三次函数的性质及在高考中的应用(附解答)

三次函数的性质及在高考中的应用

一、三次函数的常用性质

性质1：函数y ax bx cx d a =+++320()≠，

若a >0，当∆≤0时，y ＝f(x)是增函数；当∆>0时，其单调递增区间是(][)-∞+∞，，x x 12，单调递增区间是[]x x 12，；

若a <0，当∆≤0时，y f x =()是减函数；当∆>0时，其单调递减区间是(]-∞，x 2，[)x 1，+∞，单调递增区间是[]x x 21，。

推论：函数y ax bx cx d a =+++320()≠，当∆≤0时，不存在极大值和极小值；当∆>0时，有极大值f x ()1、极小值f x ()2。

根据a 和∆的不同情况，其图象特征分别为：

性质2：函数y ax bx cx d a =+++320()≠是中心对称图形，其对称中心是（-

-b a f b a

33，()）。

二、三次函数的性质在高考中的应用

高考试题对三次函数主要考查：函数图象的切线方程，函数的单调性，函数的极值，函数的最值，证明不等式，函数零点的个数等。

1.(2004重庆卷)设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =--> (1)求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; (2)若不等式12()()0f x f x +≤恒成立，求a 的取值范围。

2. (2008福建卷)已知函数3

21()23

f x x x =

+-. (1)设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点2

11(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求

证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上； (2)求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值.

3.（2006天津卷）已知函数()θθcos 16

3

cos 342

3

+

-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤． (1)当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；

(2)要使函数()x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； (3)若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围．

4.（2007全国二理）已知函数3()f x x x =-．

（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；

（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．

5. (2007湖南文）已知函数32

11()32

f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （1）求2

4a b -的最大值；

（2）当2

48a b -=时，设函数()y f x =在点(1

(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．

6.（2009福建卷理）已知函数3

21()3

f x x ax bx =

++,且'(1)0f -= （1）试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；

（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ),

12x m x

（I ）若对任意的m ∈(t, x 2]，线段MP 与曲线f(x)均有异于M ，P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论； （II ）若存在点Q(n ，f(n)), 1x n

m ?，使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值

范围（不必给出求解过程）

例题解答

1．解：（I ）.)1(23)(2a x a x x f ++-='

)(,;0)(,;

0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.

0)1(230)(221121212

122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令

因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.

（II ）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f

.

0)(]2))[(1(]3))[((.

0)())(1(21212

212122121212

2213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即

又由（I ）知

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+=+.3),1(3

22121a x x a x x 代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得

.

0)()(,2,)

(2

1

2.

0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得

≤+≥≤

≥≥+-x f x f a a a a a

2． (Ⅰ)证明：因为3

21()2,3

f x x x =

+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +

++-∈在函数y =f ′(x )的图象上,

又0(N ),n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---= 所以2(1)

32=22

n n n S n n n -=+

⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.

(Ⅱ)解:2

()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.

当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: