° ＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝
32×32＋12×1
2
＋1＝2. 5．[xx·南京检测]已知f (α)＝
π－α
π－α
⎝
⎛⎭⎪⎫－α＋3π2
cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－α－π－α
.
(1)化简f (α)；
(2)若α是第三象限角，且cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝
π－α
π－α
⎝
⎛⎭⎪⎫
－α＋3π2
cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－α－π－α
＝
sin αcos α－sin α
sin αsin α
＝－cos α.
(2)因为α是第三象限角，且cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，sin α＝－15.所以cos α＝－
1－sin 2
α＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－152
＝－265.所以f (α)＝－cos α＝265.
2019年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量
词与存在量词讲义
分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.
五年高考
考点一简单的逻辑联结词
(xx湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).
答案②③
考点二全称量词与存在量词
1.(xx课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.
答案∀n∈N,n2≤2n
2.(xx山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.
答案 1
3.(xx重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.
答案存在x0∈R,使得<0
4.(xx四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p 为.
答案∃x∈A,2x∉B
三年模拟
A组xx模拟·基础题组
考点一简单的逻辑联结词
1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.
①p且q;②p或q;③ ;④p且q.
答案②
2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是. 答案p假q假
3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:
①p或q是真命题;②p且q是真命题;
③p且q是假命题;④p或q是假命题.
其中真命题是.
答案①③
考点二全称量词与存在量词
4.(xx江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.
答案(2,+∞)
5.(xx江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.
答案∃x0∈R,+2x0+5≤0
6.(xx江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则p: .
答案∀x∈R,x2+ax+1≥0
B组xx模拟·提升题组
(满分:30分时间:15分钟)
一、填空题(每小题5分,共15分)
1.(xx江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.
答案(-∞,1]
2.(xx江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).
(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;
(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;
(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;
(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.
答案(2)(4)
3.(xx江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.
答案(2,+∞)
二、解答题(共15分)
4.(xx江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.
(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,
因为a>0,所以a<x<3a,
当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.
<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,
即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.
若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.
(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,
则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.
C组xx模拟·方法题组
方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p 或q”“ ”形式的命题中的真命题是.
答案p或q,p且q
2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ ”形式的命题的真假.
(1)p:6<6,q:6=6;
(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;
(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,
q:不等式x2+x+2<0无解;
(4)p:函数y=cos x是周期函数,
q:函数y=cos x是奇函数.
解析(1)∵p为假命题,q为真命题,
∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.
(2)∵p为假命题,q为假命题,
∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.
(3)∵p为真命题,q为真命题,
∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.
(4)∵p为真命题,q为假命题,
∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题.
方法2 全称(存在性)命题真假的判定
3.下列命题中的真命题的个数是.
①∃x∈R,使得sin x+cos x=;
②∃x∈(-∞,0),2x<3x;
③∀x∈(0,π),sin x>cos x.
答案0
4.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.
①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧ ”是假命题;
③命题“ ∨q”是真命题;
④命题“ ∧ ”是假命题.
答案④
方法3 全称(存在性)命题的否定
5.(xx江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,sin x>0”的否定是.
答案∃x∈,sin x≤0
6.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.
答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3
7.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:
(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;
(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.
解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.
(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.
方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题
8.(xx江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.
答案(-∞,-2)∪(2,+∞)
9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.
解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,
∴m≥2,即p:m≥2;
若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,
则Δ=16(m-2)2-16<0,
解得1<m<3,
即q:1<m<3.
因为p或q为真,p且q为假,
所以p、q一真一假,
当p真q假时,
解得m≥3.
当p假q真时,
解得1<m<2.
综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。