中考数学复习《二元一次方程组》

中考考点精讲精练
考点1 解二元一次方程组［5年1考：2013年(解答题)］
典型例题
1. 解方程组： x+y=5, 2x+3y=11.
解： x+y=5, ① 2x+3y=11. ②
①×3-②,得x=4. 把x=4代入①，得y=1. 则方程组的解为 x=4,
y=1.
2x+3y=12, 2. 解方程组：
y= -1.
4. 解方程组： x+3y=-1, 3x-2y=8.
解： x+3y=-1, ①
3x-2y=8. ②
由①得x=-1-3y. ③
把③代入②,得3(-1-3y)-2y=8.
解得y=-1.
则x=-1-3×(-1)=2. 故二元一次方程组的解为
x=2, y=-1.
考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为计算题，难度简 单. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握消元法和代入法 解二元一次方程组. 注意以下要点： (1)用代入消元法解二元一次方程组的步骤； (2)用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
பைடு நூலகம்
方法规律
1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(概括为“变， 代，解，回代，联”五步) (1)从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中
的一个未知数(例如y)用含另一个未知数(例如x)的代数式表示 出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. (2)将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的
3. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤(概括为“审，找， 列，解，答”五步) (1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数 和未知数，并用字母表示其中的两个未知数. (2)找：找出能够表示题意的两个相等关系. (3)列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方 程组. (4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值. (5)答：在对求出的方程组的解做出是否合理的判断的基础上， 写出答案.
(i)求x2+4y2的值；
(ii)求
的值.
售，所获利润全部捐给山区困难孩子. 每件文化衫的批发价和
零售价如下表：
商品
批发价/元
零售价/元
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
假设文化衫全部售出，共获利1 860元，求黑白两种文化衫各 多少件？
解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意, 得 x+y=140,
(25-10)x+(20-8)y=1 860. 解得 x=60,
4. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方 程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5. 代入消元法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数 的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这 个二元一次方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法. 6. 加减消元法： 当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把 这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得 到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
解：把①代入②，得2(y+1)+y=8. 整理，得2y+2+y=8. 解得y=2. 把y=2代入①，得x=3. ∴这个方程组的解是 x=3,
y=2.
8. (2015珠海)阅读材料：善于思考的小军在解方程组 2x+5y=3, ① 时，采用了一种“整体代换”的解法： 4x+11y=5 ②
解：将方程②变形为4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5. ③
y=80. 答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件.
3. (2017呼和浩特)某专卖店有A，B两种商品，已知在打折 前，买60件A商品和30件B商品用了1 080元，买50件A商品和 10件B商品用了840元，A，B两种商品打相同折以后，某人买 500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1 960元，计算 打了多少折？ 解：设打折前A商品的单价为x元/件、B商品的单价为y元/件， 根据题意,得 60x+30y=1 080,
解：(1)∵甲队每天铺设x m，乙队每天铺设y m，每天甲队比乙 队多铺设100 m钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天 的距离， ∴ x-y=100,
5x=6y. (2) x-y=100,
5x=6y. 解得 x=600,
y=500. 答：甲队每天铺设600 m，乙队每天铺设500 m.
考点演练
第一部分 教材梳理
第二章 方程与不等式 第2节 二元一次方程组
知识梳理
概念定理
1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数项的次 数都是1，这样的方程叫做二元一次方程. 2. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程 合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 3. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相 等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方 程有无数个解.
一元一次方程，即“代”.
(3)解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”. (4)把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”. (5)把x，y的值用“{”联立起来得到原二元一次方程组的解，
即“联”.
2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(概括为“乘， 加减，解，回代，联”五步) (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为 相反数也不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未 知数的系数互为相反数或相等，即“乘”. (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得 到一个一元一次方程，即“加减”. (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”. (4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中， 求出另一个未知数的值，即“回代”. (5)把求得的两个未知数的值用“{”联立起来得到原二元一次 方程组的解，即“联”.
6. 在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参 加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64 m3，3 辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36 m3，求甲、乙两种车 每辆一次分别可运土多少立方米?
解：设甲种车辆一次运土x m3，乙种车辆一次运土y m3， 由题意,得 5x+2y=64,
解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意,得
x+y=35,
2x+4y=94. 解得 x=23,
y=12. 答：有鸡23只，兔12只.
8. 某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆， 小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型 汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
解：设中型车有x辆，小型车有y辆，根据题意， 得 x+y=50,
12x+8y=480. 解得 x=20,
y=30. 答：中型车有20辆，小型车有30辆.
考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题，难度中 等. 解答本考点的有关题目，关键是要读懂题目的意思，根据题 目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解. 注意以下要点： (1)读懂题意，列二元一次方程组； (2)熟练掌握二元一次方程组的解法.
解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km， 根据题意,得 x+y=342,
2x=y+36. 解得 x=126,
y=216. 答：隧道累计长度为126 km，桥梁累计长度为216 km.
2. (2017张家界)某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，
购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出
A.
B.
C.
D.
3. (2014茂名)如图1-2-2-1，设他们中有x个成人，y个儿童
根据图中的对话可得方程组
( C)
A.
B.
C.
D.
4. (2013广州)已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下
面所列方程组正确的是
( C)
A.
B.
C.
D.
5. (2017广东)学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进 的图书. 若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整 理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能 整理1240本. 求男生、女生志愿者各有多少人？
5. 某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，
实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农场
去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
解：设农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，根据题意, 得 x+y=200,
(1+5%)y+(1+15%)x=225. 解得 x=150,
y=50. 则50×(1+5%)=52.5(吨)， 150×(1+15%)=172.5(吨). 答：农场去年实际生产玉米52.5吨，小麦172.5吨.
x-2y=-1.
解： 2x+3y=12, ① x-2y=-1. ②
①-②×2,得7y=14. 解得y=2. 把y=2代入①，得x=3.
x=3, 故方程组的解为
y=2.
考点演练
2x+3y=7, 3. 解方程组：
x-3y=8.
解： 2x+3y=7, ① x-3y=8. ②
①+②,得3x=15. 解得x=5. 把x=5代入②,得y= -1. 则方程组的解为 x=5,
考点2 二元一次方程组的应用［5年2考：2015年(解答 题)、2017年(解答题)］
典型例题
1. (2017吉林)被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途 经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为 342 km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km. 求隧道 累计长度与桥梁累计长度.
3x+y=36. 解得 x=8,
y=12. 答：甲种车辆一次运土8 m3，乙种车辆一次运土12 m3.
7. “鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一. 大约在 1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的 记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问 雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个 笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿. 问笼 中各有几只鸡和兔？
50x+10y=840. 解得 x=16,
y=4. 500×16+450×4=9 800(元)，
=0.8. 答：打了八折.
4. (2017六盘水)甲乙两个施工队在六安(六盘水-安顺)城际高铁施 工中，每天甲队比乙队多铺设100 m钢轨，甲队铺设5天的距离刚好 等于乙队铺设6天的距离. 若设甲队每天铺设x m，乙队每天铺设y m. (1)依题意列出二元一次方程组； (2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？
解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人， 根据题意,得 30x+20y=680,
50x+40y=1 240. 解得 x=12,
y=16. 答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人.
6. (2015广东)某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计 算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号 和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型 号计算器，可获利润120元.求商场销售A，B两种型号计算器 的销售价格分别是多少元?
把方程①代入③，得2×3+y=5. ∴y=-1.
把y=-1代入①,得x=4. ∴方程组的解为 x=4,
y=-1.
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 3x-2y=5, ①
9x-4y=19; ②
(2)已知x，y满足方程组 3x2-2xy+12y2=47. ①
2x2+xy+8y2=36. ②
解：设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器 的销售价格是y元，由题意，得
5(x-30)+(y-40)=76, 6(x-30)+3(y-40)=120. 解得 x=42,
y=56. 答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的 销售价格是56元.
7. (2013广东)解方程组： x=y+1, ① 2x+y=8.②
广东中考
1. (2015广州)已知a，b满足方程组
则a+b的值为
A. -4
B. 4
C. -2
( B) D. 2
2. (2016茂名)我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道
题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3
片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？
若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为 ( C )