《幂函数、函数与方程》集体备课

课题幂函数、函数与方程复习复习课

教学目标

知识与技能

1. 理解幂函数的概念，通过具体实例研究幂函数的图像和性质，并初步进行应

用；2. 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关

系，；3. 掌握零点存在的判定条件，会求简单函数的零点；4.能够用二分法求相

应方程的近似解。

过程与方法

1.通过对幂函数的学习，使学生进步一步熟练掌握研究函数的一般思想方法，体

会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质；2. 从零点存在性的判定，体会方程的

根与函数零点之间的联系；3. 掌握函数零点存在性的判断，培养学生自主发现、

探究实践的能力．

情感、态度、

价值观

1. 通过引导学生主动参与作图、分析图像，培养学生的探索精神，并研究函数

变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点；2. 在函数与方程的联系中体验数学中

的转化思想的意义和价值。

重点

1. 通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图像变化规律；

2. 零点的

概念及存在性的判定．

难点 1. 画五个幂函数的图像并由图像概括幂函数的一般性质；2. 零点的确定．.

教学过程学法指导

课标要求

1. 了解幂函数的概念；会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况；

2. 结合二次函数图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

3. 正确理解函数零点存在的结论, 能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数,并会判断存在零点的区间（可使用计算器）．

4.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。

考纲分析

2011年山东省高考数学考试大纲（文史类）

考试范围是《普通高中数学课程标准(实验)》中的必修课程内容和选修系列1的内容，内容如下：

数学1：集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数).

数学2：立体几何初步、平面解析几何初步.

数学3 ：算法初步、统计、概率.

数学4：基本初等函数Ⅱ(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换.

数学5：解三角形、数列、不等式.

选修1－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用.

选修1－2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图.

选修系列4的内容吃透考纲，

做到心中有

数，有的放

矢，提高学

生分析问

题、解决问

题的能力。

教材分析

1. 幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建

立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待23

1

,,

y x y x y x y

x

====

，等以前已经接

触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而

本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

2. 对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体

学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究,其学习平台是学生已经掌握了函数的

概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识.对本知识点的研究，不仅为“用二分法求方程的

近似解”这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是

中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用.

考题展示

1.（2010·福建高考文科·Ｔ7）函数

223,0

()

2ln,0

⎧+-≤

=⎨

-+>

⎩

x x x

f x

x x

的零点个数为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

【思路点拨】作出分段函数的图像，利用数形结合解题。

【规范解答】选C，

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

≤

-

+

=

,

ln

,4

)1

(

)

(

2

2

x

e

x

x

x

x

f，绘制出

图像大致如右图，所以零点个数为2。

【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。

令()

f x0

=，则

（1）当x0

≤时，2x2x30

+-=，x3

∴=-或

x1

=（舍去）；

（2）当x0

>时，2ln x0

-+=，2

x e

∴=

综上述：函数()

f x有两个零点。

2．（2010上海文数）若

x是方程式lg2

x x

+=的解，则

x属于区间 [答]（）

（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75）（D）（1.75，2）

解析：0

4

1

4

7

lg

)

4

7

(

)

75

.1(

,2

lg

)

(<

-

=

=

-

+

=f

f

x

x

x

f由

构造函数

2

lg

)2(>

=

f知

x属于区间（1.75，2）

学法指导

明确各部分

在高考中所

占的比重.

x

y

e2

-4

-3