(完整版)一元二次方程知识点和经典例题

一元二次方程
一.基本概念
定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.
二.一元二次方程的解法
（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：a
c x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x
（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x
（4）公式法：
解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数
和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公
式;○5求出方程的两个根.
例题：解方程： x(x+12)=8x+12
解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12
∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴2
8412644±-=⨯±-=
x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.
一元二次方程解法练习题：
（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○
30144)3(2=--x
（2）用因式分解法解一元二次方程：
○
11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)
○
4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x
（3）用配方法解一元二次方程：
○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x
（4）用公式法解一元二次方程：
○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2
-33x+130=0
（5）选择适当的方法解下列方程:
○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=
○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323
x x x x ⎧--+-+=⎨⎩
三.一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.
利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：
20(1)00(2)400.
b a
c ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；
当的值小于时，即：时方程无实数根
例1.不解方程判断下列方程跟的情况：
（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x
解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0
∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.
（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.
（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7
∵∆<0 ∴原方程无实数根.
例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值
范围.
解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.
∵原方程有实数根
∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是7
11≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，
∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.
四.一元二次方程根与系数的关系
1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：
a
b 2x 1x -=+； a 2x 1x
c =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：
12x x p +=-； 12x x q =
注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．
时才可使用. ○
2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。

2.根与系数关系的应用举例
（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根；
例1.已知关于x 的一元二次方程x 2＋4x －p ＝0的一个根是2，求该方程的另一根.
解：设方程的另一根为1x ，则1x +2=-4，∴1x =-6 ∴方程的另一根为-6. 例2.已知方程061142=+-x x 有一个根是2，求它的另一个根.
解：是它的另一个根是1x ，则 2·1x =
46，∴1x =43 ∴方程的另一根为43. 注：本题也可由1x +2=411求出1x =4
3 （2）已知一元二次方程的两根或两根之和与两根之积，求这个方程； 例3.已知一元二次方程的两根分别为
54和27-，求这个方程. 02827102=-+x x .
例5.已知两个数的和是5，这两个数的积是6，求这两个数.
解：把所求的两个数看做是某个一元二次方程的两个根，根据已知条件可知：1x +52=x ， 1x ·62=x ∴这个一元二次方程为：0652=+-x x ，解这个方程得：21=x ，32=x .∴所求的两个数分别为2和3.
（4）利用根与系数关系求方程中的未知系数；
例6.已知方程0922=-+kx x 的一个根是3-，求另一根及k 的值.
例7.已知关于x 的方程032=+-m x x 的一个根是另一个根的2倍，求m 的值.
（5）利用根与系数关系求代数式的值；
例8.若12,x x 是方程0201222=-+x x 的两个根，求下列各式的值： ①2212x x +； ②12
11x x +； ③12(5)(5)x x --； ④12||x x -． 注：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-， 121212
11x x x x x x ++=，
12||x x -=22121212()()4x x x x x x -=+-，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+， 2212121212()x x x x x x x x +=+
………根与系数的关系充分体现了整体代换的思想．
（6）运用根的判别式和根与系数的关系解综合题
例9. 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．
○1求实数m 的取值范围； ○2当2
2120x x -=时，求m 的值．
例10.已知关于x 的方程221(1)104
x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． ○1方程两实根的积为5； ○2方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 例11.已知一元二次方程022=+-m x x ．
○
1若方程有两个实数根，求m 的范围； ○2若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值.
例12. 已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2 的两实数根为x 1，x 2．
○
1求m 的取值范围； ○
2设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值． 例14.已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）． ○
1求证：方程有两个不相等的实数根； ○2设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．。