高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结

高中数学立体几何与空间向量知识点归纳
总结
立体几何与空间向量知识点归纳总结
一、立体几何知识点
1、柱、锥、台、球的结构特征
1) 棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。

棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱平行且长度相等。

若侧棱垂直于底面，则为直棱柱；若底面是正多边形，则为正棱柱。

2) 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。

平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。

3) 棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。

上下底面平行且是相似的多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。

4) 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其
余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。

底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。

5) 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，
旋转一周所围成的几何体叫圆锥。

底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。

6) 圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆台。

上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇环形。

7) 球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆
面旋转一周形围成的几何体叫球。

球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、柱体、锥体、台体的表面积与体积
1) 几何体的表面积为各个面的面积之和。

2) 特殊几何体表面积公式：
直棱柱侧面积=底面周长×高
圆锥侧面积=π×底面半径×母线
正棱台侧面积=(上底+下底+侧棱)×高/2
圆柱侧面积=2π×底面半径×高
正棱锥侧面积=(底面周长1+底面周长2+侧棱)×高/2
圆台侧面积=(上底半径+下底半径)×母线×π/2
圆柱表面积=2π×底面半径×(底面半径+高)
圆锥表面积=π×底面半径×(底面半径+母线)
圆台表面积=π×(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半
径×(上底半径-下底半径)/母线)
3) 柱体、锥体、台体的体积公式：
直棱柱体积=底面积×高
圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高
圆锥体积=底面积×高/3=π×底面半径²×高/3
圆台体积=底面积×高/3=(上底半径²+下底半径²+上底半径
×下底半径)×高/3
圆台的体积公式为V=(S+S'+√(SS'))h/3，其中S和S'分别
为圆台的上下底面积，h为圆台的高。

该公式可以进一步化简
为V=π(r+r'+√(rr'))h/3，其中r和r'分别为圆台的上下底面半径。

球体的体积公式为V=4/3πR^3，表面积公式为S=4πR^2.
平面的基本性质包括三个公理：1.如果一条直线l在平面
α内，点A和点B也在平面α内，则直线l在平面α内；2.如
果点P在平面α内，点P也在平面β内，则平面α和平面β的交线为一条直线a，且点P在直线a上；3.不共线的三个点可
以确定一个平面，其中包括三个推论：直线与直线外一点确定一个平面，两相交直线确定一个平面，两平行直线确定一个平面。

空间中两条直线的位置关系有共面直线和异面直线。

共面直线可以相交或平行，而异面直线则不存在一个平面同时包含这两条直线。

异面直线所成的角可以通过平移法或向量法求解，而异面直线是否垂直可以通过三垂线定理及逆定理或向量法来证明。

异面直线间的距离可以通过已给出公垂线或易找出公垂线的相关问题计算。

直线与平面的位置关系包括直线与平面相交、直线与平面平行和直线与平面垂直。

直线与平面平行的判定可以根据线线平行推出线面平行，或者根据面面平行推出线面平行。

直线与平面垂直的判定可以通过直接使用定义的逆用或者判定定理来进行。

三垂线定理及逆定理则说明了线垂影等价于线垂斜。

两
个平面的位置关系可以是相交或平行，而平行的判定可以通过判定定理来进行。

1、平行和垂直的性质
1）性质1：若平面α与平面β平行，且直线a在平面α内，则直线a与平面β平行。

2）面面平行的性质定理：若平面α与平面γ平行，直线a与平面α有交点，平面β与平面γ平行，则直线a与平面β平行。

3）性质2：若平面α与平面β平行，且直线l垂直于平面α，则直线l也垂直于平面β。

2、空间角
1）求作法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足。

2）向量法：设平面α的法向量为n，则直线AB与平面α所成的角为θ，则sinθ=|cos|=|AB·n|/|AB|·|n|。

3）最小角定理：cosθ1=cosθ2cosθ1，θ2∈(0,π/2)。

3、空间距离
1）找出或作出有关的距离；
2）证明它符合定义；
3）在平面图形内计算（通常是解三角形）。

求点到面的距离常用的两种方法：
1）等体积法——构造恰当的三棱锥；
2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d=|AB·n|/|n|。

异面直线的距离：
①定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）；
②求法：法1找出两异面直线的公垂线段并计算，法2转化为点面距离。

4、空间向量的加法和减法
1）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形
法则。

即：在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a−b。

2）求两个向量和的运算称为向量的加法。

e
2
e
3
的长度为基本单位，可以表示空间中任意向量a为a=x
1
e
1
y
2
e
2
z
3
e
3
其中x
1
y
2
z
3
为实数，称为向量a在以e 1
e
2
e
3
为基底的坐标，简称向量a的坐标．在此基底下，向量a 的长度为|a|=√(x
1
²+y
2
²+z
3
²)．
15、设向量a，b在同一平面内，且它们的起点相同，则以它们的起点为顶点，以它们的终点为另一顶点的平行四边形的面积等于|a×b|，其中×表示向量的叉乘运算，|a×b|表示向量a，b的叉积的长度．
16、向量的叉乘运算有以下性质：
1）a×b与b×a方向相反；
2）a×b垂直于a和b所在的平面；
3）a×b=0的充要条件是a，b共线或其中之一为零向量；
4）|a×b|=ab|sin a,b|，其中ab表示向量a，b的长度，a,b表示向量a，b的夹角；
5）a×b与a，b所在平面的法向量方向相同，且长度相等．
17、向量的混合积定义为(a×b)·c，其中a，b，c为三个向量，其值等于以a，b，c为三条棱所构成的平行六面体的有向
体积．
，其中z轴为正方向。

则x轴、e2、e3的方向为y轴。

对于任意向量p，可以将其平移，使其起点与原点O重合，得到向量OR=p。

存在有序实数组{x,y,z}，使得将x、y、z称作向
量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，则p=xe1+ye2+ze3，记作p=(x,y,z)。

此时，中的坐标(x,y,z)。

设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则：
1.a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
2.a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
3.λa=(λx1,λy1,λz1)
4.a·b=x1x2+y1y2+z1z2
5.若a、b为非零向量，则
a⊥b⟺a·b=0⟺x1x2+y1y2+z1z2=0
6.若b≠0，则a//b⟺a=λb⟺x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2
7.a=a·a=x1^2+y1^2+z1^2
8.cos=a·b/|a||b|=(x1x2+y1y2+z1z2)/(√(x1^2+y1^2+z1^2)√(x2 ^2+y2^2+z2^2))
则dAB=AB=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)^(1/2)。

B=(x2,y2,z2)
平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定。

设这两条相交直线相交于点O，它们的方向向量分别为a，b。

点R
为平面α上任意一点，则存在有序实数对(x,y)使得OR=xa+yb，这样点O与向量a，b就确定了平面α的位置。

直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则向量a称
为平面α的法向量。

若空间不重合的两条直线a，b的方向向
量分别为a，b，则a//b⟺a=λb(λ∈R)，a⊥b⟺a·b=0.
若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a，b，则
α//β⟺a//b。

1.格式错误已被删除，段落如下：
根据向量的点乘公式，可以得到a与b的夹角的余弦值等
于它们的点乘除以它们的模长之积，即a·b/|a||b|。

而a与b垂
直的充要条件是它们的点乘为0.此外，a与b的夹角等于它们
的夹角的余弦值等于它们的点乘除以它们的模长之积，即
cosθ=a·b/|a||b|。

2.改写如下：
对于异面直线a和b，它们的夹角θ可以用它们的方向向
量a和b的点乘公式来计算，即cosθ=a·b/|a||b|。

如果a和b垂直，则它们的点乘为0.此外，a和b的夹角也可以用它们的夹
角的余弦值cosθ来计算，即cosθ=a·b/|a||b|。

3.改写如下：
设直线l的方向向量为l，平面α的法向量为n，l与α的
夹角为θ，l与n的夹角为φ，则有sinθ=l·n/|l||n|，cosφ=l·n/|l||n|。

4.删除该段落，因为它的表述不太清晰，且可能存在错误。

5.改写如下：
两点A和B之间的距离可以用它们对应向量AB的模长来计算，即|AB|。

6.改写如下：
假设点R在平面α外，点A在平面α内，n是平面α的一个法向量，则点R到平面α的距离可以用点R到点A的距离来计算，即d=RA·n/|n|。

其中，RA是向量RA的模长，n是法向量n的模长。