2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题六函..

专题六函数与导数
第1讲函数的图象与性质
［全国卷3年考情分析］
年份全国卷I全国卷II全国卷HI
2019函数图象的识别叮5函数解析式、函数图象与性质
的综合问题・T12
函数图象的识别顼7
函数的奇偶性・T14
函数的奇偶性与单调性
的综合问题・Tii
2018函数图象的识别叮3
函数图象的识别叮7抽象函数的奇偶性及周期
性
2017
利用函数的单调性、
奇偶性解不等式叮5分段函数、解不等
式叮15
(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5〜10或第13〜15题的位置上，难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.
(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.
考点一函数的概念及其表示
［大稳定—
—常规角度考双基］
1.［求函数的定义域］函数j=log2(2x-4)+^的定义域是()
A.(2,3)
B.(2,+8)
C.(3,+8)
D.(2,3)U(3,+8)
［2x—4>0,1解析：选D由题意得<解得x>2且x#=3,所以函数y=log2(2x—4)+
x—37^0,x—j 的定义域为(2,3)U(3,+8).故选D.
|10g3X,X>0,
2.［分段函数求函数值］已知/•(*)=,,(0<a<l), 5./(-2)=5,/(-1)=3,
a x+b, xWO
则航一3))=()
A.—2
B.2
C.3
D.-3
解析：选B由题意得，J[—2)=a~2+b=5,①
犬一1)=「+方=3,②
联立①②，结合OVaVl,得b=l,
(10g3X,X>0,
<1Y,,
侦)+1,xWO,
则犬一3)=(J)+1=9,AA—3))=/(9)=log39=2.故选B.
2~x xW0
3.[分段函数解不等式](2018・全国卷I)设函数为)={'''则满足/(x+l)</(2x)
1,x>0,
的X的取值范围是()
A.(一8,-1]
B.(0,+°°)
C.(-1,0)
D.(—8,0)
―x+lWO,
解析：选D法一：①当，，人即xW—1时，
[2xW0,
f(x+l)<f(2x),即为2~(x+1,<2~2x,
即一(x+l)<—2x,解得x<l.
因此不等式的解集为(一8,-1],
[x+lWO,
②当时，不等式组无解.
[2x>0
x+l>0,
③当f/即一1<x W0时，
.2xW0,
f(x+l)<f(2x),即为l<2~2x,解得x<0.
因此不等式的解集为(一1,0).
x+l>0,
④当即x>OBt,f(x+l)=l,f(2x)=l,不合题意.
2x>0,
综上，不等式f(x+l)<f(2x)的解集为(一8,0).故选D.
法二：5)='2~x,xWO, 1,x>0,
/.函数的图象如图所示.结合图象知，要使f(x+l)<f(2x)9
x+l<0, f
［x+lNO,
则需\ 2x<0, 或， Ax<0.故选D・
［2x<0,
、2xvx+1
4 .［分段函数求参数值或范围］已知函数处)=
(1—2a) x+3〃，x<l,
一 的值域为R,则实数0的取值范围是解析：当xNl 时，处)=2广21,
(1—2«) x+3a, x<l,
・.•函数f(x)=\ < 的值域为R,
2X , xNl
l —2a>0,
..•当xvl 时，y=(l —2g )x +30必须取遍(一8, 1］内的所有实数，贝吨 , 、 解
l —2a+3a^l,得 OWqVj.
答案：［o, 3
［解题方略］
1. 函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不 等式组，然后求出它们的解集即可.
2. 分段函数问题的5种常见类型及解题策略
［小创新——变换角度考迁移］
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从
最内层逐层往外计算
求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取
值范围的大前提
求参数
“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程
利用函数性
质求值
依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
x, 0<x<l,
0, x=l,
——,x>l.
(2 (1—x) ， OWxWL
1. ［概念型新定义函数问题］已知函数f(x)=j 如果对任意的ne
x —1, 1V x W2,
' V '
N*,定义为(x)= 〃个 (x)］｝,那么夭020(2)的值为()
A. 0
B.1
C. 2
D.3
解析：选 B V/1(2)=/(2) = l, f 2(2)=fil) = 0, f 3(2)=f(0)=2, ,'.f…(2)的值具有周期性,
且周期为3, ..捱02。

⑵=/、673+1⑵=万(2) = 1.故选B.
2. ［性质型新定义函数问题］已知具有性质：/Q)=-/(x)的函数，我们称为满足“倒负” 变换的函数，下列函数：
O/(x)=x-p (2)/(x)=x+|；钢x)=<其中满足“倒负"变换的函数是()
A.①②
B.①③
C. (2)(3)
D.①
解析：选 B 对于①，/"(x)=x-*, yQJ)=^-x=-/(x),满足；对于②，/0)=*+x=
ri i
X 9 X ，
/(X),不满足；对于③，/(3=V 0，!=1，
L, A ’
(1
~9 X>1,
即 X3= ］ o x =i
x, OVxVl,
故彳3= 一犬X)，满足.综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.
考点二函数的图象及应用
题型一函数图象的识别
［例1］ (1)已知函数》=
f (x) , x>0,
g (x) , x<0
是偶函数,/(x)=log a x 的图象过点(2, 1),则》
=g(x)在(一8,0)上对应的大致图象是()
(2)(2019•广州市检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部
装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间
为T.若鱼缸水深为九时，水流出所用时间为则函数h=f(t)的图象大
致是()
是(
C.
+x—l
D・y=宜
1/(x),x>0,［解析］⑴因为fM=log a x的图象过点(2,1),且恒过点(1,0),且丁=..。

g(x),x<0是偶函数，所以j=g(x)在(一8,0)上对应的图象和/(x)=log fl x的图象关于》轴对称，所以T=g(x)的图象过点(一2,1)和(一1,0).观察图象只有选项B满足题意.
(2)水位由高变低，排除C、D半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快.故选B.
(3)对于选项A,当x=2时，21n2=ln4>ln e=l,由图象可知选项A不符合题意；对于选项B,当x=e时，elne-e+l=l,由图象可知选项B不符合题意；对于选项C,当x =e时，In e+^—1=|<1,由图象可知选项C不符合题意.故选D.
［答案］(1)B(2)B(3)D
［解题方略］
寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
知式选图①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性
④从函数的周期性，判断图象的循环往复
知图选式①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性
④从图象的循环往复，观察函数的周期性
题型二函数图象的应用
［例2］⑴已知函数y（x）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（）
A.犬x）是偶函数，递增区间是（0,+8）
B./U）是偶函数，递减区间是（一8,1）
C./U）是奇函数，递减区间是（一1,1）
D.犬x）是奇函数，递增区间是（一8,0）
（2）函^f（x）=~x2+3x+a,g（x）=2x~x2,若Ag（x））N0对x£［0,1］恒成立，则实数a 的取值范围是（）
A.[―e,+°°)
B.[-ln2,+8)
C.[-2,+°°)
D.(-%o]
［解析］⑴将函数f（x）=x\x\-2x去掉绝对值,
X2—2x,xNO,
得处）=］2°
—x z—2x,x<0,
作出函数7U）的图象，
如图，观察图象可知,
函数犬x）为奇函数，且在（一1,1）上单调递减.故选c.
（2）如图所示，在同一坐标系中作出J=x2
3 +1,y=2x,y=x2+^的
图象
,
由图象可知，在［0, 1］上，
*2+1《2，<炉+=恒成立，
3
即 1<2'—乂2〈5，
当且仅当x=0或x=l 时等号成立，
3
.•.lWg(x)<5，
•\Ag(x))N0Fl)N0习一 l+3+aN0=>aN —2,则实数a 的取值范围是［一2, +8).
［答案］(1)C ②C ［解题方略］
1. 利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数 图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解.
2. 利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从 图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性;
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
［多练强化］
sin x+x
1. (2019-全国卷I)函数f(x)=---- 在［一 n, n ］的图象大致为(
)
cos X I X
解析：选D •.项f )
二°s 汪「¥二)2
sinx+x
COSx+*2=—E
:.Ax)为奇函数，排除A;
sin n + n n ,, K sin 1 +1
.•侦排除C ； .•侦1)=云言I ，且血l>cos 1
排除B.故选D.
2.某地一年的气温。

0）（单位：笆）与时间£（月份）之间的关系如图
所示.已知该年的平均气温为10°C,令C0）表示时间段［0,1的平均
气温，下列四个函数图象中，最能表示C0）与，之间的函数关系的是
)
c(i)
10日---
解析：选A若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小.因为12个月的平均气温为10°C,所以当t=12时，平均气温应该为10°C,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10°C,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10°C,排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D.故选A.
3.（2019-全国卷II）设函数/U）的定义域为R,满足f（x+l）=2f（x）,且当xG（0,1］时，
Q
f（x）=x（x—l）.若对任意x《（一8,m］9都有s，则勿的取值范围是（）
解析：选B当一1<x W0时，0<x+lWl,则f(x)=jf(x+1)=|(x+l)x:当1<x W2时，OVx—1W1,则/(x)=2/(x—l)=2(x_l),(x_2);当2VxW3时，OVx—2W1,则/(x) =2f(x-l)=22f(x-2)=22(x~2)(x-3),....由此可得
!(x+1)x,—IVxWO,
f(x)=^x(X—1),OVxWl,
2(x—1)(x—2),1V x W2,
22(x—2)(x—3),2VxW3,
Q 由此作出函数ZU)的图象，如图所示.由图可知当2<xW3时，令22(*—2)3—3)=—6,
7Q
整理，得(3x-7)(3x-8)=0,解得x=3或*=§,将这两个值标注在图中.要使对任意xG(-
87(1~\
°°,/n］都有6，必有力<3，即实数的取值范围是(—8,§.故选B.
23
T()
~2尸-|
考点三函数的性质及应用
[例3](1)定义在R上的奇函数/(x),满足在(0,+8)上单调递增，且/'(—1)=0,则f(x+l)>0的解集为()
A.(一8,-2)U(-1,0)
B.(0,+8)
C.(-2,-1)U(1,2)
D.(-2,-l)U(0,+8)
⑵(2018•全国卷II)已知_/U)是定义域为(一8,+8)的奇函数，满足f(l-x)=f(l+x).若犬1)=2,贝侦1)+力2)+犬3)+・“+_/(50)=()
A.-50
B.O
C.2
D.50
(3)(2019•全国卷II)已知_/U)是奇函数，且当x<0时，f(x)=~e ax,^f(\n2)=8,见I a=
［解析］(1)由/W为奇函数，在(0,+8)上单调递增，JL/(-l)=O,
可得犬1)=0,作出函数/U)的示意图如图所示，由Ax+l)>0,可得一1
<x+l<0或x+l>l,解得一2<x<-l或x>0,所以f(x+l)>0的解
集为(一2,-l)U(0,+8).故选D.
(2)法一：WU)是奇函数，.顼一*)=—处)，
.顼1—x)=—/"(X—1).
由f(l—x)=f(l+x),^—f(x—l)=f(x+l),
：.f(x+2)=-f(x),
：.f(x+4)=—f(x+2)=f(x),
函数Ax)是周期为4的周期函数.
由犬x)为奇函数得直0)=0.
又-：f(l-x)=f(l+x),
.,.犬了)的图象关于直线X=1对称，
.•.犬2)=/(0)=0,.•.犬一2)=0.
又f(l)=2,
.顼1)+犬2)+犬3)+犬4)=/U)+犬2)+犬一1)+六0)=2+0—2+0=0,
.项1)+力2)+犬3)+_/(4)+…+犬49)+俺0)
=0X12+/；49)+/：50)
=f(l)+f(2)=2+0=2.故选C.
法二：由题意可设Ax)=2sinf^x),作出_/(x)的部分图象如图所示.由y|
图可知,_/U)的一个周期为4,所以/(1)+/(2)+/(3)+-+/(50)=12［/-(1)+/(2)⑵八/
O12\3；A_X +R3)+A4)］+A49)+/(50)=12X0+_/U)+A2)=2.故选C.一2卜…一W
(3)设x>0,则一xv0.
•/当xvO时，f(x)=—e ax f:.犬一x)=—e".
*•*/(x)是奇函数，.I/(x)=—/(—x)=e-flX,
f(ln2)=e-flln2=(e ln2)~a=2~a.
又V/Iln2)=8,.I2~a=8,/.a=~3.
［答案］(1)D⑵C(3)-3
［解题方略］
1.函数3个性质及应用
奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数Ax)的性质：f(M)=f(x)
单调性可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转
化到已知区间上求解
2.函数性质综合应用的注意点
(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶
性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
［多练强化］
1.函数Ax)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数Xl，X2(X1<X2)»都有x/xi)>Xl/(X2),记a=^(2),b=f(l),c=—|/3),则a,方，c之间的大小关系为()
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.a>c>b
解析：选B因为对任意两个正数Xi,X2(X1<X2),都有X2f(Xi)>Xif(X2),所以'*/(:?,得函数g(x)='乎在(。

，+8)上是减函数，又c=~jf(~3)=jf(3),所
以g(l)>g(2)>g(3),即8>a>c.故选B.
2M+1_|_x3_|_2
2.已知函数/U)=—诃可一的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()
A.0
B.2
C.4
D.8
、迅2•(2闰+1)+x3x3
解析：选C f(x)=2—+1=2+21x1+1，
设gM=2^+i，因为g(—x)=—g(x),所以g(x)为奇函数，
所以g(X)max+g(X)min=0.
因为M=f(X)max=2+g(X)max,
m=f(X)min=2+g(X)min,
所以M+m=2+g(x)max+2+g(x)min—4.故选C.
3.已知函数Rr)满足f(x+l)+f(—x+l)=29则以下四个选项一定正确的是()
A.f(x-l)+l是偶函数B/(x-l)-l是奇函数
C.f(x+l)+l是偶函数D如:+1)—1是奇函数
解析：选D法一:因为f(x+l)+f(—x+l)=2f所以f(x)+f(2—x)=2,所以函数y =/(x)的图象关于点(1,1)中心对称，而函数y=f(x+l)—1的图象可看作是由y=f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y=f(x+l)-1的图象
关于点(0,0)中心对称，所以函数y=f(x+l)~1是奇函数.故选D.
法二：由x+l)=2,得A*+l)—l+犬一x+1)—1=0,令F(x)=/(x+l)—1,则F(x)+F(-x)=0,所以F(x)为奇函数，即f(x+l)~1为奇函数.故选D.
数学抽象象函数与函数的三大性质
［典例］定义在R上的奇函数/U)满足/(x+|)=/(x),当x《(0,\0^,/(x)=logj(1
2
-X),则处)在区间(1,言)上是()
A.减函数且处)>0
B.减函数且处)<0
C.增函数且处)>0
D.增函数且Ax)<0
［解析］当日时，由/U)=logi(1-x)可知犬x)单调递增且f(x)>0,又函数Ax)
2
为奇函数，所以在区间一；，o)上函数Ax)也单调递增，且Ax)<o.由"k+；)=_A x)知，函数加的周期为：，所以在区间(1,直)上，函数处)单调递增且加<0.故选D.
［答案］D
［素养通路］
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征.
本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f(x+|)=/(X)得知/(X)的周期，进而得出/U)在区间(1,直)上的性质.考查了数学抽象这一核心素养.。