2023年中考数学模拟卷(含解析)

2023年中考数学模拟卷
一、选择题(共30分)
1．(本题3分)实数2，0，3-
）
A ．2
B ．0
C ．3- D
2．(本题3分)广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次.将15233000用科学记数法表示应为（ ）
A ．5152.3310⨯
B ．615.23310⨯
C ．71.523310⨯
D ．80.1523310⨯
3．(本题3分)如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．(本题3分)下列计算正确的是（ ）
A ．2323a a a +=
B ．325()a a =
C ．632a a a ÷=
D ．23a a a ⋅=
5．(本题3分)一套书共有上，中，下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右恰好成上，中，下顺序的概率为( )
A ．112
B ．16
C ．13
D ．1
2
6．(本题3分)把抛物线21y x =-+的图像向左平移1个单位，则平移后的抛物线是（ ） A ．()211y x =--+
B ．()2
11y x =-++ C ．22y x =-+ D ．2y x =- 7．(本题3分)若关于x 的不等式组21213
x a x -≤⎧⎪+⎨>⎪⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1 B ．a ＞1 C ．1＜a ≤2 D ．﹣1＜a ＜1
8．(本题3分)若关于x 的一元二次方程()21210m x x --+=有实数根，则m 的值可以是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．
1
9．(本题3分)如图，⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等，即DE ＝FG =MN ，∠A ＝50°，则∠BOC ＝（ ）
A ．100°
B ．110°
C ．115°
D ．120°
10．(本题3分)如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．5124π-
B ．5124π+
C ．3124π-
D ．5122
π+ 二、填空题(共18分)
11．(本题3分)计算：（3﹣π）0＋1
12-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝_____． 12．(本题3分)分解因式2:ax a -=________．
13．(本题3分)若点(),2P a 与点()5,Q b 关于原点对称，则=a _____，b =_____．
14．(本题3分)目前，做核酸检测是排查新冠肺炎确诊病例的有效手段．下表是某市一院与二院在 2 月3 日至 2 月 9 日做核酸的人数表：
设一院做核酸人数的方差为 21S ，二院做核酸人数的方差为 22S ，则__医院做核酸的人数更
稳定．（填“一院”或“二院”）．
15．(本题3分)如图，从一块半径是2的圆形贴片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下
来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的侧面积为________．
16．(本题3分)如图，一组x 轴正半轴上的点12n B B B ，，满足条件
1122312n n OB B B B B B B -====，抛物线的顶点12n A A A ，，依次是反比例函数9y x =图象上的点，第一条抛物线以1A 为顶点且过点O 和1B ；第二条抛物线以2A 为顶点且经过点1B 和2B ；…第n 条抛物线以n A 为顶点且经过点1n B -，n B ．依次连结抛物线的顶点和与x 轴的两个交点，形成11OA B 、22BA B 、…、1n n n B A B -．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 _____．
三、解答题(共72分)
17．(本题6分)先化简，再求值：
212293
m m +-+，其中1m =-
18．(本题6分)如图，已知4ABC AC ,=．
(1)请用直尺和圆规，作出AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若=60
C
∠︒，连接AE，求AEC
△的面积．
19．(本题6分)在镇村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签订了农产品销售合同，并于今年在自家荒地种植了A，B，C，D四种不同品种的树苗共300棵，其中C品90，几个品种果树树苗种植情况及其成活情况分别绘制在下列图①种果树苗的成活率为00
和图②两个尚不完整的统计图中．
（1）种植B品种树苗有多少棵；
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高?
20．(本题8分)某工程队计划测量一信号塔OC的高度，由于特殊原因无法直达到信号塔OC
底部，因此计划借助坡面高度来测量信号塔OC C的高度．如图，在信号塔OC旁山坡脚A 处测得信号塔OC顶端C的仰角为70︒，当从A处沿坡面行走13米到达P处时，测得信号塔OC顶端C的仰角为45︒．已知山坡的坡度1:2.4
i=，且O，A，B在同一条直线上．请根据以上信息求信号塔OC的高度．（侧倾器高度忽略不计，参考数据：sin700.94
︒≈，
cos700.34
︒≈，tan70 2.7
︒≈）
21．(本题8分)如图，矩形OABC的边AB、BC分别与反比例函数
4
y
x
=的图象相交于点D、
E，OB与DE相交于点F．
(1)若点B的坐标为()
4,2，求点D、E、F的坐标．
(2)求证：点F是ED的中点．
22．(本题9分)5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力网络经济发展，共建智慧生活，某手机店准备购进一批国产5G手机，经调查，用8万
元购进A 型手机的数量和用6万元进购B 型手机的数量一样，一部A 型手机的进价比一部B 型手机的进价高800元．
(1)求一部A 、B 两种型号手机的进价分别是多少元？
(2)若手机店购进A 、B 两种型号手机共30部进行销售，其中A 型手机的数量不少于10部，且不超过B 型手机的数量，已知A 型手机的售价为每部4200元，B 型手机的售价为每部2800元，且全部售出，设购进A 型手机m 部，全部售完两种手机后获得的利润为w 元，求w 与m 之间的函数关系式，并求出销售这批5G 手机获得的最大利润．
23．(本题9分)如图，点E 为正方形ABCD 外一点，45AEB ∠=︒，连接DE ．
(1)写出线段BE 与DE 的位置关系并证明；
(2)写出线段AE ，BE ，DE 之间的数量关系并证明．
24．(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax ax =--分别交x 轴、y 轴于A 、B 、C 三点，连接AC 、BC ，ABC ∆的面积为152.
(1)求a 的值；
(2)点P 在第四象限内抛物线上，其横坐标为t ，连接PB 、PC ，设PBC ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（不需要写出t 的取值范围）
(3)在（2）的条件下，点E 在线段OB 上且点E 坐标为(,0)m ，连接PE ，将射线EB 沿PE 翻折与y 轴交于点F ，BE CF EF +=，点G 在AEF ∠的平分线上，连接GF 并延长交线段BC 于点K ，GFE GFC ∠=∠，G 点到x 轴的距离等于3m -，过点K 作KH y ∥轴且与过点A 的直线交于点H ，连接FH 交线段OE 于点R ，若2EF OR ER =+，EG FH =，求直线AH 的解析式.
25．(本题10分)定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
(1)如图1，在“对角互余四边形” ABCD 中， 6.5AD CD BD ==，，
9043ABC ADC AB CB ∠+∠=︒==，，，求四边形ABCD 的面积．
(2)如图2，在四边形ABCD 中，连接AC ，90BAC ∠=︒，点O 是ACD 外接圆的圆心，连接OA ，OAC ABC ∠∠=．求证：四边形ABCD 是“对角互余四边形”；
(3)在（2）的条件下，如图3，已知3AD a DC b AB AC ===，，，连接BD ，求2
BD 的值．（结果用带有a ，b 的代数式表示）
参考答案
1．C
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵302-<<<，
∴所给的实数中，最小的数是-3；
故选：C ．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．C
【分析】根据科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】15233000=71.523310⨯,
故选C ．
【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于熟练掌握科学记数法的表示方法．
3．C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】从上面看，是一个矩形，矩形的中间是一个圆．
故选：C ．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．D
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法进行计算即可
【详解】A.不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B. 326()a a =，故错误，不符合题意；
C. 633a a a ÷=，故错误，不符合题意；
D. 23a a a ⋅=，故正确，符合题意．
故答案为：D ．
【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法，正确计算是解题的关键．
5．B
【详解】画树状图得：
所有等可能的情况有6种，其中恰好从左到右摆成“上、中、下”顺序的只有1种，
则P=16
． 故选B ．
6．B
【分析】根据二次函数图像“左加右减”的平移规律进行解答即可．
【详解】解：将抛物线21y x =-+向左平移1个单位，
平移后的解析式为：()2
11y x =-++
故选：B ．
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移；掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．
7．A
【分析】先解出不等式组，然后根据不等式组无解，即可解答． 【详解】解：21213①②-≤⎧⎪⎨+>⎪⎩
x a x ， 解不等式①，得12
a x +≤ ， 解不等式②，得x ＞1，
∵关于x 的不等式组21213
x a x -≤⎧⎪+⎨>⎪⎩无解， ∴112
a +≤， 解得：a ≤1，
故选：A ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解题意，得出
112
a +≤是解题的关键． 8．C
【分析】先根据根的判别式求出2m ≤，再根据一元二次方程的定义得到1m ≠，然后作答即可．
【详解】∵关于x 的一元二次方程()21210m x x --+=有实数根，
∴0≥，
即()()2
2410m ---≥，
解得2m ≤，
∵()21210m x x --+=是一元二次方程， ∴10m -≠，
即1m ≠，
故m 的值可以是2，
故选C ．
【点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
9．C
【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出
180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．
【详解】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，
∵DE ＝FG ＝MN ，
∴OP ＝OK ＝OQ ，
∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ，
12OBC ABC ∴∠=∠，12
OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，
∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒， ∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠
()12ABC ACB =
∠+∠ 65=︒，
∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠
18065=-︒
115=︒
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键是构造出辅助线——弦心距．
10．A
【分析】连接OE ，求出弓形CE 的面积，然后根据阴影部分的面积等于ADC △的面积减去弓形CE 的面积求解即可．
【详解】连接OE ．
∵正方形ABCD 的边长为2，
∴1OC OB OE ===. ∵1122222
ADC S AD CD =⋅=⨯⨯=△， 211144
OCE S ππ=⨯=扇形， 111122
COE S =⨯⨯=△， ∴1142
CE S π=-拱形， ∴阴影部分的面积5112()4224
ππ=--=-． 故选：A ．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 11．3
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简即可得出答案．
【详解】（3﹣π）0＋1
12-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝1＋2
＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，任何不等于0的数的0次幂都等于1，(2)任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数． 12．()()11a x x -+
【分析】先提公因式a ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：()()211ax a a x x -=-+，
故答案为：()()11a x x -+．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
13． 5- 2-
【分析】根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：相应坐标互为相反数，即可得到答案．
【详解】解：∵点(),2P a 与点()5,Q b 关于原点对称，
∴52a b =-=-，，
故答案为：5,2--．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征：相应坐标互为相反数是解决问题的关键．
14．一院
【分析】分别求出21S 和22S ，再根据方差越小越稳定，即可进行解答． 【详解】解：一院平均每天做核算人数：
7108897787++++++=（百人）， 一院平均每天做核算人数：
8977691087++++++=（百人）， ∴()()()()222221183781082889877S ⎡⎤=
⨯-+-+⨯-+-=⎣⎦， ()()()()()2222222112882982786810877S ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+-+-=⎣
⎦，
∴2212S S <，即“一院”医院做核酸的人数更稳定，
故答案为：一院．
【点睛】本题主要考查了根据方差判断数据的稳定性，解题的关键是掌握方差的计算方差，以及方差越小越稳定．
15．2π
【分析】首先连接AO ，求出AB 的长；然后求出扇形的弧长BC ，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，再根据圆锥侧面积公式进行计算即可求解．
【详解】如图，连接AO ，
∵AB AC =，点O 是BC 的中点，
∴AO BC ⊥，
又∵90BAC ∠=︒，
∴45ABO ACO ∠=∠=︒，
∴AB ==
∴902360
BC π=⨯⨯=
∴2÷π=
，
∴圆锥的侧面积为ππ2πS rl ==⨯=： 故答案为：2π． 【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是求出扇形围成的圆锥的底面半径．
16．21880y x x =-+-
【分析】根据题意得三角形为等腰三角形，根据1122312n n OB B B B B B B -====可得到点1(2,0)B ，2(4,0)B ，3(6,0)B ，(2,0)n B n ，根据抛物线的顶点12n A A A ，，依次是反比例函数
9y x =图象上的点，设点9(,)n A m m
，根据2n n n n A B A B -=建立等式[]()22
2299(22)2m n m n m m ⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，化简后得到21m n =-，因此可以得到点12219(1,9)(3,3)(21,)21
n A A A n n ---，，，再根据等腰直角三角形的性质可以得到1911212
n n B B n -==-，从而求出n 的值，从而得到三角形三个点的坐标值，再根据待定系数法解求出二次函数的解析式．
【详解】解：由题意得，11OA B 、22BA B 、…、1n n n B A B -均为等腰三角形，
∵1122312n n OB B B B B B B -====，
∴点1(2,0)B ，2(4,0)B ，3(6,0)B ，(2,0)n B n 设点9(,)n A m m
， ∵2n n n n A B A B -=，
∴[]()22
2299(22)2m n m n m m ⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()22
2220m n m n -+--=，
∴()(222)2220m n m n m n m n -++--+-+=
∴210m n -+=，
∴21m n =-，
∴点12219(1,9)(3,3)(21,
)21n A A A n n ---，，， ∵1n n n B A B -是直角三角形，
∴1n n n B A B -为等腰直角三角形， ∴1911212n n B B n -==- ∴n ＝5，
∴5(9,1)A
∴45(8,0)(10,0)B B ，，
设抛物线的解析式为(8)(10)y a x x =--，
将点5(9,1)A 代入解析式，得1a =-，
∴1a =-，
∴抛物线的解析式为2(8)(10)1880y x x x x =---=-+-．
故答案为：21880y x x =-+-．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、反比例函数的性质、二次函数的性质，解题的关键是根据题意得到三角形为等腰三角形，根据腰长相等建立等式，从而求出n 的值．
17．23
m -，12- 【分析】原式通过通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式()()()()()
23123333m m m m m -=++-+- ()
()()2333m m m +=+-
23
m =-． 当1m =-时，原式21132=
=---． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的通分运算法则是解本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图作AC 的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到12902
AD CD AC CDE ===∠=︒，，再利用含30度角的直角三角形三边的关系求出DE 的长，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】（1）如图，DE 为所作；
（2）DE 垂直平分AC ，
12,90,2
AD CD AC CDE ∴==
=∠=︒ 60,C ∠=︒
DE ∴== 1
42
AEC S ∴=⨯⨯= 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积和线段垂直平分线的性质．
19．（1）种植B 品种树苗有75棵；（2）补全图形见解析；（3）C 品种果树苗的成活率最高．
【分析】（1）由总量乘以B 品种树苗所占的百分比即可得到答案；
（2）先计算出C 种树苗种植的数量，得到成活的数量，补全图形即可；
（3）分别计算出,,A B D 三种树苗的成活率，结合已知的C 种树苗的成活率，从而可得答案．
【详解】解：（1）由题意得：种植B 品种树苗有：
()300120%20%35%75---=（棵）．
（2）因为C 种树苗种植了30020%60⨯=棵，
所以成活6090%54⨯=棵，
补全图形如下：
图②
（3）A 种树苗的成活率为：
8480%,30035%=⨯ B 种树苗的成活率为：6080%,75
= C 品种果树苗的成活率为0090，
D 品种果树苗的成活率为5185%.30020%
=⨯ 所以：C 品种果树苗的成活率最高．
【点睛】本题考查的是从条形统计图与扇形统计图中获取有效的信息，同时考查了对信息的整理与计算，掌握以上知识是解题的关键．
20．信号塔OC 的高度约为27.0米
【分析】过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OC 于点F ，设PE =5x ，则AE =12x ，在Rt △AEP 中根据勾股定理可得(5x )2＋(12x )2=132，解方程求出x ，设CF =PF =m 米，则OC = (m ＋5) 米，OA =(m －12)米，在Rt △AOC 中，由5tan 7012
OC m OA m +︒==-求得m 的值，继而可得答案． 【详解】解：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OC 于点F ，则四边形OFPE 是矩形， ∴OF =PE ，OE =PF ，
∵i ＝1：2.4，13AP =， ∴15tan 2.412
PE PAE AE ∠===， ∴设PE =5x ，则AE =12x ，
在Rt △AEP 中，由勾股定理得：(5x )2＋(12x )2=132，
解得：1x =或=1x -（舍去），
∴PE =5，则AE =12，
∵∠CPF =45°，PF ⊥CF ，
∴∠CPF =∠PCF = 45°，
∴CF PF =，
设CF =PF =m 米，则OC = (m ＋5) 米，OA =(m －12)米，
在Rt △AOC 中，5tan 7012
OC m OA m +︒=
=-， 解得：22.0m ≈， ∴22.0527.0OC ≈+=（米）
∴信号塔OC 的高度约为27.0米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角、坡度的定义，矩形的性质与判定，解题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．(1)()()41?22D E ，，，，332F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， (2)见解析
【分析】（1）根据题意得出D 点横坐标为4，E 点纵坐标为2，代入反比例函数解析式即可确定点D 、E 的坐标，然后用待定系数法确定直线ED 和直线OB 的解析式，联立求交点坐标即可；
（2）根据中点坐标的计算方法得出ED 的中点坐标为421222++⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即332⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，与点F 重合，即可证明．
【详解】（1）解：∵点B 的坐标为()42，
， ∴D 点横坐标为4，E 点纵坐标为2， ∴414y ==，422
x ==， ∴()()41?22D E ，，，
， 设直线ED 的解析式为y kx b =+，
4122k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得123
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 直线ED 的解析式为132
y x =-+， ∵点B 的坐标为()42，
， ∴直线OB 的解析式为12
y x =
， 联立方程组13212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩’
解得332x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
， ∴332F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，； （2）证明：∵()()41
22D E ，，，， ∴ED 的中点坐标为421222++⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即332⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， ∵332F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， ∴点F 是ED 的中点．
【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合，包括待定系数法确定一次函数解析式及交点坐标的求法，中点坐标的求法，熟练掌握反比例函数与一次函数的基本性质是解题关键．
22．(1)一部A 、B 两种型号手机的进价分别是3200元、2400元
(2)60012000w m =+；销售这批5G 手机获得的最大利润为21000元
【分析】（1）设A 型手机进价为x 元，则B 型手机进价为()800x -元，由用8万元购进A 型手机的数量和用6万元进购B 型手机的数量一样，再建立方程求解即可；
（2）根据利润等于销售两种手机的利润之和列函数关系式，再利用一次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设A 型手机进价为x 元，则B 型手机进价为()800x -元， 由题意得：8000060000800
x x =-， 解得3200x =，
经检验：3200x =是原分式方程的解，
∴80032008002400x -=-=，
答：一部A 、B 两种型号手机的进价分别是3200元、2400元；
（2）根据题意得：()()()420032002800240030w m m =-+--
()100040030m m =+-
60012000m =+，
∵A 型手机的数量不少于10部，且不超过B 型手机的数量，
∴1030m m ≤≤-，
解得1015m ≤≤，
∵600>0，
∴w 随m 的增大而增大，
∴当15m =时，w 最大，最大值为21000，
∴w 与m 之间的函数关系式为60012000w m =+；销售这批5G 手机获得的最大利润为21000元．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，一次函数的实际应用，理解题意，确定相等关系列方程与函数关系式是解本题的关键．
23．(1)DE BE ⊥，证明见解析
(2)DE BE +=，证明见解析
【分析】（1）过点A 作AF AE ⊥，交EB 延长线于点F ，得出90EAF ∠=︒，在根据四边形ABCD 是正方形，得出AB AD =，90DAB ∠=︒，再根据等边对等角，得出EAF DAB ∠=∠，进而得出FAB EAD ∠=∠，再根据三角形的内角和定理，得出F ∠的度数，进而得出
F AEB ∠=∠，然后再根据等角对等边，得出AF AE =，再利用SAS 得出ABF △≌ADE ，
再利用全等三角形的性质，得出45AED F ∠=∠=︒，然后根据角的关系，即可得出DE BE ⊥；
（2）首先根据直角三角形的勾股定理，得出2222222EF AE AF AE AE AE =+=+=，进而得
出EF =，再由（1）ABF △≌ADE ，利用全等三角形的性质，可得DE BF =，然后
根据等量关系，即可得出BE DE EF +==．
（1）
DE BE ⊥．
证明：过点A 作AF AE ⊥，交EB 延长线于点F ，
∴90EAF ∠=︒，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB AD =，90DAB ∠=︒，
∴EAF DAB ∠=∠，即FAB EAB EAB EAD ∠+∠=∠+∠，
∴FAB EAD ∠=∠，
∵180F EAF AEB ∠+∠+∠=︒，
∴180180459045F AEB EAF AEB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒=∠，
∴AF AE =，
∴ABF △≌()ADE SAS △，
∴45AED F ∠=∠=︒，
∴454590DEB AED AEB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∴DE BE ⊥．
（2）
DE BE +=．
证明：在Rt AEF △中，
2222222EF AE AF AE AE AE =+=+=，
∴EF =，
由（1）ABF △≌ADE ，可得DE BF =，
∴BE DE EF +=．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关性质定理．
24．(1)12a =
； (2)23
944S t t =-+； (3)112
y x =
+
【分析】（1）求得5AB =，设(,0)A m ，(,0)B n ，从而5n m -=，即：2()425n m mn +-=，根据根与系数的关系得1m n +=，3mn a =-，进一步求得a 的值；
（2）作PT OB ⊥于T ，交BC 于R ，可得(3,0)B ，进而求得直线BC 的解析式为：3y x =-，从而得出P 和R 的坐标，进而表示出S 与t 的关系式；
（3）作BQ OB ⊥，交EP 于Q ，连接CQ ，作QN EF ⊥于N ，在OA 上截取OW OR =，作FT HK ⊥于T ，作KH OC ⊥于H ，作VX BE ⊥于V ，将QVB ∆绕点Q 逆时针旋转90︒知QMC ∆，可得出四边形COBQ 是正方形，可得出EBQ FTH ∆≅∆，从而得出3HT BQ ==，根据222KM CM CK =+，从而求得1BE =，进一步求得结果.
【详解】（1）解：由题意得，3OC =，
115
22
AB OC ⋅=， 5AB ∴=，
设(,0)A m ，(,0)B n ，
5n m ∴-=，
2()425n m mn ∴+-=，
令0y =，230ax x --=，
1m n ∴+=，3mn a
=-，
314()25a
∴-⋅-=， 12a ∴=； （2）解：如图1，
作PT OB ⊥于T ，交BC 于R ， 12a =
， 211322y x x ∴=
--， 由21
13022x x --=得，
13x =，22x =-，
(3,0)∴B ， C (0,3)-，
∴直线BC 的解析式为：3y x =-，
当x t =时，211322
P y t t =--，3R y t =-，
221113(3)(3)2222
PR t t t t t ∴=----=-+， 22131339()222244S PR OB t t t t ∴=⋅=⋅-+=-+； （3）解：如图2，
作BQ OB ⊥，交EP 于Q ，连接CQ ，作QN EF ⊥于N ， PE 平分BEF ∠，
BQ NQ ∴=，EN BE =，
GFE GFC ∠=∠，
180180GFE GFC ∴︒-∠=︒-∠，
NFK CFK ∴∠=∠，
EF BE CF =+，EF EN FN BE EN =+=+，
FN CF ∴=，
FQ FQ =，
()NFQ CFQ SAS ∴∆≅∆，
CQ NQ ∴=，
∴四边形OCQB 是正方形，
在OA 上截取OW OR =，作FT HK ⊥于T ，作KH OC ⊥于H ，
2EF OR ER OR OR ER OW OE EW ∴=+=++=+=，OW OR =，
WFO HFO ∴∠=∠， EG 平分AEF ∠，
EG FW ∴⊥，
FSE EOF ∴∠=∠，
WFO WES ∴∠=∠，
∵HK ∥y 轴，
FHT HFO ∴∠=∠，
FHT WES ∴∠=∠， EP 平分FSB ∠，EG 平分AEF ∠，
90GEQ ∴∠=︒，
90OES BEQ ∴∠+∠=︒，
90EBQ ∠=︒，
90BQE BEQ ∴∠+∠=︒，
BQE OES ∴∠=∠，
FHT BQE ∴∠=∠， G 到x 轴距离3m BE =-=，
EG EQ ∴=，
EG FH =，
EQ FH ∴=，
90EBQ FTH ∠=∠=︒，
()EBQ FTH AAS ∴∆≅∆，
KH FT BE ∴==，3HT BQ ==，
作VX BE ⊥于V ，
设XV XB x ==，
EXV EBQ ∴∆∆∽， ∴VX BQ EX BE
=， 设BE CH KH k ===，
CK ∴==，
∴3x k x k
=-， 33
k x k ∴=+，
33
k BV k ∴=+，
33k KV BC BV CK k ∴=--=+， 将QVB ∆绕点Q 逆时针旋转90︒知QMC ∆，
CM BV ∴=，KM KV =，90KCM ∠=︒，
222KM CM CK ∴=+，
22233)))33
k k k k ∴=+++， 1k ∴=，
1FT BE ∴==，2OE =，
设CF y =，则3OF y =-，1EF y =+，
在Rt ΔEOF 中，
222(3)2(1)y y -+=+，
32
y ∴=， 32CF ∴=
， 32
∴=OF ， 3HT BQ ==，
3(1,)2
H ∴， 设AH 的解析式为：y px q =+， ∴2032p q p q -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩
， ∴121
p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
112
y x ∴=+. 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“半角”的模型
25．(1)9
(2)见解析
(3)22103a b +
【分析】（1）作CE BC ⊥，使4CE AB ==，且点E 、A 在直线BC 异侧，连接BE DE 、，则90BCE ∠=︒，先由3CB =，根据勾股定理求得5BE =，再证明DCE DAB ≌，得136.5,2DCE DAB ED BD S S ===＝，作DF BE ⊥于点F ，则159022BFD BF EF BE ∠=︒==
=，，根据勾股定理求得6DF ＝，即可由DAB DCB DCE DCB DBE BCE ABCD S S
S S S S S +=+==-四边形求得
四边形ABCD 的面积是9； （2）连接OC ，则OC OA =，所以OAC OCA ∠=∠，而2AOC D ∠=∠，可推导出22180D OAC ∠+∠=︒，则90D ABC D OAC ∠+∠=∠+∠=︒，即可证明四边形ABCD 是“对角互余四边形”；
（3）在CD 下方作GCD ACB ∠=∠，作DG CG ⊥于点G ，连接AG ，则90DGC BAC ∠=∠=︒，先证明GDC ABC △∽△，GDC ABC ∠=∠，所以
90ADG ADC GDC ADC ABC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，由3AB AC =，根据勾股定理得
BC ==，由GD DC
AB BC =，得GD AB DC BC =，则
GD =，所以2222222910AG AD GD a a b ⎫=+=+=+⎪⎪⎝⎭
，再证明ACG BCD ∽，
得
AG AC BD BC =，所以BD =，则222210109BD AG a b ==+． 【详解】（1）解：如图1，作CE BC ⊥，使点4CE AB ==，且点E 、A 在直线BC 异侧，连接BE DE 、，则90BCE ∠=︒，
∵3CB =，
∴5BE ==，
∵90ABC ADC ∠+∠=︒，
∴()360270DAB ABC ADC DCB DCB ∠=︒-∠+∠-∠︒-∠＝，
∵360270DAE BCE DCB DCB ∠=︒-∠-∠︒-∠＝，
∴DCE DAB ∠=∠，
∵CD AD =，
∴DCE DAB ≌， ∴136.5,2DCE DAB ED BD S S ===＝，
作DF BE ⊥于点F ，则159022BFD BF EF BE ∠=︒==
=，，
∴6DF =， ∵115643922
DAB DCB DCE DCB DBE BCE ABCD S S S S S S S ===-++⨯⨯-⨯=⨯=四边形， ∴四边形ABCD 的面积是9．
（2）证明：如图2，连接OC ，则OC OA =，
∴OAC OCA ∠=∠，
∵1802AOC OAC OCA AOC D ∠+∠+∠=︒∠=∠，，
∴22180D OAC ∠+∠=︒，
∴90D OAC ∠+∠=︒，
∵OAC ABC ∠∠=，
∴90D ABC ∠+∠=︒，
∴四边形ABCD 是“对角互余四边形”．
（3）解：如图3，在CD 下方作GCD ACB ∠=∠，作DG CG ⊥于点G ，连接AG ，则
90DGC BAC ∠=∠=︒，
∴GDC ABC △∽△，
∴GDC ABC ∠=∠，
∴90ADG ADC GDC ADC ABC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，
∵3AD a DC b AB AC ===，，，
∴BC =
=， ∵GD DC AB BC
=，
∴
GD AB DC BC ===，
∴GD =，
∴2222222910AG AD GD a a b ⎫=+=+=+⎪⎪⎝⎭
， ∵ACG GCD ACD BCD ACB ACD ∠=∠+∠∠=∠+∠，，且GCD ACD ACB ACD ∠+∠=∠+∠， ∴ACG BCD =∠∠，
∴ACG BCD ∽，
∴
AG AC BD BC =，
∴BD =，
∴)22222223101010910BD AG a b a b ⎛⎫===+=+ ⎪⎝
⎭， ∴2BD 的值为22109a b +．
【点睛】此题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．。